Рациональные уравнения и неравенства (стр. 4 из 11)
Раскроем скобки и приведём подобные члены:
х2 + 121 - 44х + 4х2 = 53
и потому 5х2 - 44х + 68 = 0. Значит, для нахождения х надо решить уравнение
5х2 - 44х + 68 = 0.
Решая его, находим D = (-44)2 - 4×5×68 = 1936 - 1360 = 576,
Х1,2 = (44 ± 24) / 10.
Итак х1 = 6,8; х2 = 2, Þ у1 = 11 - 2×6,8 = -2,6; у2 = 11 - 2×2 = 7.
Ответ: х1 = 6,8; у1 = -2,6; х2 = 2; у2 = 7.
Метод введения новых неизвестных при решении уравнений и систем уравнений.
При решении биквадратных и возвратных уравнений мы вводили новые неизвестные (у = х2 для биквадратных уравнений и у = х + 1 / х для возвратных уравнений). Введение новых неизвестных применяется также при решении уравнений иного вида и систем уравнений.
Пример 7.28. Решим уравнение 12 / (х2 + 2х) - 3 / (х2 + 2х - 2) = 1.
Решение. Если попробовать привести дробь в левой части уравнения к одному знаменателю, то получим уравнение четвёртой степени, которое мы умеем решать. Чтобы решить заданное уравнение, заметим, что в обе дроби входит одно и то же выражение х2 + 2х. Поэтому введём новое неизвестное у, положив, что у = х2 + 2х. Тогда уравнение примет вид
12 / у - 3 / (у - 2) = 1 или (у2 - 11у + 24) / (у(у - 2)) = 0,
откуда y1 = 3; y2 = 8. Осталось решить уравнения х2 + 2х = 3 (его корни х1 = 1, х2 = -3) и х2 + 2х = 8 (его корни х3 = 2, х4 = -4).
Применённый метод называется методом введения новых неизвестных, и его полезно применять, когда неизвестное входит в уравнение всюду в виде одной и той же комбинации (особенно если эта комбинация содержит степени неизвестного выше первой).
Пример 7.29. Решим систему уравнений
 |
2 / х + 3 / у = 8,
5 / х - 2 / у = 1.
Решение. Обозначим 1 / х через U, а 1 / у через V. Тогда система примет вид
2U + 3V = 8,5U - 2V = 1,
т.е. получится система двух линейных уравнений с двумя неизвестными U и V. Из первого уравнения выражаем U через V: U = 4 - 3V / 2, и подставляя во второе: 5(4 - 3V / 2) -2V = 1, откуда V = 2. Теперь находим U = 1 и решаем уравнения 1 / x = 1, 1 / y = 2.
Ответ: x = 1, y = 0,5.
Пример 7.30.
(x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680.
Решение. (x – 4)(x – 7)×(x – 5)(x – 6) = 1680, т.е.
(x2 – 11x + 28)(x2 – 11x + 30) = 1680.
Обозначим x2 – 11x + 28 = t, тогдаt(t + 2) = 1680, t2 + 2t – 1680 = 0, t1 = – 42; t2 = 40. Поэтому
x2 – 11x + 28 = – 42; x2 – 11x + 70 = 0; D = 121 – 280 < 0 Þ x1,2ÎÆ.
x2 – 11x + 28 = 40; x2 – 11x – 12 = 0; x1 = 12; x2 = – 1.
Ответ: x1 = 12; x2 = – 1.
Пример 7.31.
2x4 + 3x3 – 16x2 + 3x + 2 = 0.
Решение. Это возвратное уравнение. Разделим обе части уравнения на x2 ¹ 0, получим
2x2 + 3x – 16 +3 / x + 2 / x2 = 0, т.е.
2(x2 + 1 / x2) + 3(x + 1 / x) – 16 = 0,
обозначим x + 1 / x = t, тогда x2 + 2 + 1 / x2 = t2, т.е. x2 + 1 / x2 = t2 – 2, получаем 2(t2 – 2) + 3t – 16=0, т.е. 2t2 + 3t – 20 = 0, t1 = – 4; t2 = 5 / 2 = 2,5. Следовательно, имеем
x + 1 / x = – 4; x2 + 4x + 1 = 0; x1,2 = –2 ±Ö3,
x + 1 / x = 2,5; 2x2 – 5x + 2 = 0; x3 = 2; x4 = 1 / 2.
