Волновой генетический код (стр. 9 из 23)

где:

- углы вращений нуклеотидов в разных цепях, - константы упругости вдоль цепей, - число пар в цепи, - момент инерции оснований, - константа упругости водородных связей между комплементарными основаниями.

Коэффициенты

в уравнении (1) определяются в соответствии с правилом: в случае АТ и ТА пар, в случае ГЦ и ЦГ пар; - параметр, определенный Федяниным и Якушевич и полученный на основе модели синус-Гордона и экспериментальных данных. Далее для упрощения модели считается, что

Уравнения движения для разности

, полученные из (1), имеют по М. Салерно вид:

(2)

где произведена замена

.

В случае

, в системе (2) можно перейти к безразмерному дифференциальному уравнению синус-Гордона:

, (3)

”непрерывный аналог” системы (2). Это уравнение имеет солитонные решения, в частности, односолитонное решение, или кинк, соответствует дислокации в цепи.

Основным предположением моделей Инглендера-Салерно является то, что взаимодействие между комплементарными основаниями описывается потенциалом

(4), в котором не учитывается обрыв водородной связи.

В нашей работе рассматривается следующий потенциал :

Кроме того, учитывается вязкость водной среды (в воде вязкость

~ 1).

Рассматриваются также факторы, приводящие к спирализации ДНК, при этом они считаются внешними силами, задаваемыми потенциалом

где

- период спирали.

Уравнения (2) с потенциалом

и с учетом вязкости принимают вид:

(5)

Известно, что период спирали ДНК меняется в зависимости от влажности. В частности, для кристаллической ДНК

, а в водной среде - в пределах от 10. 3 до 10. 6. Именно этим фактором обусловлено явление суперспирализации. При изменении шага спирали в цепи ДНК (с фиксированными или замкнутыми концами) возникает напряжение, связанное с недостатком (избытком) количества витков спирали до релаксированного состояния. Если , то при переходе из сухого в увлажненное состояние для цепи длиной в 300 пар оснований возникнет избыток в витка.

В нашей работе на основе результатов численного моделирования, представленных ниже, выдвигается следующая гипотеза: изменение шага спирали может привести не только к суперспирализации, но и к локальному распариванию цепи ДНК. Кроме того, при суперспирализации напряжение в цепи снимается не полностью, поэтому локальное распаривание, вероятно, может происходить и одновременно с суперспирализацией.

Система (5) численно интегрировалась в интервале

с шагом . Начальные условия следующие:

Период спирали в системе (5)

длина poly(A)-цепи - 300 пар оснований. То есть параметры периода спирали в начальных условиях и в системе (5) различны. Таким образом смоделирован перенос ДНК из кристаллического состояния в увлажненное.

Граничные условия следующие (назовем их “квазициклическими”):

Особенностью данной модели является то, что при переходе из состояния с периодом в 10 пар в состояние с периодом в 10, 5 пар почти вся цепь оказывается денатурированной (“расплавленной”). Приведенные ниже результаты описывают процесс ренатурации такой цепи с возникновением дислокаций.

В этих экспериментах варьировались параметры: 1) диссипация

2) отношение параметров упругости 3) угол обрыва водородных связей .

На рис. 3 и 4 представлены результаты численного интегрирования системы (5). Показана не сама функция

, а разница , поскольку область изменения функции (приблизительно от до ) велика по сравнению с характерными изменениями в системе (приблизительно от 0 до 9). Горизонтальная часть графиков соответствует нераспаренному участку цепи с периодом спирали . Наклонная часть графиков на рис. 3(a), 4(а) соответствует дислокации.

Можно сделать следующие выводы:

1) Способность к образованию дислокации в этой модели сильно зависит от

. При дислокация возникла во всех рассмот-ренных случаях.

2) Способность к образованию дислокации также сильно зависит от параметра

. Во всех случаях, когда параметр велик (

на рис. 1.а, 2.а ), дислокация возникла. В пользу этого утверждения также свидетельствует сравнение рис. 3(а) и 4(г).

Как показывают дополнительные расчеты, влияние

на эффект проявляется в меньшей степени. Дислокация образуется или не образуется вне зависимости от значения ( или ). При больших значениях дислокация образуется медленнее, чем при меньших.

3) На рис. 3(а), 4(в,г) видно, что дислокация имеет кинкообразную форму.

Ширина дислокации зависит от параметров

(чем больше , тем меньше ширина дислокации) и (чем больше , тем меньше ширина дислокации).

Развивая дальше модели солитонных возбуждений в ДНК (совместно с М.Ю.Масловым и др.) мы использовали условия, при которых цепочки ДНК моделируются набором ровибронных осцилляторов, подвешенных на невесомом нерастяжимом стержне; для простоты спирализация цепи не учитывается, а ровибронные степени свободы одной из цепочек считаются “замороженными”.

В этом случае гамильтониан для “активной” цепочки записывается в следующем виде:

H=H₀+H₁+H₂

(1)

где:

- число пар оснований в цепи; - гамильтониан, описывающий собственные осцилляции мономеров ( - углы вращения нуклеотидов в цепочке, - момент инерции оснований); - гамильтониан , характеризующий нелинейно-периодическую связь между осцилляторами ( - константа упругости цепочки, ), - гамильтониан,