Типовые задачи по матанализу
Исследовать на наибольшее и наименьшее значение по заданному отрезку.
Решение:
Рассмотрим фун-ю у=…. и исследуем ее на промеж при хэ[..;..] на наиб, наимень значения.
1)Д(у)=…
2)Найдем производ фун-и у’=…
3)Д(у’)=….
4)Найдем критич точки у’=0, ……=0
х1=…;х2=…-критич точки т.к. эти точки яв-ся внутр точками области опред-я, в которых произв равна нулю. Эти точки принадлежат (или нет) нашему промеж […;…].
х1э[…;…]; x2э[…;…].
Найдем значения в кртич точках и на концах отрезка: f(…)=…;f(x1)=…;f(x2)=…;f(…)=…
Наиболь знач фун-я принимает при х=…,а наимень при х=…
Max[…;…] f(x)=……;min[...;…] f(x)=….
Ответ: наиб знач фун-я принимает при х=..,а наимень при х=…
Найти область определения фун-и.
Решение:
Рассмотрим фун-ю f(x)=…
1)Д (f) (т.к. многочлен)
2)Найдем нули функции: f(x)=0, …..=0
х1=…;х2=…-эти точки разбив числовую прямую на промеж в каждом из которых фун-я сохран свой знак в силу непрерывности.
+ х1 - х2 +На промеж (-беск;х1):f(x)=…>0 и т.д.
Т.к. функция приним все знач больше или равно нулю,то Д(f)=(-беск;х1)$(x2;+беск).
Ответ: Д(f)=(-беск;х1)$(x2;+беск).
Исследовать на монотонность.
Решение:
Рассмотрим фун-ю f(x)=…
1)Д (f)=…..
2)Находим производ f’(x)=….
3)Приравниваем произв к нулю находим критич точки: f’(x)=0, ……=0
х1=…;х2=…-критич точки т.к. эти точки яв-ся внутр точками области опред-я, в которых произв равна нулю.
Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки в каждом из которых производная сохр свой знак в силу непрерывности.
+ x1 - x2 +На промеж (-беск;х1):f(x)=…>0 и т.д.
4)Т.к. в точках x1=.., x2=..фун-я определена, то она возростает на промежетке (-беск; x1]$ [x2;+беск)и убывает на промеж [x1 ;х2].
Ответ: возростает на промежетке (-беск; x1]$ [x2;+беск) и убывает на промеж [x1 ;х2].
Исследовать на экстремум.
Решение:
Рассмотрим фун-ю f(x)=…
1)Д (f)=…..
2)Находим производ f’(x)=….
3)Приравниваем произв к нулю находим критич точки: f’(x)=0, ……=0
х1=…;х2=…-критич точки т.к. эти точки яв-ся внутр точками области опред-я, в которых произв равна нулю.
Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки в каждом из которых производная сохр свой знак в силу непрерывности.
- x1 + x2 -На промеж (-беск;х1):f(x)=…>0 и т.д.
4)В точке х1=…производ сменила знак с минуса на плюс,значит эта точка минимума. В точке х2=…производная сменила знак с плюса на минус, значит эта точка максимума.
Хmin=х1,Уmin(х1)=…; Хmax=х2,Уmax(х2)=…
Ответ: Хmin=х1,Уmin(х1)=…-минимум фун-и; Хmax=х2,Уmax(х2)=…-максимум фун-и.
Исследовать фун-ю и построить график.
Решение:
Рассмотрим фун-ю f(x)=…
1)Д (f)=…..
2) f(x)-нечетная (четная, ни нечетная), так как f(-x)=…=-f(x)
3)Точки пересечения с осями.ОУ:х=0,у=…(х;у)
ОХ: у=0,х=…(х;у)
4)Находим производ f’(x)=….
5)Приравниваем производ к нулю и
находим критич точки: f’(x)=0, ……=0
х1=…;х2=…-критич точки т.к. эти точки яв-ся внутр точками области опред-я, в которых произв равна нулю.
Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки в каждом из которых производная сохр свой знак в силу непрерывности.
Х (-беск;x1) x1 (х1;х2) x2 (x2;+беск)
f”(x) - 0 + 0 -
f(x) … …
 |
min max
f(x1)=…; f(x2)=….
На промеж (-беск;х1):f(x)=…<0 и т.д.
6) В точке х1=…производ сменила знак с минуса на плюс, значит эта точка минимума. В точке х2=…производная сменила знак с плюса на минус, значит эта точка максимума.
7) Т.к. в точках x1=.., x2=..фун-я определена, то она возростает на промежетке (x1;x2) и убывает на промеж (-беск;х1)$(x2;+беск).
СТРОИШЬ ГРАФИК
Ответ: все полученные значения.
Решить методом интервалов.
Решите нер-во: …><0
Решение:
1)Рассмотрим функцию и решим ее методом интервалов ...><0.
2)Д(у)=…и ОДЗ
3)Находим нули фун-и f(x)=0, …..=0
x1=…,x2=…-эти точки разбивают числовую прямую на промежутки в каждом из которых фун-я сохраняет свой знак в силу непрерывности.
+ x1 - x2 +
4)f(..)=...>0;f(..)=…<0; f(..)=…>0;
Т.к. фун-я принимает неотриц-е (неполож.) значения на промеж. (-бескон;…),(…,+бескон), то решением нерав-ва будет их объед-е.
Ответ:(-..;…)$(…;+…).
Составить ур-е касат-й в точке х0=..Найдите коор-ты всех точек граф. этой фун-и параль-но найденной касатель.
Решение:
у=f”(x0)(x-x0)+f(x0)-общий вид ур-я касатель.
Рассмотрим фун-ю f(х)=…
1)Д(f)=…..
2)Найдем произв. фун-ии f(х)=…
f’(х)=….
3)Д(f’)=….
4)f’(x0)=…;f(x0)=…След-но ур-е касатель имеет вид: y=f”(x0)(x-x0)+f(x0)
Производная фун-и в точке х0=.., есть угловой коэф-т касатель провед к граф фун-и в точке (х0;f(x0)) т.к. надо найти парал-е касатель, значит угловые коэф-ты долны быть одинаковыми(т.е. равны).
Дополнительно: у=f’(x0)(x-x0)+f(x0) и у=кх+в
Ответ:у=ур-е касатель (х0;f(x0))