Число как основное понятие математики
Приазовскийгосударственный технический университет
Мариупольскийгородской технический лицей
секция: Математика
тема: «Число какосновное понятие математики»
ВЫПОЛНИЛ: ученик 112 группы
Анищенко Евгений АлександровичНАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:
Ткаченко Светлана Гавриловна
Мариуполь, 2002 г.
СОДЕРЖАНИЕВведение………………………………………………………….. 3
1.1. Функции натуральных чисел………………………………. … 6
2. Рациональные числа…………………………………………….. … 6
2.1. Дробные числа……………………………………………. … 6
2.1.1. О происхождении дробей……………………………. 6
2.1.2. Дроби в Древнем Риме……………………………….. 7
2.1.3. Дроби в Древнем Египте…………………………….. 7
2.1.4. Вавилонские шестидесятеричные дроби………….. .. 8
2.1.5. Нумерация и дроби в Древней Греции……………. .. 9
2.1.6. Нумерация и дроби на Руси………………………… 10
2.1.7. Дроби в других государствах древности………….. 11
2.1.8. Десятичные дроби…………………………………… 12
2.1.8.1. Проценты……………………………………. 13
2.2. Отрицательныечисла............................................................... 14
2.2.1. Отрицательные числа в Древней Азии……………… 14
2.2.2. Развитие идеи отрицательного количества в Европе.. 15
3. Действительные числа……………………………………………… 16
3.1. Иррациональные числа……………………………………… 16
3.2. Алгебраические и трансцендентные числа………………… 18
4. Комплексные числа………………………………………………… 18
4.1. Мнимые числа……………………………………………….. 18
4.2. Геометрическое истолкование комплексных чисел……… 20
5. Векторные числа…………………………………………………… 21
6. Матричные числа………………………………………………….. 21
7. Трансфинитные числа…………………………………………….. 22
8. Функции = функциональные числа?…………………………….. 23
8.1. Функциональная зависимость……………………………….. 23
8.2. Развитие функциональных чисел…………………………. .. 24
Заключение…………………………………………………………26
Литература.………………………………………………………… 27
| | «Послушайте, что смертным сделал я… Число им подарил И буквы научил соединять… Эсхил, «Закованный Прометей»Эсхил, «Закованный Прометей» «Если бы ни число и его природа, ничто существующее нельзя было бы постичь им само по себе, ни в его отношениях к другим вещам. Мощь чисел проявляется во всех деяниях и помыслах людей, во всех ремес- лах и в музыке» Пифагореец Филолай, 5 в. до н. э. |
Число является одним из основных понятий математики. Понятие числаразвивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь.Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разныевеличины и пользоваться числами
Существует большое количество определений понятию «число».
Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах», которое он,очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского (около 408 –около 355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в соответствии с чем каждая изсуществующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное изединиц». Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей«Арифметике» (1703 г.).
Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество,которое измеряется с помощью единиц».
Со слов греческого философа Ямвлиха, еще Фалес Милетский – родоначальникгреческой стихийно-материалистической философии – учил, что «число есть системаединиц». Это определение было известно и Пифагору.
В своей «Общей арифметике» (1707 г) великий английский физик, механик,астроном и математик Исаак Ньютон пишет: «Под числом мы подра- зумеваем нестолько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины кдругой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов:целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей;дробное – кратной частью единицы, иррациональное – число, не соизмеримое сединицей».
Наш мариупольский математик С.Ф.Клюйков также внес свой вклад в определениепонятия числа: «Числа – это математические модели реального мира, придуманныечеловеком для его познания». Он же внес в традиционную классификацию чисел такназываемые «функциональные числа», имея в виду то, что во всем мире обычноименуют функциями. Более подробно об этом изложено в главе 9.
1. Натуральные числа
Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римскийгосударственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыкиБоэций (480 – 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил онатуральном, то есть природном ряде чисел.
Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательнопользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер(1717-1783 гг.).
Первоначальные представления о числе появились в эпоху каменного века, припереходе от простого собирания пищи к ее активному производству, примерно 100веков до н. э. Числовые термины тяжело зарождались и медленно входили вупотребление. Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления, хватилотого, что он придумал числа: «один» и «два». Остальные количества для негооставались неопределенными и объединялись в понятии «много».
