Математическая интуиция (стр. 4 из 5)

Априорное знание при этом у различных философов имеет разные истоки. Так, В.Я.Перминов выводит априоризм и его общезначимость из практической деятельностной ориентации познающего человека. Он полагает, что “представления, лежащие в основе математических понятий, - не абстракции и не теоретические идеализации, а интуиции, проистекающие из деятельностной ориентации познающего субъекта” [15, стр. 47].

Г.Фоллмер и с ним все последователи эволюционной эпистемологии считают, что априорные структуры – “продукт эволюции [и они] принадлежат к генетическому оснащению, когнитивному “инвентарю” индивида, они являются унаследованными и врожденными в широком смысле, поэтому не только независимы от всякого (индивидуального!) опыта, но имеются до опыта и делают вообще опыт возможным ” [20, стр. 157].. Т. о. видно, что вопрос об истоках существования априорного знания требует отдельного исследования. Однако нам достаточно того, что оно существует.

Кроме априорного мы указали на существование неявного знания. Под ним подразумевается то знание, “которым мы пользуемся неосознанно” [19, стр. 68]. Некоторые исследователи считают априорное знание частью неявного. Однако я полагаю, что их следует разделять. Так, априорное знание носит ярко выраженный интрсубъективный характер, тогда как неявное – изначально субъективно, либо зависимо от социокультурных факторов. Так вот, априорное и неявное знание служит тем базисом, с которым мышление соотносит результат работы бессознательного. И если объекты из бессознательного хорошо коррелируют с этим базисом, то это служит сигналом к “прорыву” и “озарению”.

“В ”Госпоже Ленин” хотел

найти “бесконечно малые”

художественные слова”

В. Хлебников.

Математические интуиции и человеческая культура.

Нет нужды доказывать, что математика имеет большое значение для человеческой культуры. Грандиозные достижения человечества – полеты в космос, вычислительная техника и др. не обходятся без применения математики. Т. о., опосредованно через нее и математическая интуиция оказывает большое влияние на окружающий нас мир. Но здесь речь пойдет не об этом вполне очевидном выводе. Поговорим о таких явлениях в человеческой культуре, когда математическая интуиция становится сама явлением культуры или порождает таковые.

Современный математик, публикуя результаты своих исследований, стремится сделать свой текст как можно более формальным. Основное внимание при этом уделяется логической строгости, и из публикуемой работы изгоняются все неявные и интуитивные установки. Такой подход позволяет самому математику и окружающему его математическому сообществу быть уверенными в правильности доказанных результатов. У этого явления есть и другая сторона медали. Зачастую такой текст понятен лишь небольшой группе специалистов в данном вопросе. Если же его захочет понять неспециалист, то ему необходимо затратить немало времени и усилий, чтобы по формальному тексту сформировать необходимые интуитивные представления и соотнести их между собой, либо ему необходимо получить эти представления от специалистов. Этот процесс передачи неформальных представлений можно часто наблюдать на лекциях и семинарах, когда преподаватель делает “лирические” отступления. Именно в нем по-видимому кроется секрет школы и традиции. Недаром А. Гротендик отметил, что “наука живет связью между людьми и преемственностью поколений” [10, стр. 137].

Необходимость передавать и формировать у обучающихся интуитивные представления привела к рождению целого пласта учебной литературы, авторы которой избегают чисто формальных выкладок и стремятся к наглядности изложения. Причем это в первую очередь книги по геометрии и математической физики (интересно, что в школьной программе именно геометрия адекватнее всего отражает современный взгляд на математическую строгость). Среди авторов таких учебников следует отметить В.И. Арнольда, В,В, Прасолова, А.Т. Фоменко и др. Попытки же донести математические идеи до более широкой публики ведут к рождению совершенно удивительных произведений. Человек не в силах наглядно представить себе искривленное пространство размерностью больше трех. Однако, в математике с большими размерностями встречаются сплошь и рядом. При этом используются специфические интуиции, стоящие далеко за рамками наглядности. Попытки доступно описать эти интуиции привели к рождению удивительных по своему качествупроизведений, далеко выходящих за рамки методики обучения. Я имею ввиду особый жанр литературы и искусства, главным героем которых является математическая интуиция. Например, роман Э. Эбботта “Флатландия” [25] и его продолжение, написанное Д. Бюргером “Сферландия”, хотя и призваны выработать у читающего представления о связности, ориентации, размерности и кривизне пространств, читаются как увлекательные приключения. А читатели всемирно известного романа Л. Кэрролла “Алиса в Стране Чудес”, вообще часто забывают о его истинном предназначении.

