Введение.
Еще древних интересовали вопросы: как создается новое, откуда берется то, чего еще не было вчера, кто или что является его источником? И уже древние пытались на него ответить, создавая грандиозные мифологические, потом религиозно-философские, а затем и научные картины мира. Однако в отношении творений человека этот вопрос приобретал особую остроту. Ибо, во-первых, пути поиска нового, даже в одной области, зачастую очень сильно разнятся, а во-вторых, способность создавать новое присуща далеко не всем людям.
Деятельность человека, порождающая качественно новое, оригинальное и уникальное, получила название творчество. По-видимому, первые попытки рациональной реконструкции творческого процесса начались в античности, причем тогдашние мыслители имели в своем распоряжении достаточно развитую математику. Поэтому практически все их исследования так или иначе касались ее. Уже античные авторы заметили специфичность математики, которая заключалась в воплощении принципов логической последовательности выводов из принятых постулатов. В таком подходе они увидели идеал, к которому нужно было привести остальные области знания - философию, физику, астрономию и др. Но в последствии от этого отказались и на смену математическому идеалу пришли другие.
Дальнейшие исследования только подчеркнули обособленность математики, уникальность ее методов и выводов, что позволяет говорить нам об особом виде творчества - математическом творчестве. Нас будет интересовать вопрос, как осуществляется это творчество, т.е. появляется новое в математике, и какова роль интуиции в появлении этого нового. Кроме того, мы рассмотрим некоторые вопросы взаимоотношений математической интуиции и гуманитарного знания.
Интуиция в математическом творчестве.
“Чистая логика всегда приводила бы нас только к тавтологии; она не могла бы создать ничего нового…”
А. Пуанкаре [17, стр.210]
Виды интуиции.
Во введении мы отметили, что процесс открытия одного и того же может протекать у разных людей по-разному. Это не удивительно, т.к. в каждом таком случае мы имеем дело с творческой индивидуальностью, которая во многом определяется работой уникального органа – человеческого мозга. Раскрытие механизмов его работы могло бы дать точный ответ на наши вопросы. Но до сих пор эти механизмы остаются загадкой. Более того, современные исследования подчеркивают сложность их раскрытия. Так, И. Пригожин и И. Стенгерс приводили следующие интересные сведения: “В стадии глубокого сна в <электрической> активности головного мозга обнаруживается детерминистический хаос с фрактальным аттрактором в шестимерном пространстве<…> С другой стороны, в состоянии бодрствования конечномерный аттрактор не был идентифицирован. С точки зрения электрической активности мы имеем дело с истинной случайностью” [16, стр. 78]. Это говорит о том, что исследование процесса творчества через изучение функционирования головного мозга не может сегодня существенно помочь в достижении наших целей. Казалось бы, на этом можно ставить точку в попытке изучения творчества вообще и математического – в частности, объявив эту задачу пока неразрешимой. Такая негативная реакция вполне естественна. Однако, там где мы доходим до границ специального знания, где мы осознаем принципиальную ограниченность этого знания и где у нас возникает потребность перешагнуть эти границы, там у нас остается одно средство – это гипотеза и философский анализ проблемы. Здесь мы встаем на этот путь. Его суть заключается в изучении свидетельств субъектов творчества и его продуктов. Как мы увидим, такой путь позволит хотя бы частично ответить на заявленные вопросы.
Исследователи давно заметили два совершенно различных магистральных пути в понимании математики: геометрический (или топологический) и алгебраический. Геометрический способ понимания включает в себя оперирование наглядными идеями, привлечение чертежей и рисунков, отказ, хотя бы на этапе самого творения, от формул и вычислений, огрубляя, можно сказать так: геометрическое понимание – это сначала наглядное представление, потом формула. Под алгебраическим способом понимают полную противоположность геометрическому. Несмотря на то, что оба подхода можно достаточно четко идентифицировать, они не являются самодостаточными. Т. е. не всегда задача может быть сведена только к геометрии или только к алгебре. Заметим, что в истории были попытки такого сведения.
В VI в. до н. э. пифагорейцы выдвинули философский принцип – “все есть число”. И попытались все известные им закономерности свести к числовым соотношениям. Однако открытие проблемы несоизмеримости отрезков привело к отказу от этого принципа и переходу к геометрическому способу рассуждений. Такой подход просуществовал довольно долго. Например, Д. Кардано (1501-1576) при выводе своих знаменитых формул рассуждал примерно так: “… если куб со стороной β=α+х разрезать плоскостями, параллельными граням, на куб со стороной α и куб со стороной х, получается, кроме двух кубов, три прямоугольных параллелепипеда со сторонами α, α, х и три – со сторонами α, х, х; соотношение между объемами дает
х3+3х2α+ 3хα2 +α3 = β3 ;
для перехода к
х3+3αβх = β3-α3
параллелепипеды разных типов попарно объединяются.” [9, стр. 27]
Т. о. выглядела привычная нам выкладка 3х2α +3хα2=3хα (х+α)= 3хαβ (с учетом того, что х+α=β).