Росло производство пищи, добавлялись объекты, которые требовалось учитыватьв повседневной жизни, в связи с чем придумывались новые числа: «три», «четыре»…Долгое время пределом познания было число «семь».
О непонятном говорили, что эта книжка «за семью печатями», знахарки всказках давали больному «семь узелков с лекарственными травами, которые надобыло настоять на семи водах в течение семи дней и принимать каждодневно по семьложек».
Познаваемый мир усложнялся, требовались новые числа. Так дошли до новогопредела. Им стало число 40. Запредельные количества моделировались громадным потем временам числом «сорок сороков», равным 1600.
Позднее, когда число «сорок» уже перестало быть граничным, оно стало игратьбольшую роль в русской метрологии как основа системы мер: пуд имел 40 фунтов,бочка-сороковка – сорок ведер и т.д.
Большой интерес вызывает история числа «шестьдесят», которое частофигурирует в вавилонских, персидских и греческих легендах как синоним большогочисла. Вавилоняне считали его Божьим числом: шестьдесят локтей в высоту имелзолотой идол из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же самымзначением (неисчислимое множество) возникли числа, кратные 60: 300, 360. Современем число 60 в Вавилоне легло в основу шестидесятеричной системыисчисления, следы которой сохранились до наших дней при измерении времени и углов.
Следующим пределом у славянского народа было число «тьма», (у древних греков– мириада), равное 10 000, а запределом – «тьма тьмущая», равное 100 миллионам.У славян применяли также и иную систему исчисления (так называемое «большоечисло» или «большой счет»). В этой системе «тьма» равнялась 106,«легион» – 1012, «леодр» – 1024, «ворон» – 1048,«колода» – 1096, после чего добавляли, что большего числа несуществует.
В Античном мире дальше всех продвинулись Архимед (III в. до н.э.) в «исчислении песчинок»- до числа 10, возведенного в степень 8х1016 , и Зенон Элейский (IV в. до н. э.) в своихпарадоксах – до бесконечности ∞.
1.1. Функции натуральных чисел
Натуральные числа имеют две основные функции:
характеристика количества предметов;
характеристика порядка предметов, размещенных в ряд.В соответствии с этими функциями возникли понятия порядкового числа(первый, второй и т.д.) и количественного числа (один, два ит.д.).
Долго и трудно человечество добиралось до 1-го уровня обобщения чисел. Сто вековпонадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицыдо бесконечности:1, 2, … ∞. Натуральных потому, что имиобозначались (моделировались) реальные неделимые объекты: люди, животные, вещи…
2. Рациональные числа
2.1. Дробные числа
2.1.1. О происхождении дробей
С возникновением представлений о целых числах возникали представления и очастях единицы, точнее, о частях целого конкретного предмета. С появлениемнатурального числа nвозникло представление о дроби вида 1/n, которая называетсясейчас аликвотной, родовой или основной.
Чтобы выяснить вопрос о происхождении дроби, надо остановиться не на счете,а на другом процессе, который возник со стародавних времен, - на измерении.Исторически дроби возникли в процессе измерения.
В основе любого измерения всегда лежит какая-то величина (длина, объем, веси т.д.). Потребность в более точных измерениях привела к тому, что начальныеединицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры,которую получали как следствие раздробления, давали индивидуальное название, ивеличины измеряли уже этой более мелкой единицей.
Так возникали первые конкретные дроби как определенные части каких-тоопределенных мер. Только гораздо позже названиями этих конкретных дробей началиобозначать такие же самые части других величин, а потом и абстрактные дроби.
2.1.2. Дроби в Древнем Риме
Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которыезаменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Они остановили своевнимание на мере «асс», который у римлян служил основной единицей измерениямассы, а также денежной единицей. Асс делился на двенадцать частей – унций. Изних складывали все дроби со знаменателем 12, то есть 1/12,2/12, 3/12…
Так возникли римские двенадцатеричные дроби, то есть дроби, у которыхзнаменателем всегда было число 12. Вместо 1/12 римлянеговорили «одна унция», 5/12 – «пять унций» и т.д. Триунции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций – половиной.
Сейчас «асс» - аптекарский фунт.
