В марте 1926 года в своей первой статье Шредингер предложил способ решения некоторых квантовых задач с помощью первоначальной формы своего уравнения. Вся новизна этой статьи была в том, что он в своих квантовых вычислениях оперировал достаточно обычными дифференциальными уравнениями в частных производных. Это привело к утверждению о том, что вместо квантовых условий, выглядевшим столь сторонними сели классической физики, можно свести задачу квантования к математическому условию, в котором не идет речь о целых числах. Дело было в том, что математический аппарат классической физики уже давно позволял решать некоторые задачи, важную роль в которых играли дискретные физические величины. Например, задачу о колебаниях закрепленной струны или мембраны, когда возбуждаются лишь те колебания, которые целое число раз укладываются в длину струны. Математически же эти колебания описываются дифференциальным уравнением в частных производных, а дискретность частот или длин волн логично возникает при решении такого уравнения. Аналогичный характер имеет целый класс так называемых волновых уравнений, имеющих в качестве решения некоторый набор собственных функций.
Уравнение Шредингера не являлось обыкновенным дифференциальным уравнением, просто подобно последнему, обеспечивало дискретность действительной физической величины: энергии стационарных состояний. Самым важным в работе Шредингера была догадка о том, какими квантовыми условиями нужно заменить краевые и начальные условия классической математической физики. Он предположил, что найденные в рамках его уравнения решения должны быть достаточно "хорошими", как это обычно полагается и в классике. На основе данного требования Шредингер установил, что энергия атома может принимать любые положительные и только дискретный набор отрицательных значений. Дискретная часть энергии полностью соответствовала теории Бора-Зоммерфельда, если ввести в уравнение Шредингера квант действия – постоянную Планка.
Формально при выводе своего уравнения Шредингер преобразовал известные в классической механике уравнения Гамильтона-Якоби к квантовому виду, наделив входящие в них величины новым физическим смыслом. Это был чисто математический, не имевший физического обоснования вывод. Математический переход был осуществлен, осталось только придать ему физический смысл.
Основой такого перехода являлась математическая аналогия между оптикой и механикой. Новая теория строилась на основе старых уравнений, не отвергая наглядной формы математических соотношений. Используя волновые уравнения, Шредингер придал каноническим уравнениям четкий геометрически наглядный смысл: распространение волновых поверхностей в пространстве. Но эта аналогия была незавершенной. Заслуга Шредингера в том, что он выявил неравноправность механики и оптики в такой аналогии, оптика играет гораздо большую роль, чем механика, а, следовательно, механику можно развить дальше по пути, предложенному оптикой. В оптике существуют два раздела: геометрическая и волновая теории, различие между которыми связано с размерами неоднородностей в среде, через которую распространяется свет. В действительности аналогия существовала лишь между геометрической оптикой и механикой, не существовала механической параллели понятиям длины волны, частоты, формы волны и т.д. Но классическая механика оказывается недостаточной при очень малых размерах траекторий, то есть тоже "зависит" от размеров неоднородностей среды. А раз так, то классическая механика полностью соответствует геометрической оптике и не подходит, когда размеры механических неоднородностей становятся сравнимы с длиной волны. Там уже нужна волновая механика, аналогичная волновой теории света.
Шредингер допусти, что все многообразие атомных явлений можно объяснить, экстраполируя волновую оптику на механику атома, то есть видоизменить и обобщить математические схемы волновой оптики применительно к условиям микромира. Так, на основе математических преобразований, он ввел понятие волновой функции (а с ней амплитуду и частоту), выразил длину волны через механические величины, показав, что аналогия с геометрической оптикой совершенно неприменима к внутриатомным явлениям (когда размеры системы сравнимы с длиной волны). Далее, используя классической волновое уравнение, Шредингер приходит к квантовому волновому уравнению.
Математическая гипотеза Шредингера состояла в экстраполяции волнового уравнения на область микропроцессов. К мысли о такой экстраполяции он пришел, развивая идею де Бройля про необходимость синтеза волновых и корпускулярных представлений, детально проанализировав оптико-механическую аналогию. Именно эта аналогия и легла в основу экстраполяции классической теории волнового движения на внутриатомную область
Вскоре после вывода своего уравнения Шредингер показал тождественность волновой и матричной механики.
