Объекты нечисловой природы (стр. 3 из 5)

Обычное подмножество можно было бы отождествить с его характеристической функцией. Этого не делают, поскольку для задания функции (в ныне принятом подходе) необходимо сначала задать множество. Нечеткое же подмножество с формальной точки зрения можно отождествить с его функцией принадлежности. Однако термин "нечеткое подмножество" предпочтительнее при построении математических моделей реальных явлений.

Начало современной теории нечеткости положено статьей Л.А.Заде в 1965г [73]. К настоящему времени по этой теории опубликованы тысячи книг и статей, издается несколько международных журналов, выполнено достаточно много как теоретических, так и прикладных работ. Из публикаций на русском языке, кроме перевода монографии Л.А.Заде, назовем книги С.А.Орловского [75], В.Б.Кузьмина [76], а также работы [77-80].

Л.А.Заде рассматривал теорию нечетких множеств как аппарат анализа и моделирования гуманистических систем, т.е. систем, в которых участвует человек [81, с.6]. Его подход "опирается на предпосылку о том, что элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых нечетких множеств или классов объектов, для которых переход от "принадлежности" к "непринадлежности" не скачкообразен, а непрерывен " [81, с.7]. В настоящее время методы теории нечеткости используются почти во всех прикладных областях, в том числе при управлении качеством продукции и технологическими процессами. Популярный обзор прикладных возможностей теории нечеткостей дан в работах [43, 82].

Пусть

и - два нечетких подмножества с функциями принадлежности и соответственно. Пересечением , произведением , объединением , отрицанием , суммой называются нечеткие подмножества с функциями принадлежности

соответственно.

Свойства введенных операций над нечеткими множествами и их связь с операциями над обычными множествами обсуждаются в работах [37,43].

Объекты нечисловой природы как статистические данные

В математической статистике наиболее распространенный объект изучения - выборка

т.е. совокупность результатов наблюдений. В различных областях статистики результат наблюдения - это или число, или конечномерный вектор, или функция... Соответственно проводится деление математической статистики: одномерная статистика, многомерный статистический анализ, статистика временных рядов и случайных процессов... В статистике объектов нечисловой природы в качестве результатов наблюдений рассматриваются объекты нечисловой природы, в частности, перечисленных выше видов - измерения в шкалах, отличных от абсолютной, бинарные отношения, вектора из 0 и 1, множества, нечеткие множества. Выборка может состоять из ранжировок и толерантностей, или множеств, или нечетких множеств и т.д.

Отметим необходимость развития методов статистической обработка "разнотипных данных", обусловленную большой ролью в прикладных исследованиях "признаков смешанной природы" [83]. Речь идет о том, что результат наблюдения состояния объекта зачастую представляет собой вектор, у которого часть координат измерена по шкале наименований, часть - по порядковой шкале, часть - по шкале интервалов и т.д. Статистические методы ориентированы обычно либо на абсолютную шкалу, либо на шкалу наименований (анализ таблиц сопряженности), а потому зачастую непригодны для обработки разнотипных данных. Есть и более сложные модели разнотипных данных, например, когда некоторые координаты вектора наблюдений описываются нечеткими множествами [43].

Для обозначения подобных неклассических результатов наблюдений в 1979 г. [84] предложен собирательный термин - объекты нечисловой природы. Термин "нечисловой" означает, что структура [85] пространства, в котором лежат результаты наблюдений, не является структурой действительных чисел, векторов или функций, она вообще не является структурой линейного (векторного) пространства. При расчетах объекты числовой природы, разумеется, изображаются с помощью чисел.

С целью "стандартизации математических орудий" [85, с.253] целесообразно разрабатывать методы статистического анализа данных, пригодные одновременно для всех перечисленных выше видов результатов наблюдений. Кроме того, в процессе развития прикладных исследований выявляется необходимость использования новых видов объектов нечисловой природы, отличных от рассмотренных выше, например, в связи с развитием статистических методов обработки текстовой информации [86].Поэтому целесообразно ввести еще один вид объектов нечисловой природы - объекты произвольной природы, т.е. элементы множества, на которые не наложено никаких условий (кроме "условий регулярности", необходимых для справедливости доказываемых теорем). Другими словами, в этом случае предполагается, что результаты наблюдений (элементы выборки) лежат в произвольном пространстве

. Для получения теорем необходимо потребовать, чтобы удовлетворяло некоторым условиям, например, было топологическим пространством. Как известно, ряд результатов математической статистики получен именно в такой постановке. Так, при изучении оценок максимального правдоподобия элементы выборки могут лежать в пространстве произвольной природы. Это не влияет на рассуждения, поскольку в них рассматривается лишь зависимость плотности вероятности от параметра. Методы классификации, использующие лишь расстояние между классифицируемыми объектами, могут применяться к совокупностям объектов произвольной природы, лишь бы в пространстве, где они лежат, была задана метрика. Цель статистики объектов нечисловой природы состоит в том, чтобы систематически рассматривать методы статистической обработки данных как произвольной природы, так и представляющих собой указанные выше конкретные виды объектов нечисловой природы, т.е. методы описания данных, оцениванию и проверки гипотез. Взгляд с общей точки зрения позволяет получить новые результаты и в других областях математической статистики.

Использование объектов нечисловой природы при формировании математической модели реального явления.

Использование объектов нечисловой природы часто порождено желанием обрабатывать более объективную, более освобожденную от погрешностей информацию. "Как показали многочисленные опыты, человек более правильно ( и с меньшими затруднениями) отвечает на вопросы качественного например, сравнительного, характера, чем количественного. Так, ему легче сказать, какая из двух гирь тяжелее, чем указать их примерный вес в граммах" [87,с.3]. Другими словами, использование объектов нечисловой природы - средство повысить устойчивость математических моделей реальных явлений. Сначала конкретные области статистики объектов нечисловой природы (а именно, прикладная теория измерений, нечеткие и случайные множества) были рассмотрены как частные постановки проблемы устойчивости математических моделей реальных явлений к допустимым колебаниям исходных данных и предпосылок модели [37,гл.3,4], а затем была понята необходимость проведения работ по развитию статистики объектов нечисловой природы как самостоятельного научного направления [84].

Начнем со шкал измерения. "Науку о единстве мер и точности измерений называют метрологией" [88,с.5].Таким образом, репрезентативная теория измерений - часть метрологии [89]. "Методы обработки данных должны быть адекватны относительно допустимых преобразований шкал измерения в смысле репрезентативной теории измерений" [90 §4.1]. Однако установление типа шкалы, т.е. задания группы

- дело специалиста соответствующей прикладной области. Так, оценки привлекательности профессий мы считали измеренными в порядковой шкале. Однако отдельные социологи не соглашались с этим, считая, что выпускники школ пользуются шкалой с более узкой группой допустимых преобразований, например, интервальной шкалой. Очевидно, эта проблема относится не к математике, а к наукам о человеке. Для ее решения может быть поставлен эксперимент (достаточно трудоемкий), описанный в работе [38]. Пока же он не поставлен, целесообразно принимать порядковую шкалу, так как это гарантирует от возможных ошибок.