2.1.3. Дроби в Древнем Египте
Первая дробь, с которой познакомились люди, была, наверное, половина. За нейпоследовали 1/4, 1/8 …, затем 1/3, 1/6 и т.д., то есть самые простые дроби, доли целого,называемые единичными или основными дробями. У них числитель всегдаединица. Некоторые народы древности и, в первую очередь, египтяне выражалилюбую дробь в виде суммы только основных дробей. Лишь значительно позже угреков, затем у индийцев и других народов стали входить в употребление и дробиобщего вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и знаменатель могутбыть любыми натуральными числами.
В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того, чтобыстроить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемыфигур, необходимо было знать арифметику.
Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4 000лет назад имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решатьмногие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.
Вот как записывали египтяне свои дроби. Если, например, в результатеизмерения получалось дробное число 3/4 , то для египтяноно представлялось в виде суммы единичных дробей ½ + ¼ .
2.1.4. Вавилонские шестидесятеричные дроби
Раскопками, проведенными в ХХ веке среди развалин древних городов южнойчасти Двуречья, обнаружено большое количество клинописных математическихтабличек. Ученые, изучая их, установили, что за 2000 лет до н. э. у вавилонянматематика достигла высокого уровня развития.
Письменная шестидесятеричная нумерация вавилонян комбинировалась их двухзначков: вертикального клина ▼, обозначавшего единицу, и условного знака◄, обозначавшего десять. В вавилонских клинописных текстах впервыевстречается позиционная система счисления. Вертикальный клин обозначал нетолько 1, но и 60, 602, 603 и т.д. Знака для нуля впозиционной шестидесятеричной системе у вавилонян вначале не было. Позже былвведен знак èè , заменяющий современныйноль, для отделения разрядов между собой.
Происхождение шестидесятеричной системы счисления у вавилонян связано, какполагают ученые, с тем, что вавилонская денежная и весовая единицы измеренияподразделялись в силу исторических условий на 60 равных частей:
1 талант = 60 мин;
Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян. Вот почему онипользовались шестидесятеричными дробями, имеющими знаменателем всегдачисло 60 или его степени: 602 = 3600, 603 = 216000 и т.д.В этом отношении шестидесятеричные дроби можно сравнить с нашими десятичнымидробями.
Вавилонская математика оказала влияние на греческую математику. Следывавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в современной наукепри измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60мин., минуты на 60 с, окружности на 360 градусов, градуса на 60 мин., минуты на60с.
Вавилоняне внесли ценный вклад в развитие астрономии. Шестидесятеричнымидробями пользовались в астрономии ученые всех народов до XVII века, называя их астрономическимидробями. В отличие от них, дроби общего вида, которыми пользуемся мы, былиназваны обыкновенными.
2.1.5. Нумерация и дроби в Древней Греции
В Древней Греции арифметику – учение об общих свойствах чисел – отделяли отлогистики – искусства исчисления. Греки считали, что дроби можно использоватьтолько в логистике. Здесь мы впервые встречаемся с общим понятием дроби вида m/n. Таким образом,можно считать, что впервые область натуральных чисел расширилась до областидополнительных рациональных чисел в Древней Греции не позднее V столетия до н. э. Грекисвободно оперировали всеми арифметическими действиями с дробями, но числами ихне признавали.
В Древней Греции существовали две системы письменной нумерации: аттическаяи ионийская или алфавитная. Они были так названы подревнегреческим областям - Аттика и Иония. В аттической системе, названнойтакже геродиановой, большинство числовых знаков являются первыми буквамигреческих соответствующих числительных, например, ГЕNTE (генте или центе) – пять, ΔЕКА (дека) – десять ит.д. Эту систему применяли в Аттике до I века н.э., но в других областях Древней Греции она была ещераньше заменена более удобной алфавитной нумерацией, быстро распространившейсяпо всей Греции.
Греки употребляли наряду с единичными, «египетскими» дробями и общиеобыкновенные дроби. Среди разных записей употреблялась и такая: сверхузнаменатель, под ним – числитель дроби. Например, 5/3означало три пятых и т.д.
2.1.6. Нумерация и дроби на Руси
Как свидетельствуют старинные памятники русской истории, нашипредки-славяне, находившиеся в культурном общении с Византией, пользовалисьдесятичной алфавитной славянской нумерацией, сходной с ионийской. Надбуквами-числами ставился особый знак, названный титло. Для обозначения тысячиприменялся другой знак, который приставлялся слева от букв.
