Дифференциальная геометрия (стр. 3 из 3)
Внешними дифференциальными формами называются элементы алгебры дифференциальных форм w(k). Они инвариантны относительно замены координат т.е.
.Теорема. Многообразие ориентируемо титт, когда на нем задана диф. форма w, отличная от нуля во всех точках мн-я.
Теорема. Размерность дифференциальных форм степени k равна
.Rot(¦):=
; Div(¦ ):= 
.Градиентом внешней формыw наз. внешняя д.ф. dw, компоненты которой в локальной системе координат (x1,…,xn) имеют вид:
= 
. Grad(¦):= 
.Градиент внешней формы линеен и обладает следующими свойствами:
1) d(w1Ùw2)=dw1Ùw2+ 
w1Ùdw2.
d(dw)=0.
Замкнутой внешней дифференциальной формой наз. внешняя д.ф. с нулевым градиентом.
Точной внешней дифференциальной формой наз. внешняя д.ф. , если ее можно представить в виде градиента некоторой дифференциальной формы.
Носителем дифференциальной формы наз. Замыкание множества, на котором дифференциальная форма отлична от нуля.
Сосредоточенной , относительно заданной точки, дифференциальной формой наз. такая д.ф., что она отлична от нуля в достаточно малой окрестности заданной точки.
Ограничением дифференциальной формы по отношению к мн-зию М наз. такая д.ф. над подмн-зием К мн-зия М, что она тождественно равна исходной дифференциальной форме на подмн-зии К и нулю вне его.
Продолжением дифференциальной формы по отношению к подмн-зию К мн-зия М, наз. такая д.ф. над мн-зием М что она тождественно равна исходной дифференциальной форме на подмн-зии К.
Теорема. Пусть y- отображение из мн-я M в мн-е N, пусть y* - отображение диф. форм из M в N, тогда
.
dy*(w)= y*(dw).
Сл-е. Замкнутость и точность диф. форм - инвариант.
Интегралом диф. формы w по карте D ориентируемого мн-ия M называется выражение
, где Sx ровно знаку ориентации карты D.Утверждение. Для интегрируемой ф-ии ¦ найдется такая диф. форма w=Sx¦(x) 
, где Sx ровно знаку ориентации карты D, а G – метрика, что их интегралы равны.
Формула Стокса. Для ориентируемого многообразия с краем M и диф. формы w
.Группой когомологий де Рама наз. фактор - пр-во замкнутых внешних дифференциальных форм степени k по подпространству точных форм размерности k мн-зия M и обозначается через Hk(M) или 
(M) если носителем дифференциальной формы является компакт. Всякая точная форма является замкнутой, так как d(dw ‘) = dd(w¢)=0.
Кольцо всех замкнутых внешних дифференциальных форм произвольной степени мн-я M обозначается через H*(M).
Обратным образом ¦*(w) внешней дифференциальной формы w на M2наз. такая внешняя д.ф. на мн-зии M1, задаваемое формулой: ¦*(x1,…,xk)=w(d¦(x1),…,d¦(xk)), где x1,…,xkпринадлежат касательному пространству точки Р из M2 и являются образами отображения ¦, где ¦ - гладкое отображение мн-зий .
Теорема. Группы когомологий де Рама гомотопных мн-й изоморфны.
Производной вдоль кривой g наз. выражение: Ñg 
=xkÑk( ), где
g(t) – поле скоростей с координатами {xk} в некоторой системе координат и Ñ - аффинная связность на Mn, задаваемая в системе координат набором частных дифференцирований Ñk.
Уравнением параллельного переноса наз. уравнение
=0.Геодезической в данной связности Ñ наз. гладкая кривая на мн-зии Mn c аффинной связностью Ñ, если 
(g)=0, где 
- векторное поле скоростей траектории g(t).
Теорема. Геодезическая в данной связности Ñ задается уравнением
=0.Теорема. Геодезическими линиями римановой связности на сфере со стандартной метрикой являются все центральные плоские сечения сферы и только они.
Теорема. Геодезическими линиями римановой связности на псевдосфере в модели Пуанкаре со стандартной метрикой являются все дуги окружностей выходящих на абсолют под прямым углом и только они.
Теорема. Локально существует единственная геодезическая кривая, проходящая через заданную точку.
Лагранжианом называют функцию
, зависящую от трех групп переменных 1£b£n, 1£a£n, 1£i£k.Стационарной для функционала J называется такая ф-я ¦, что по любому направлению h
.Системой функциональных уравнений Эйлера называется система
.Теорема. Функция ¦ является экстремальной для функционала J титт, когда она удовлетворяет системе ф. ур-й Эйлера.
Теорема. Пусть дана кривая g и функционал
. Тогда экстремалями функционала E являются геодезические траектории g(t), параметризованные параметром, пропорциональным натуральному.Теорема. Функция ¦ является экстремальной для функционала J титт, когда она удовлетворяет системе ф. ур-й Эйлера.
Теорема. Пусть дана кривая g и функционал
. Тогда экстремалями функционала L являются траектории получающиеся из геодезических путем гладких замен параметров на них.