Переход на алгебраическую символику, в частности открытие аналитической геометрии, существенно упростили рассуждения. И позволил студентам-первокурсникам просто решать задачи, многие из которых потребовали бы значительных усилий у великих математиков древности.
Как видим, применение геометрического подхода в данной задаче затрудняло ее решение, а алгебраическая символизация существенно упростила ее понимание.
Более того, в любой содержательной задаче можно выделить как геометрическую, так и алгебраическую составляющие, причем составляющие независимые. Простой пример – это понятие действительного числа. Вот, что пишет по этому поводу Г. Вейль [8]: “Система действительных чисел подобна двуликому Янусу: с одной стороны – это совокупность алгебраических операций “+” и “” и им обратных, с другой – континуальное многообразие, части которого связаны друг с другом непрерывно. Первый лик чисел алгебраический, второй топологический.”
Необходимо отметить, что сочетание обоих подходов жизненно необходимо для развития математики. Мы частично продемонстрировали это на примере вывода формул Кардано. Приведем еще несколько свидетельств в пользу нашего вывода. Так, известно, что основную теорему алгебры невозможно доказать чисто алгебраическими методами. На каком-то этапе нам обязательно потребуется свойство непрерывности в той или иной геометрической интерпретации.
Или возьмем понятие группы Ли. Как отмечает выдающийся специалист в области группового анализа дифференциальных уравнений П. Олвер [12]:
“На первый взгляд группа Ли выглядит каким-то неестественным сочетанием алгебраического понятия группы, с одной стороны, и дифференциально- геометрического понятия многообразия <…>, однако <…> комбинация алгебры и анализа приводит к мощной технике для изучения симметрии … ” [12, стр. 37-38].
Итак, мы выделили два направления в понимании математики. Причем указали на их принципиальную взаимодополняемость или на то, что Г. Вейль называл “предустановленной гармонией между геометрией и алгеброй”. Изучение творчества реально действующих математиков показывает, что последние всегда тяготеют к какому-то одному из направлений. Классическим примером является школа теории функций К. Вейерштрасса с формально-алгебраической направленностью и топологическая теория алгебраических функций Г. Римана. Такое разделение скорее всего является не только действием окружающих факторов. Так, те же К. Вейерштрасс и Г. Риман творили в одно и то же время, в одной и той же культурной среде. Поэтому с большой долей вероятности можно утверждать, что в основе такого пристрастия лежат личные мотивы, основой которых является, при прочих равных условиях, физиологические особенности головного мозга конкретного ученого. В подтверждение сошлюсь на открытие, сделанное профессором Калифорнийского технического института Р. Сперри. Р. Сперри исследовал больных с перерезанным “мозолистым телом”, соединяющим два полушария мозга и доказал, что функции этих полушарий обладают определенной несимметричностью. За свои исследования Р. Сперри получил Нобелевскую премию по биологии и медицине в 1981 году. Коротко суть открытия Р. Сперри сформулировал академик В. И. Арнольд: “Наш мозг состоит из двух полушарий. Левое отвечает за умножение многочленов, языки, шахматы, интриги и последовательности силлогизмов, а правое – за пространственную ориентацию, интуицию и все необходимое для реальной жизни” [2, стр. 49].
Т. о., можно принять разделение математиков на “правополушарных” и “левополушарных”. “Левополушарных” будем еще называть аналитиками или алгебраистами. Рассмотрим более подробно “правополушарных” математиков. Эту категорию называют еще геометрами. Но в силу того, что “правополушарные” математики черпают свои идеи не только из пространственных представлений, такое название кажется слишком узким. Кроме, собственно, геометрических представлений к математическому открытию могут вести представления из смежных областей знания. Наиболее ярко это проявляется во взаимоотношениях математики и физики. Причем физика не только ставит задачи, она так же является поставщиком новых понятий и методов. Так, основные факты теории обобщенных функций появились исходя из чисто физических абстракций и были сформулированы и использованы задолго до строгих математических обоснований. А упоминавшийся выше В. И. Арнольд вообще указывает на “фундаментальное единство математики и физики” [6, стр. 10].