В русских рукописных арифметиках XVII века дроби называли долями, позднее «ломаными числами». Встарых руководствах находим следующие названия дробей на Руси:
| 1/2 - половина, полтина | 1/3 – треть |
| 1/4 – четь | 1/6 – полтреть |
| 1/8 - полчеть | 1/12 –полполтреть |
| 1/16 - полполчеть | 1/24 – полполполтреть (малая треть) |
| 1/32 – полполполчеть (малая четь) | 1/5 – пятина |
| 1/7 - седьмина | 1/10 - десятина |
Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну началапостепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательновытеснила славянскую нумерацию при Петре I.
2.1.7. Дроби в других государствах древности
В китайской «Математике в девяти разделах» уже имеют место сокращения дробейи все действия с дробями.
У индийского математика Брахмагупты мы находим достаточно развитую системудробей. У него встречаются разные дроби: и основные, и производные с любымчислителем. Числитель и знаменатель записываются так же, как и у нас сейчас, нобез горизонтальной черты, а просто размещаются один над другим.
Арабы первыми начали отделять чертой числитель от знаменателя.
Леонардо Пизанский уже записывает дроби, помещая в случае смешанного числа,целое число справа, но читает так, как принято у нас. Иордан Неморарий (XIII ст.) выполняет делениедробей с помощью деления числителя на числитель и знаменателя на знаменатель,уподобляя деление умножению. Для этого приходится члены первой дроби дополнятьмножителями:
В XV – XVI столетиях учение о дробяхприобретает уже знакомый нам теперь вид и оформляется приблизительно в те самыеразделы, которые встречаются в наших учебниках.
Следует отметить, что раздел арифметики о дробях долгое время был одним изнаиболее трудных. Недаром у немцев сохранилась поговорка: «Попасть в дроби»,что означало – зайти в безвыходное положение. Считалось, что тот, кто не знаетдробей, не знает и арифметики.
2.1.8. Десятичные дроби
Со временем практика измерений и вычислений показала, что проще и удобнеепользоваться такими мерами, у которых отношение двух ближайших единиц длиныбыло бы постоянным и равнялось бы именно десяти – основаниюнумерации. Этим требованиям отвечает метрическая система мер.
Она возникла во Франции как одно из следствий буржуазной революции. Новыемеры должны были удовлетворять следующим требованиям:
основой общей системы мер должна быть единица длины;
Во Франции за основную меру длины приняли одну десятимиллионную частьчетверти земного меридиана и назвали ее метром (от греческого слова«метрон», означающего «мера»). На основании измерений меридиана, сделанныхфранцузскими учеными Мешеном и Деламбром, был изготовлен впоследствииплатиновый эталон метра. Число 10 легло в основу подразделений метра. Вотпочему метрическая система мер, применяемая ныне в большинстве стран мира,оказалась тесно связанной с десятичной системой счисления и с десятичнымидробями.
Однако следует отметить, что европейцы не первые, кто пришел к необходимостииспользовать десятичные дроби в математике.
Зарождение и развитие десятичных дробей в некоторых странах Азии былотесно связано с метрологией (учением о мерах). Уже во II веке до н.э. там существовала десятичнаясистема мер длины.
Примерно в III векен.э. десятичный счет распространился на меры массы и объема. Тогда и былосоздано понятие о десятичной дроби, сохранившей, однако метрологическуюформу.
Например, в Китае в Х веке существовали следующие меры массы: 1 лан = 10цянь = 102 фэнь = 103 ли = 104 хао = 105сы = 106 хо.
Если вначале десятичные дроби выступали в качестве метрологических, конкретныхдробей, то есть десятых, сотых и т.д. частей более крупных мер, то позжеони по существу стали все более приобретать характер отвлеченных десятичныхдробей. Целую часть стали отделять от дробной особым иероглифом «дянь» (точка).Однако в Китае как в древние, так и в средние века десятичные дроби неимели полной самостоятельности, оставаясь в той или иной мере связанными сметрологией.
