Мир глазами Нильса Бора: волны и их восприятие (стр. 1 из 2)

Волны и частицы в классическом естествознании.

Вещество в классической теории обычно рассматривается как совокупность дискретных неделимых частиц - материальных точек. В зависимости от рассматриваемой задачи в их роли могут выступать макроскопические объекты, молекулы, атомы и т.д.

Введение в естествознание концепции поля, в большинстве случаев описываемого непрерывными и обращающимися на бесконечности в 0 весьма сложными функциями координат и времени

, ставит вопрос о их разложении по более простым “базисным” функциям, с которыми легче производить расчеты. Такое представление функций аналогично процедуре нахождения проекций вектора на выбранные оси координат. Основное отличие состоит в том, что в случае “обычных“ векторов число ортогональных координатных осей и соответствующих им базисных векторов (размерность пространства) весьма ограничено (в евклидовом пространстве их 3), пространство же непрерывных функций оказывается бесконечно мерным, число элементов его базиса часто оказывается даже несчетным. В качестве базисных могут выбираться различные наборы функций. В большинстве задач наиболее удобны гармонические: синусы и косинусы. Теорема о разложении в ряды и интегралы Фурье утверждает, что любая достаточно гладкая функция может быть представлена как суперпозиция (сумма или интеграл) гармонических функций с различными частотами.

В случае зависящей только от времени исходной функции

о ее Фурье разложении говорят как о представлении в виде суммы гармонических колебаний различных частот , каждое из которых имеет вид

(1)

.

В природе встречается множество процессов, представляющих собой почти гармонические колебания (напр. изменение электрического поля в конденсаторе, включенном в цепь колебательного контура , широко используемого в качестве маятника в электронных часах). По существу все системы, имеющие точки устойчивого равновесия, могут совершать гармонические колебания вблизи этих точек.

Если рассматриваемая функция зависит только от пространственных координат

, она может быть представлена суммой пространственных гармоник вида:

(2)

.

В общем случае функций, зависящих и от координат и от времени, их можно представить в виде суммы плоских монохроматических волн, каждая из которых описывается математическим выражением вида:

(3)

.

Помимо плоских волн иногда используют разложения на сферические, цилиндрические и др. монохроматические волны. В качестве примера приведена “мгновенная фотография” круговых (двухмерных сферических) волн. Примерами объектов природы, приближенно описываемых отдельными плоскими монохроматическими волнами, являются волны на поверхности моря (без “гребешков”), звуковые волны от камертона, излучение лазера.

Т.о. монохроматические волны, как и точечные частицы, являются не столько понятиями, отражающими свойства реально существующих объектов, сколько моделями, существенно облегчающими математическое рассмотрение явлений природы. Наличие ряда объектов и явлений, приближенно описываемых этими моделями, привело к их некоторой абсолютизации на классическом этапе развития естествознания.

Математический формализм описания волн и частиц.

Функцию, описывающую плоскую монохроматическую волну (3), удобно записывать с использованием многомерных обозначений в комплексном виде

(4)

,

причем знак операции взятия вещественной части комплексного числа обычно для краткости опускается.

Для описания распределения плотностей (массы, заряда, спина и т.д.) точечных объектов вводят так называемые дельта-функции , математические свойства которых весьма экзотичны:

(5)

,

причем на бесконечность функция уходит так “далеко”, что объем под ее графиком оказывается равным конечной величине - 1.

Аналогия между разложением вектора по базису и Фурье-представлением функций. Ортонормированный базис (совокупности взаимно ортогональных векторов единичной длины) {e} определяется соотношением:

(6)

,

Любой вектор R может быть разложен по выбранному базису:

(7)

,

т.е. представлен как сумма единичных ортов, домноженных на числа, называемые проекциями вектора на направление орта . Выражение для проекций получается с учетом (6) в результате скалярного умножения (7) на каждый из ортов:

(8)

.