Ответ: x1,2 = –2 ±Ö3; x3 = 2; x4 = 1 / 2.
Пример 7.32.
(x + 3)4 + (x + 5)4 = 16.
Решение. Сделаем подстановку x = t – 4. Тогда получаем (t – 1)4 + (t + 1)4 = 16, т.е.
t4 – 4t3 + 6t2 – 4t + 1 + t4 + 4t3 + 6t2 + 4t + 1 = 16,
т.е. 2t4 + 12t2 – 14 = 0, или t4 + 6t2 – 7 = 0. Положим t2 = z ³ 0,тогда
z2 +6z – 7 = 0, z1 = – 7; z2 = 1.
С учётом t2 = z ³ 0 отбрасываем z1. Итак, z = 1, т.е. t2 = 1, отсюда t1 = –1; t2 = 1. Следовательно, x1 = – 1 – 4 = – 5 и x2 = 1 – 4 = – 3.
Ответ: x1 = – 5 и x2 = – 3.
Пример 7.33.
13x / (2x2 + x +3) + 2x / (2x2 – 5x + 3) = 6.
Решение. Разделим числитель и знаменатель дробей на x ¹ 0:
13 / (2x + 1 + 3 / x) + 2 / (2x – 5 +3 / x) = 6,
обозначим 2x + 3 /x = t. Получаем 13 / (t + 1) + 2 / (t – 5) = 6, т.е.
13t – 65 + 2t + 2 = 6t2 – 24t – 30, т.е.
6t2 – 39t + 33 = 0, т.е. 2t2 – 13t + 11 = 0,
t1 = 1;t2 = 5,5.
Следовательно:
2x + 3 / x = 1; 2x2 – x + 3 = 0; D = 1 – 24 < 0 Þ x ÎÆ.
2x + 3 / x = 5,5; 4x2 – 11x + 6 = 0; x1 = 2; x2 = 0,75.
Ответ: x1 = 2; x2 = 0,75.
Пример 7.34.
x4 – 2x3 + x – 0,75 = 0.
Решение. Выделим полный квадрат, прибавив и вычтя в левой части уравнения x2:
x4 – 2x3 + x2 – x2 + x – 0,75 = 0, т.е.
(x2 – x)2 – (x2 – x) – 0,75 = 0.
Пусть x2 – x = t, тогда t2 – t – 0,75 = 0, x1 = – 0,5; x2 = 1,5.
Возвращаясь к старой переменной, получаем:
x2 – x = – 0,5; x2 – x + 0,5 = 0; D = 1 – 2 < 0 Þ x ÎÆ.
x2 – x = 1,5; x2 – x – 1,5 = 0; x1,2 = (1 ±Ö7) / 2.
Ответ: x1,2 = (1 ±Ö7) / 2.
Пример 7.35.
x2 + 81x2 / (9 + x)2 = 40.
Решение. Воспользуемся формулой:a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab ((a - b)2 = a2- 2ab + b2ÞÞ a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab). Получаем:
(x – 9x / (9 + x))2 + 2x×9x / (9 + x) = 40, или
(x2 / (9 + x))2 + 18x2 / (9 + x) = 40.
Пусть:(x2 / (9 + x)) = t. Тогда t2 + 18t – 40 = 0, t1 = – 20; t2 = 2. Получаем два уравнения:
(x2 / (9 + x)) = 2; x2 – 2x – 18 = 0; x1,2 = 1 ±Ö19,
(x2 / (9 + x)) = – 20; x2 + 20x + 180 = 0; D = 400 – 720 < 0, Þ x ÎÆ.
Ответ: x1,2 = 1 ±Ö19.
Однородные уравнения.
Пример 8.36. Решим систему уравнений
8х2- 6ху + у2 = 0,х2 + у2 = 5.
Решение. заметим, что для решения системы выполняется условие у¹ 0. В самом деле, из первого уравнения следует, что если у = 0, то и х = 0, а числа х = 0 и у = 0 не удовлетворяют второму уравнению системы. Разделим первое уравнение на у2. Получится уравнение
8х2 / у2- 6ху / у2 + у2 / у2 = 0 или 8х2 / у2- 6х / у + 1 = 0.
Введём вспомогательное неизвестное U = х / у. Уравнение примет вид
8U2- 6U + 1 = 0.