Более полную и систематическую трактовку получают десятичные дроби втрудах среднеазиатского ученого ал-Каши в XV веке. Независимо от него, в 80-тых годах XVI века десятичные дроби были«открыты» заново в Европе нидерландским математиком Стевином.
С начала XVII веканачинается интенсивное проникновение десятичных дробей в науку и практику. ВАнглии в качестве знака, отделяющего целую часть от дробной, была введенаточка. Запятая, как и точка, в качестве разделительного знака была предложена в1617 году математиком Непером.
Развитие промышленности и торговли, науки и техники требовали все болеегромоздких вычислений, которые с помощью десятичных дробей легче быловыполнять. Широкое применение десятичные дроби получили в XIX веке после введения тесно связаннойс ними метрической системы мер и весов. Например, в нашей стране в сельскомхозяйстве и промышленности десятичные дроби и их частный вид – проценты –применяются намного чаще, чем обыкновенные дроби.
2.1.8.1. Проценты
Слово «процент» происходит от латинских слов pro centum, что буквальноозначает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться напрактике, так они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Этодает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и сцелым.
Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называлипроцентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлянпроценты перешли к другим народам Европы.
Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого(принимаемого за единицу). В некоторых вопросах иногда применяют и болеемелкие, тысячные доли, так называемые промилле (от латинского pro mille – «с тысячи»),обозначаемые ‰ по аналогии со знаком процента - %. Однако на практике вбольшинстве случаев «тысячные» - слишком мелкие доли, десятые же доли слишкомкрупные. Поэтому больше всего удобны сотые доли, иначе говоря, проценты.
В нашей стране ими пользуются при составлении и учете выполненияпроизводственных планов в промышленности и сельском хозяйстве. при разныхденежных расчетах.
Таким образом, исторически первым расширением понятия о числе являетсяприсоединение к множеству натуральных чисел множества всех дробныхчисел.
2.2. Отрицательные числа
Обходиться только натуральными числами неудобно. Например, ими нельзявычесть большее из меньшего. Для такого случая были введены отрицательныечисла: китайцами – в Х в. до н. э., индийцами – в VII веке, европейцами – только в XIII веке.
2.2.1. Отрицательные числа в Древней Азии
Положительные количества в китайской математике называли «чен»,отрицательные – «фу»; их изображали разными цветами: «чен» -красным, «фу» - черным. Такой способ изображения использовался в Китаедо середины XIIстолетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел– цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкойнаискось справа налево.
В V-VI столетиях отрицательныечисла появляются и очень широко распространяются в индийской математике. ВИндии отрицательные числа систематически использовали в основном так, как этомы делаем сейчас.
Уже в произведении выдающегося индийского математика и астронома Брахмагупты(598 – около 660 гг.) мы читаем: « имущество и имущество есть имущество, суммадвух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулейесть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество –долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут ихсумму».
Отрицательными числами индийские математики пользовались при решенииуравнений, причем вычитание заменяли добавлением с равнопротивоположным числом.
Вместе с отрицательными числами индийские математики ввели понятие ноль, чтопозволило им создать десятеричную систему исчисления. Но долгое время ноль непризнавали числом, «nullus»по- латыни – никакой, отсутствие числа. И лишь через X веков, в XVII-ом столетии с введением системыкоординат ноль становится числом.
2.2.2. Развитие идеи отрицательного количества в Европе
В Европе к идее отрицательного количества достаточно близко подошел в началеXIII столетия ЛеонардоПизанский, однако в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французскийматематик Шюке.
Современное обозначение положительных и отрицательных чисел со знаками « + »и « - » применил немецкий математик Видман, однако еще в ХVI столетии много математиков (например,Виет) не признавали отрицательных чисел.
Натуральные числа, противоположные им (отрицательные) числа и нольназываются целыми числами. Целые и дробные числа на 2-ом уровнеобобщения получили общее название - рациональные числа. Их называлитакже относительными, потому что любое их них можно представитьотношением двух целых чисел. Каждое рациональное число можно представитькак бесконечную периодическую десятичную дробь.
С помощью рациональных чисел можно осуществлять различные измерения(например, длины отрезка при выбранной единице масштаба) с любой точностью. Тоесть совокупность рациональных чисел достаточна для удовлетворениябольшинства практических потребностей.