В функциональном пространстве роль векторов играют непрерывные функции, роль скалярного произведения (операция, ставящая в соответствие двум векторам число) - интеграл по конфигуранционному пространству аргументов от их произведения:

(9)

.

Роль ортонормированного базиса может играть множество гармонических функций:

(10)

,

причем дельта функция в (10) является аналогом символа Кронекера в (6). Теорема о разложении в интеграл Фурье, имеющая вид:

(11)

аналогична разложению (7), причем амплитуды волн (“проекции функции F на гармонические отры”) находятся аналогично тому, как это делалось для векторов в (8):

(12)

.

Помимо гармонических функций существует бесконечное множество других ортонормированных наборов, конкретный выбор которых определяется спецификой задачи. В частности, могут использоваться и дельта-функции, строгое математическое определение которых аналогично разложениям (7) и (11):

(13)

.

Т.о. с точки зрения математики дельта функции (описывающие точечные частицы) и гармонические функции (описывающие монохроматические волны) составляют ортонормированные наборы и могут использоваться для разложения более сложных функций и одинаково пригодны для описания объектов и процессов с весьма разнообразными свойствами.

Акустические волны. Звук представляет собой продольные волны сжатия, распространяющиеся в упругих материальных средах. В твердых телах возможен “поперечный” звук. Ухо человека воспринимает колебания, частоты которых лежат в диапазоне от ?? Гц до Гц ??. Высота звука определяется частотой колебаний: более высокие частоты вызывают ощущение “более высокого звука”, “басы” соответствуют низкочастотным колебаниям. Ощущение громкость звука определяется энергией, переносимой звуковой волной (пропорциональна квадрату амплитуды колебаний давления).

Органы слуха млекопитающих представляют собой весьма совершенный акустический прибор, позволяющий регистрировать звук в широких диапазонах громкости (“сила возникающего ощущения” пропорциональна логарифму энергии). Основу “входного устройства” звукового канала составляет акустический резонатор, выделяющий и усиливающий из всевозможных акустических колебаний лишь те, что лежат в диапазоне восприятия. Основная роль в анализе звука принадлежит специальным упругим волоскам различных размеров, связанных с чувствительными нервными окончаниями. Гармонические Фурье-составляющие, на которые можно разложить звуковые колебания, вследствие явления резонанса (резкое увеличение амплитуды колебаний при совпадении собственной и вынуждающих частот) сильно раскачивают волоски строго определенных размеров, что вызывает появления импульсов в соответствующих нервных окончаниях. Соответствующая информация передается в мозг, где и возникает ощущение звука (эта часть процесса восприятия изучена наиболее плохо). Т.о, в ухе происходит фурье-анализ звуковых колебаний.

Колебания воздуха, создаваемые свободно колеблющимися струнами, весьма близки к гармоническим (”чистый звук”), хотя и содержат малые примеси частот, кратных главной - обертоны. Их наличие объясняет факт различного звучания одной и той же ноты на разных инструментах. Обертоны “несут ответственность” за распознавание речи: при произношении гласных звуков голосовые связки человека создают соответствующие его высоте голоса частоты, весьма богатые обертонами. Движение языка и губ изменяют форму ротовой полости, выполняющей роль акустического резонатора, и, как следствие, - режимы затухания различных гармоник.

Музыкальные звуки представляют собой смесь нескольких гармонических колебаний, частоты которых относятся как небольшие целые числа и вызывают у человека приятные ощущения (механизм последнего не выяснен). Близкие, но отличающиеся по частоте колебания вызывают неприятные ощущения диссонирующего звука. Звуковые колебания со сплошными спектром частот воспринимаются человеком как шум.

Колебания плотности с частотами, лежащими ниже частотного порога восприятия, называются инфразвуком. Имеются данные о том, что интенсивный инфразвук определенных частот может оказывать весьма неблагоприятное влияние на человека, что по-видимому связано с его резонансным воздействием на протекающие в организме периодические процессы.