Но для того, чтобы полученный формализм имел право называться физической теорией, необходимо было дать физическую интерпретацию входящим в него величинам. Гейзенберг, Шредингер и другие вынуждены были полностью покориться логике метода математической гипотезы. Применение полученного ими аппарата означало выход за рамки макроскопических представлений, что физики начали мыслить категориями микромира. Это мышление носило след отрыва от системы понятий классической физики и еще не привело к развитию новых понятий и представлений. Проблема интерпретации, таким образом, была проблемой снятия этой абстрактно-математической формы конкретного физического знания, приведение математических форм в соответствие с представлениями физики. Элементы физического объяснения появились в виде статистического толкования квантовой механики и принципа неопределенности.
Открытие дифракции электронов ставило вопрос, о каких же волнах идет речь в волновой механике. Раз волна де Бройля – абстрактное понятие, то почему же она так явно проявляет себя в эксперименте? Так как в теории Шредингера волна описывалась волновой функцией, то естественным образом стал вопрос и о смысле волновой функции как таковой. После серии неудачных попыток связать эти понятия с представлениями классической физики (о частичке как о волновом пакете и т.д.) они, наконец, обрели совсем необычное для классики объяснение в рамках понятия вероятности. Сам формализм волновой механики приводил к выводу о вероятностном характере квантовых процессов, а квантовая характеристика состояния, волновая функция, тоже должна была, таким образом, иметь вероятностный смысл. Квантовая теория не давала ответ на вопрос о том, что произойдет. Она говорила лишь, с какой вероятностью может произойти тот или иной исход из многих возможных. Волны материи де Бройля были волнами вероятности наступления того или иного события.
В матричном методе Гейзенберга существенную роль играли так называемые коммутационные соотношения, математическое выражение неперестановочности операции умножения матриц. Фундаментальную роль играло такое соотношение для матриц координаты и импульса, возникшее как обобщение постулатов Бора-Зоммерфельда. Из него напрямую следовала невозможность точного одновременного измерения координаты и импульса частички. То есть, к микрообъектам совершенно неприменимы классические представления о положении в пространстве и скорости движения. Таким образом, от квантовых условий Бора, через постулаты Бора-Зоммерфельда, физика пришла к соотношению неопределенностей Гейзенберга, которое привело уже к физическому толкованию входящих в него величин. По сути, в 1927 году была найдена физическая интерпретация тех принципов, развитие которых началось еще Планком в 1900 году, когда он на основе математической гипотезы пришел к идее кванта.
Столь быстрое развитие квантовых представлений стало возможно благодаря досконально развитым математическим теориям: математическому анализу, линейной алгебре, матричной алгебре (матричная механика), потом методам математической физики (волновая механика), наконец, теории самосопряженных линейных операторов (тождественность матричных и волновых представлений). Кстати, дав толчок развитию квантовой механики, теория операторов сама столкнулась с новым набором задач, что привело к ее дальнейшему развитию.
Итак, в классическом естествознании (и физике), в XVII – конце XIX века, в центре стоит идея, согласно которой объективность и предметность научного знания достигается лишь тогда, когда из описания и объяснения исключается все, что относится к субъекту и процедурам его познавательной деятельности. Эти процедуры принимались как раз и навсегда данные и неизменные. Конкретизация классической физики осуществлялась с учетом доминанты механики. Объяснение истолковывалось как поиск математических причин и субстанций, носителей сил, детерминирующих данное явление. В соответствии с этим развивалась механическая физическая картина мира.
В конце XVIII века происходит переход к дисциплинарно организованной науке, когда механическая картина мира утрачивает статус общенаучной. Одновременно произошла дифференциация дисциплинарных идеалов и норм исследования, хотя общие познавательные установки классической науки сохранились.
Конец XIX – первая половина XX века связаны с формированием неклассической науки (и физики в частности). Переход от классической к неклассической науке подготовлен изменением структур духовного производства, кризисом мировоззренческих установок классического рационализма, пониманием того, что сознание, постигающее действительность, само в нее погружено, ощущает свою зависимость от социальных обстоятельств. В науке этот процесс был связан с цепью революционных открытий в различных областях знания и характеризовался отказом от прямолинейного онтологизма и пониманием роли относительной истинности теорий и картины природы. Изменившиеся идеалы и нормы доказательности и обоснования знания: экспликация при изложении теории операциональной основы вводимой системы понятий (принцип наблюдаемости) и выяснение связей между ними и предшествующими теориями (принцип соответствия) – вызвали значительное расширение поля исследуемых объектов, открывая пути к исследованию саморегулирующихся систем, созданию целостной научной картины мира. При этом неклассическая наука не уничтожает классическую, а только ограничивает сферу ее деятельности. Именно в неклассическую эпоху теоретические физические исследования часто использовали метод математической гипотезы.