3. Действительные числа
3.1. Иррациональные числа
Еще в Древнем Египте и Вавилоне ХХ веков назад были известны так называемыенесоизмеримые отрезки (
Точно не известно, исследование каких вопросов привело к открытиюнесоизмеримости. Это могло произойти:
в геометрических расчетах при нахождении общей мерыстороны и диагонали квадрата;
Речь шла об отыскании и исследовании величины, которую мы теперь обозначаем
Индийцы рассматривали иррациональные числа как числа нового вида, нодопускающие над ними такие же арифметические действия, как и над рациональнымичислами. Например, индийский математик Бхаскара уничтожает иррациональность взнаменателе, умножая числитель и знаменатель на тот же самый иррациональныймножитель. У него мы встречаем выражения:
Развивая тригонометрию как самостоятельную научную дисциплину,азербайджанский ученый XIIIстолетия Насретдин ат-Туси (1201- 1274 гг.) трактует соотношение несоизмеримыхвеличин как числа: «Каждое из этих соотношений может быть названо числом,которое измеряется единицей так же само, как один из членов соотношенияобозначается другим из этих членов». Похожую трактовку числа давал и ОмарХайям.
В Европе существование геометрических несоизмеримых величин в средние векане оспаривалось, но для многих иррациональные числа были лишь символами,лишенными точно определенного содержания, поэтому их называли «глухими»,«недействительными», «фиктивными» и т.д.
Только после появления геометрии Декарта (1637 г) началось применение иррациональных,как впрочем, и отрицательных чисел. Идеи Декарта привели к обобщениюпонятия о числе. Между точками прямой и числами было определено взаимнооднозначное соответствие. В математику была введена переменная величина.
В начале XVIIIстолетия существовало три понятия иррационального числа:
иррациональное число рассматривали как корень n-ой степени изцелого или дробного числа, когда результат извлечения корня нельзя выразить«точно» целым или дробным числом;
иррациональное числоиррациональнымПозднее Эйлер, Ламберт показали, что иррациональные числа можнопредставить бесконечными непериодическими десятичными дробями (например, π = 3,141592…).
Свое дальнейшее развитие теория иррациональных чисел получила вовторой половине XIXвека в трудах Дедекинда, Кантора и Вейерштрасе в связи с потребностями математическогоанализа.
Рациональные и иррациональные числа на 3-ем уровне обобщенияобразовали действительные числа.
3.2. Алгебраические и трансцендентные числа
Действительные числа иногда подразделяют также на алгебраические итрансцендентные.
Алгебраическими называют числа, которые являются корнямиалгебраических многочленов с целыми коэффициентами, например,
Выделим характерные особенности рассмотренных (натуральных, рациональных,действительных) чисел: они моделируют только одно свойство – количество;они одномерны и все изображаются точками на одной прямой, называемойкоординатной осью.
4. Комплексные числа
4.1. Мнимые числа
Еще более странными, чем иррациональные, оказались числа новой природы,открытые итальянским ученым Кардано в 1545 году. Он показал, что системауравнений
Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистическиотрицательными», считал их бесполезными и старался не употреблять.
Долгое время эти числа считали невозможными, несуществующими, воображаемыми.Декарт назвал их мнимыми, Лейбниц – «уродом из мира идей, сущностью,находящейся между бытием и небытием».
В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерениякакой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины.
Мнимым числам не было места на координатной оси. Однако ученые заметили, чтоесли взять действительное число b на положительной части координатной оси и умножить егона ,то получим мнимое число b
,неизвестно где расположенное. Но если это число еще раз умножить на
,то получим -b,то есть первоначальное число, но уже на отрицательной части координатной оси.Итак, двумя умножениями на
мыперебросили число bс положительного в отрицательные, и ровно на середине этого броска число быломнимым. Так нашли место мнимым числам в точках на мнимой координатной оси,перпендикулярной к середине действительной координатной оси. Точки плоскостимежду мнимой и действительной осями изображают числа, найденные Кардано,которые в общем виде a+ b·i содержатдействительные числа а и мнимые b·i в одном комплексе (составе),поэтому называются комплексными числами.
Это был 4-ый уровень обобщения чисел.
Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVII веков была построена общая теориякорней n-ныхстепеней сначала из отрицательных, а затем из любых комплексных чисел,основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра:
С помощью этой формулы можно было также вывести формулы для косинусов исинусов кратных дуг.