Это квадратное уравнение, имеющее корни U1 = 0,5; U2 = 0,25. Таким образом, из первого уравнения мы получаем что либо x / y = 1 / 2, либо x / y = 1 / 4. Осталось подставить выражения у =2х и у = 4х (рассмотрев оба случая) во второе уравнение системы. В первом случае получается уравнение 5х2 = 5, откуда х1 = 1, х2 = - 1; соответственно у1 = 2, у2 = - 2. Во втором случае получается уравнение17х2 = 5, откуда х3 = Ö(5 / 17), x4 = -Ö(5 / 17); соответственно y3 = 4Ö(5 / 17), y4 = - 4Ö(5 /17).
Первое уравнение системы нам удалось представить как уравнение относительно x / y благодаря тому, что степень всех членов, входящих слагаемыми в это уравнение (8x2, 6xy, y2), одна и та же — она равна двум. Поэтому после деления на y2 каждое слагаемое выразилось через x / y.
Многочлен от двух переменных x и y такой, что степень каждого его члена равна одному и тому же числу k, называется однородным многочленом степени k.
Уравнение вида P (x, y) = 0 называется однородным уравнением степени k относительно x и y, если P (x, y) — однородный многочлен степени k. Однородное уравнение относительно x и y делением на yk (если y = 0 не является корнем уравнения) превращается в уравнение относительно неизвестного x / y. Это свойство однородного уравнения помогает решать многие задачи.
Пример 8.37. Решить систему уравнений
 |
y2- xy = -12,
x2- xy = 28.
Решение. Ни одно из уравнений системы не является однородным. Но если умножить первое уравнение на 7 и прибавить к нему почленно второе уравнение, умноженное на 3, то получится уравнение 7y2- 10xy + 3x2 = 0, являющееся следствием исходной системы. Разделим обе части уравнения на x2 и решим уравнение 7U2- 10U + 3 = 0 (здесь U = y / x, причём из второго уравнения системы следует, что x ¹ 0). Находим, что y = x или y = 3x / 7. Подставляя это выражение во второе уравнение и, рассмотрев оба случая, найдём решения:
x1 = 7, y1 = 3; x2 = -7, y2 = -3.
Ответ: x1 = 7, y1 = 3; x2 = -7, y2 = -3.
Мы получили решения системы путём выведения из заданных уравнений вспомогательного следствия. Такой способ решения систем в некоторых случаях приводит к появлению “посторонних” корней — значений x и y, не удовлетворяющих исходной системе. Поэтому найденные корни надо проверить, подставив их исходную систему и убедившись, что уравнения системы обращаются в верные числовые равенства.
Пример 8.38. Решим уравнение (x - 1)4 + 9(x + 1)4 = 10(x2- 1)2.
Решение. Если раскрыть все скобки и привести подобные члены, то получится уравнение четвёртой степени. Попробуем другой путь: введём новые неизвестные U и V:
U = (x - 1)2, V = (x + 1)2.
Уравнение примет вид U2 + 9V2 = 10UV.
Это уравнение однородное, и после деления на V2оно становится уравнением относительно неизвестного W:
W = U / V = (x - 1)2 / (x + 1)2.
Решим вспомогательное уравнение
W2 - 10W + 9 = 0.
Его корни W1 = 1, W2 = 9. Осталось решить уравнения
(x - 1)2 / (x + 1)2 = 1 и (x - 1)2 / (x + 1)2 = 9.
Из первого уравнения следует, что либо (x - 1) / (x + 1) = 1, либо (x - 1) / (x + 1) = -1.
Из второго получаем, что либо (x - 1) / (x + 1) = 3, либо (x - 1) / (x + 1) = -3. Решая получившиеся уравнения, видим, что первое из них не имеет корней, а из трёх остальных получаем x1 = 0, x2 = - 2, x3 = -0,5.
Ответ: x1 = 0, x2 = - 2, x3 = -0,5.
Пример 8.39.
3(x2 – x + 1)2 – 5(x + 1)(x2 – x + 1) – 2(x + 1)2 = 0.
Решение. Это так называемое однородное уравнение, т.е. уравнение вида
ay2a + byaza + cz2a = 0,
где a, b, c, a — заданные числа, отличные от нуля;y = y(x), z = z(x) — некоторые функции от x. Разделим обе части уравнения на (x2 – x + 1)2¹ 0:
3 – 5(x + 1) / (x2 – x + 1) – 2((x + 1) / (x2 – x + 1))2 = 0.