Дифференциальные уравнения

Основные понятия и определения.

Дифференциальное уравнение называется соотношение вида

связывающее независимую переменную х, ее ф-цию у, а также производные этой функции до н-го порядка включительно. если в уравнении 1 входит одна независимая переменная, то такое диф. ур. называется обыкновенным, если в уравнение 1 входит несколько независимых переменных, то такое диф. ур. называется уравнение в частных производных. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Решением уравнения 1 называется н-раз дифференцированная функция y=f(x), которая при подстановке в уравнение 1 обращает его в тождество. В простейшем случае определение функции y=f(x) сводится к вычислению интеграла, а поэтому процесс нахождения решения диф. уравн. называется его интегрированием, а график ф-ции y=f(x) называется интегральной кривой диф. уравн. Т.к. при интегрировании функции получается множество решений, отличающихся друг от друга постоянным коэффициентом, то любое диф. уравн. также будет иметь множество решений, графически определяемых семейством интегральных кривых. Общим решением (общим интегралом) диф. уравн. н-го порядка называется его решение явно (неявно) выраженное относительно ф-ции у и содержащей н-независимых производных постоянных.

Независимость констант С_Iозначает,что ни одна из них не может быть выражена через остальные, а следовательно число этих констант не может быть уменьшено на единицу.

Частным решением интеграла диф. уравн. н-го понрядка называется такое его решение, в котором произвольным константам С_i присвоены конкретные значения. это конкретные значения находятся из решения системы так называемых начальных условий

В этой системе правые части равенства представляют собой некоторые константы.

Диф. уравн н-го порядка

Диф. уравн. 1-го порядка имеет вид.

Если уравн. 1 разрешить относительно производной y’, то получают дифференциальное уравнение первого порядка разрешенное относительно y’

Диф. уравн. 2 можно представить в так называемой диф. форме

P и Q многочлены зависящие от х и у дифференциальное уравнение описываемое соотношением 1,2,3 в частом случае могут не зависеть от независимой переменной х или ее ф-ции у, но обязательно включают производную y’.

Диф. уравн. с разделяющимися переменными

Диф. ур с раздел переменными называются уравнения вида

Где f₁ (х) и f₂ (х) зависят только от х, и f₁ (у) и f₂ (у), разделим обе части уравнения (1) на f₁ (у) и f₁ (х) получим

(3)

Уравнения (3) и (3¢) называются общими интегралами исходного диф. уравнения.

ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Определение 1. Ф-ция ¦(x,y) наз-ся однородной функцией н-го порядка относительно переменных x и y, если для любого t, отличного от нуля справедливо тождество ¦(tx; ty)=t^n ¦(x;y)

ОДНОРОДНАЯ ФУНКЦИЯ НУЛЕВОГО ПОРЯДКА.

Отношение двух однородных функций одинакового порядка есть однородная функция нулевого порядка.

Определение 2. Диф. уравнение P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 (1) является однородным уравнением , если функции P(x;y) и Q(x;y) являются однородными функциями одного и того же порядка.

Разрешим уравнение (1) относительно производной

dy/dx=-P(x;y)/Q(x;y)

Производная является однородной функцией нулевого порядка.

Определение 3. Диф. уравнение у¢=¦(x;y) (2) наз-ся однородным, если его правая часть ¦(x;y) является однородной функцией нулевого порядка относительно своих аргументов.

Однородное диф. уравнение приводится к диф. уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой t=y/x ; y=t*x

При такой подстановке правая часть уравнения (2) ¦(tx;ty) = ¦(1/x*x;1/x*y)= ¦(1;y/x) = j(y/x) =j(t)

t=1/x

y/x=t

следовательно однородную функцию ¦(x;y) можно представить как функцию j от аргумента t=y/x

y¢= t¢*x+t

t¢*x+t=j(t)

dt/dx*x=j(t)-t

dt/(j(t)-t)=dx/x

ò dt/(j(t)-t)=ò dx/x + c

общее решение уравнения 2.

ДИФ. УРАВНЕНИЕ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ.

Д.У. P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 (1)

наз-ся уравнением в полных дифференциалах если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции U(x;y)/

Необходимым и достаточным условием, того ,что уравнение (1) будет уравнением в полных дифференциалах, выполнение равенства

dP/dy=dQ/dx

Действительно, если левая часть равенства (1) есть полный диф. функции U(x;y) ,то dU(x;y)=P(x;y)+Q(x;y)dy

dU(x;y)= dU/dx*dx + dU/dy*dy (3)

dU(x;y)= P(x;y)dx+Q(x;y)dy (4)

Сравнивая рав. 3 и 4

dU/dx=P(x;y) (5)

dU/dy=Q(x;y) (6)

dP/dy=d^2U/dxdy

dQ/dx=d^2U/dydx

Т.к для диф. ф-ции U(x;y) частная произв. 2-го порядка не зависят от порядка диф., то мы приходим к равенству (2). С учётом равенства(30 равенство (1) может быть зависимо как

dU(x;y)=0 (7)

U(x;y)=c (8)

Это и есть общее решение нашего д.у.

Для отыскания ф-ции U воспользуемся ф-лой (5)

dU=P(x;y)dx

U= ò(x;y)dx+C=òP(x;y)dx + j(y) (9)

Для отыскания ф-ции j(y) продифференцируем равенство (9) по переменной y

dU/dy=d/dyòp(x;y)dx+j¢(y)

j¢(y)=Q(x;y)- d/dyòp(x;y)dx (10)

Проинтегрировав левую и правую часть рав. (10) мы получим значение ф-ции j(y):

j(y)=ò(Q(x;y)-d/dy*òP(x;y)dx)dy=C (11)

Подставим равенство (11) в (9)

òP(x;y)dx=ò(Q(x;y)-d/dy*òP(x;y)dx)dy +C=C

òP(x;y)dx+ò(Q(x;y)-d/dy*òP(x;y)dx)dy=C (12)

C=C-C получаем общее решение диф. уравнения.

Замечание.

В ф-ле (12) знаки частной производной и дифференциала можно поменять местами.

Ф-цию U можно было определить из равенства(6)