Леонард Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу:
которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. Спомощью формулы Эйлера можно было возводить число е в любуюкомплексную степень. Любопытно, например, что
Долгое время даже математики считали комплексные числа загадочными ипользовались ими только для математических манипуляций. Так, швейцарскийматематик Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.Чуть позже с помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальныхуравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, к примеру,в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде.
4.2. Геометрическое истолкование комплексных чисел
Около 1800-го года сразу несколько математиков (Вессель, Арган, Гаусс)поняли, что комплексными числами можно моделировать векторные величины наплоскости.
Если действительные числа (состоящие из одного элемента) одномерны – ониразмещаются на одной координатной оси. Комплексные числа состоят из двух элементов,для их представления необходима уже плоскость и две координатные оси. Этозначит, что они двумерны.
Оказалось, что комплексное число z = a+ b · i можноизобразить точкой М(a,b)на координатной плоскости. Позднее выяснили, что удобнее всего изображать числоне самой точкой М, а в виде вектора
Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определитьмногие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширилообласть их применения.
5. Векторные числа
В дальнейшем стали разыскивать некие трехмерные числа, которые моделировалибы векторные величины в пространстве с его тремя координатными осями.
Бился над этой задачей и ирландский ученый Гамильтон. После 15-ти лет работыв 1843 году Гамильтон придумал таки трехмерные числа a + bi + cj + dk, где i = j = k = иоткладываются каждый на своей оси. Такие числа - комплексные a + bi и мнимые cj и dk по двумдополнительным осям – Гамильтон назвал кватернионами (quaterni в переводе с латыни – четыре).Позже, в 1853 году, как вариант кватернионов, Гамильтон предложил болееудобные числа bi+ cj + dk и назвал ихвекторными числами. Они и обобщили все предыдущие числа на 5-ом уровнеобобщения.
6. Матричные числа
Алгебраические операции над векторными величинами создали многоэлементныечисловые объекты, названные по предложению Эйнштейна тензорными величинами. Дляих моделирования Артур Кэли в 1850 году ввел числа, в которых элементы (болеетрех) записывались уже квадратными и прямоугольными таблицами (матрицами) ирассматривались как единый числовой объект.
Векторные числа + тензорные величины породили матричные числа.Это был 6-ой уровень обобщения чисел.
Выделим особенность всех сложных (комплексных, векторных, матричных) чисел:они моделируют сразу два свойства – количество и направление моделируемыхвеличин.
7. Трансфинитныечисла
Наконец, в 1883 году немецкий ученый Георг Кантор, по-видимому, оценивмноговековую историю последовательного обобщения чисел, в которой натуральныечисла были обобщены рациональными, а те в свою очередь – действительными,те – комплексными, те – векторными, те – матричными,создал на этом материале свою теорию трансфинитных (бесконечных,запредельных) чисел.
Для этого он назвал множеством всякий набор элементов, который можносопоставить с частью самого себя, как например, целые числа сопоставляются счетными числами:
Кантор долго анализировал трансфинитные числа и установил, что онимогут моделировать либо просто количество (тогда это количественные,кардинальные трансфинитные числа, например – множество учеников в классе), либоколичество и направление (тогда это порядковые, ординальные трансфинитныечисла, например – то же множество учеников, но упорядоченное по успеваемости).Но эти свойства (количество и направление) успешно моделируются числа меньшихуровней обобщения. А таблица чисел подсказывает закономерность: чтобы статьабстрактнее, новые числа должны моделировать больше, развиваясь от уровня куровню либо экстенсивно, меняясь количественно (например, в учете моделирующихэлементов числами уровней 1, 2, 3: натуральные + ноль + отрицательные+ иррациональные; или в учете моделируемых направлений числами уровней3, 4, 5, 6: одномерно-двумерные-трехмерные-многомерные и т.п).
8. Функции = функциональные числа?
