Некоторые главы мат. анализа (стр. 5 из 7)

Этап I

1 Постановка задачи

Дана основная (рис. 1.1а) и резервная (рис. 1.1б) схемы. Рассмотреть два способа повышение надежности основной схемы до уровня 0.95

а) б)

Рис. 1.1

Первый способ

- каждому элементу основной схемы подключаются параллельно по N резервных элементов имеющих надежность в два раза меньше, чем надежность элемента к которому подключают.

Второй способ

- подключить к основной схеме параллельно по N резервной схеме.

№ элемента	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Надежность	0.6	0.6	0.6	0.3	0.7	0.4	0.3	0.5	0.1
Надеж.(резер.)	0.3	0.3	0.3	0.15	0.35

2 Теоретическая часть

Ввиду важности операций сложения и умножения над событиями дадим их определение:

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении события А или события В, или обоих событий вместе.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в выполнении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий А и В называется событие D, состоящее в совместном выполнении события А и события В.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном выполнении всех этих событий.

А к с и о м ы т е о р и и в е р о я т н о с т е й :

1. Вероятность любого события находится в пределах:

.

2. Если А и В несовместные события

, то

3. Если имеется счетное множество несовместных событийА₁, А₂, ... А_n, ...

при , то

Следствие: сумма вероятностей полной группы несовместных событий равна единице, т.е. если

; при

то

.

Сумма вероятностей противоположных событий ровна единице:

Правило умножения вероятностей: вероятность произведения (пересечения, совмещения) двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого

.

Для независимых событий правило умножения принимает вид:

, или

Основываясь на теорию выведем некоторые формулы для решения поставленной задачи.

Схема состоит из нескольких n блоков (рис. 2.1), каждый из которых (независимо от других) может выйти из строя. Надежность каждого блока равна p. Безотказная работа всех без исключения блоков необходима для безотказной работы в целом. Найти вероятность безотказной работы всей схемы.

Рис. 2.1

Событие A={безотказная работа прибора} есть произведение n независимых событий А₁, А₂, ... А_n, где A_i={безотказная работа i -го блока}. По правилу умножения для независимых событий имеем

.

Схема состоит из 2 блоков (рис. 2.2), каждый из которых (независимо от друг от друга) может выйти из строя. Надежность каждого блока равна p. Найти вероятность безотказной работы всей системы.

Рис. 2.2

От события В={система будет работать} перейдем к противоположному:

={система не будет работать}. Для того чтобы система не работала, нужно, чтобы отказали оба блока. Событие есть произведение двух событий:

={блок 1 отказал}x{блок 2 отказал}.

По правилу умножения для независимых событий:

3 Практическая часть

Воспользовавшись выше изложенными формулами рассчитаем надежность основной схемы (рис. 1а), она составит :

, а также резервной схемы (рис. 1б) :

Рассмотрим первый способ подключения (смотри рис. 3.1), когда подключаем по N элементов до тех пор, пока

Рис. 3.1

Тогда формула вероятности для схемы на рис. 2 будет выглядеть так :

, где

,

,

,

,

.

Увеличивая N дополнительных элементов пошагово добиваемся значения

:

Шаг первый, при N=1

< 0.95

Шаг второй, при N=2

< 0.95

Шаг третий, при N=3

< 0.95

Шаг четвертый, при N=4

< 0.95

Шаг пятый, при N=5

> 0.95

Из рассмотренных вычислений можно заключить, что для достижения заданной вероятности 0.95 необходимо пяти добавочных элементов.

Рассмотрим второй способ подключения к основной резервной схемы (рис. 3) и найдем число N подключений при котором достигается заданная вероятность

.

Рис. 3.2

Формула по которой будет вычисляться вероятность схемы на рис. 3 выглядит так :

, где

, а

- смотри выше.

Увеличивая N дополнительных резервных схем пошагово добиваемся значения

:

При N=1 :

< 0.95

При N=2 :

< 0.95

При N=3 :

< 0.95

При N=4 :

< 0.95

При N=5 :

< 0.95

При N=6 :

> 0.95