8.1. Функциональнаязависимость
Для этого пришлось перейти от конкретных чисел к их буквенным символам,которые могли принимать то одно, то другое количественное значение, моглименяться, были переменными. Эти переменные величины назвали аргументами ифункциями, а выражения, связывающие их, - уравнениями, формулами,функциональными зависимостями. И так увлеклись этими названиями, отражающимитолько одно из свойств чисел, что забыли:
аргументы и функции первоначально все-таки числа, но уже иные – функциональныечисла. Это такие же математические модели, как и предыдущие (натуральные,рациональные, действительные) числа, но с новым свойством – способностьюмоделировать не только количество, но и его функциональную зависимость отдругих количеств. Это позволило моделировать не только «стада баранов», нои изменяющиеся процессы, движение, саму жизнь…
С.Ф.Клюйков выделяет функциональные числа как 8-ой уровень обобщениячисел.
И.Бернулли (1718 г) и Л.Эйлер (1748 г) называли функцией «количество»,образованное переменными и постоянными величинами, зависящее от них. П.Дирихле(1837 г) называл то же «количество» - «значение», которому соответствуетопределенное значение аргумента. Н.И.Лобачевскмй (1834 г) назвал функцией«число», зависящее от аргумента. БСЭ (1978 г) называет функцией «зависимость»двух переменных величин.
Таким образом, разные авторы дают разное определение функции: «количество»,«число», «зависимость», акцентируясь на разных гранях этого сложного понятия,так как функция одновременно и «количество», и «число», и «зависимость», аименно: функция – это число, моделирующее количество и зависимость.
8.2. Развитиефункциональных чисел
История зарождения и развития функциональных чисел чрезвычайнодлительна и богата. Их совершенствовали уже ученые Древнего Востока (Х в. до н.э.), находя объемы сосудов для зерна, сдаваемого в виде налога; античные греки(III в. до н.э.),исследуя конические сечения; Галилей (1638 г.), проверяя опытом свои формулыдвижения тел. Впервые ясно и отчетливо функциональные числа былипредставлены Лагранжем (1797 г.) в теории функций действительного переменного иее приложении к разнообразным задачам алгебры и геометрии. Однако в наши дни функциональныечисла продолжают совершенствовать, несмотря на громадный накопленный опыт:весь математический анализ с его бесконечными рядами, пределами, минимумами имаксимумами, с дифференциальным, интегральным и вариационным исчислением,уравнениями и методами их решения.
Но еще более значительными были успехи математики при добавлении способностимоделировать функциональную зависимость комплексным числам (Даламбер, 1746 г.).Так возникли комплексно-функциональные числа (9-ый уровень обобщения) вформе функций комплексного переменного, с помощью которых были построены многиеполезные математические модели сложных процессов, упрощенно доказательствомногих теорем, выполнено описание двухмерных векторов, скалярных и векторныхполей, отображение одной плоскости на другую и т.д.
Благодаря соединению способности моделировать функциональную зависимость свекторными числами (Гамильтон, 1853 г.), возникли векторно-функциональныечисла (10-ый уровень обобщения). А это – векторный анализ, векторныефункции, моделирование переменных полей в сплошных средах и многие достижениятеоретической физики…
Добавление матричным числам способности моделировать функциональнуюзависимость (Клебш, 1861 г.) создало матрично-функциональные числа (11-ыйуровень обобщения), а с ними: алгебру матриц, матричное представление линейныхвекторных пространств и линейных преобразователей, много новых математическихмоделей, тензорный анализ пространств с кривизной. теорию поля в физике и т.д.
Если добавить трансфинитным числам Кантора способность моделироватьфункциональную зависимость, то возникнут новые, трансфинитно-функциональныечисла (12-ый уровень обобщения), функции трансфинитного переменного,которые, благодаря максимальному на сегодняшний день обобщению, позволят сбольшей простотой и стандартностью промоделировать все доступное предыдущимчислам и откроют новые перспективы в моделировании еще более сложных задач.
Заключение
1. Показано, что современная наука встречается с величинами такой сложнойприроды, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел.
2. При введении новых чисел большое значение имеют два обстоятельства:
правила действий над ними должны быть полностьюопределены и не вели к противоречиям;
новые системы чисел должны способствовать или решению новых задач, или усовершенствовать уже известные решения.3. К настоящем у времени существует семь общепринятых уровней обобщениячисел: натуральные, рациональные, действительные, комплексные, векторные ,матричные и трансфинитные числа. Отдельными учеными предлагается считатьфункции функциональными числами и расширить степень обобщения чисел додвенадцати уровней.