Кроме попыток описать геометрические интуиции были попытки их нарисовать. Здесь, в качестве первого примера я сошлюсь на творчество голландского графика М.Эшера. Особенностью его творчества было виртуозное изображение на плоскости “невозможных” конструкций и пространственных построений, а также использование зрительных иллюзий, причем большинство мотивов так или иначе были взяты из геометрии.

Следующим примером являются графические листы нашего соотечественника выдающегося геометра А.Т. Фоменко. В своей книге “Наглядная геометрия и топология” [21] он дает этим изображениям чисто математическую интерпретацию, понятную специалистам, однако сами изображения сделали бы честь любой выставке современного искусства.

Большой потенциал в этой связи имеет компьютерная геометрия. Особенно это проявилось после удачных экспериментов по получению изображений множеств дробной размерности или по-другому фракталов. Группа западных ученых стала выставлять их на обозрение широкой публике. Причем публика восприняла это с большим энтузиазмом, и выставки пользовались неизменным успехом. Интересно, что людей не интересовала истинная природа фракталов, их привлекали и привлекают необычные яркие многоцветные изображения и только они. Т. о., можно говорить об особом направлении в изобразительном искусстве.

Еще один пример жизни математических интуиций в искусстве дает нам творчество русского поэта Велимира Хлебникова. Время его жизни пришлось на конец XIX – начало XX века – время бурных перемен в мировом политическом устройстве, науке, в частности, физике и, конечно, искусстве. И В. Хлебников оказался в этом водовороте. Широкое образование, способность быстро усваивать и перерабатывать новые идеи позволило создать ему творения, которые трудно с чем-либо спутать. И не последнюю роль в них играла математика. Чего стоит, например, такая фраза: “В “Госпоже Ленин” хотел найти “бесконечно малые” художественного слова” [23, стр. 7]. Он вжился в мир математических абстракций и заставил их жить нематематической жизнью. Вот как он сам описывает процесс осмысления геометрии Лобачевского:

“Мир с непоперечными кривыми”

Во дни “давно” и весел

Сел в первые ряды кресел

Думы моей,

Чей занавес уже поднят.” [цит., по: 24].

Обнаружив большую значимость в естествознании числа

, он придал ему в своих литературных поисках всеобщий характер: “Пора научить людей извлекать вторичные корни из себя и из отрицательных людей. Пусть несколько искр больших искусств упадет в умы современников.” [23, стр. 51]. Творчество Хлебникова не просто литературная пеленица с математическим уклоном. Исследователи отмечают глубину его проникновения в интуитивный мир науки. И фраза “Хлебников – с одной стороны, Вавилов, Планк, Эйнштейн – с другой, питались одной и той же мифологией, почерпая из нее исходные интуиции” [24] не лишена оснований. В заключение предпринятого обзора рассмотрим проявления математических интуиций во взаимоотношениях математики и гуманитарных наук. Нас не будет интересовать математическое моделирование в этих науках. Хотя, бесспорно, при составлении и изучении модели используется широкий набор математических интуиций. Однако, здесь они “живут” внутри модели, подчиняются математическим закономерностям. Для нас же сейчас интересна ситуация, когда представления, рожденные в математике, отрываются от нее, переносятся в другую науку и начинают жить по законам этой науки. Причем переносится само представление без сопутствующих определений, формул и т. д. Поясним сказанное на примере. Вот выдержка из современной монографии, посвященной самоорганизации в социальных системах: “… траектория социального цикла имеет как буфуркационные зоны стохастического выбора <…>, так и более устойчивые <…> участки развития…” [7, стр.287]. Итак, в одном предложении мы встречаем по крайней мере три математических термина – траектория, бифуркация, стохастический. Первые два заимствованы из качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, третий является синонимом случайности. Как и указывалось выше, они используются сами по себе, без какого-либо соотнесения с породившей их математической теорией. Но самое интересное состоит в том, что их определения в этой книге соответствуют тем интуитивным представлениям, которые обычно формируются при изучении соответствующего математического определения. Происходит своего рода неформальная вербализация интуитивного образа математического объекта. Этот процесс напоминает своеобразную математизацию, отличную от классического ее понимания. Так, классическая математизация накладывает жесткие требования на объект моделирования. По мнению Г.И. Рузавина, “объективной основой применения математических методов <…> служит качественная однородность изучаемых <…> классов явлений” [18, стр. 189]. Он же указывает, что “в социальных и гуманитарных науках выделение однородного качества и его математического изучения сопряжены с большим числом трудностей, так как при этом приходится учитывать и такие субъективные факторы, как воля, цели, ценностные ориентировки и мотивации людей” [18, стр. 191]. В нашем же случае условия диктует гуманитарная наука. Она органично вплетает в себя математические представления. Причем целесообразность такого “вплетения” определяется на интуитивном уровне. Такая математизация сейчас очень популярна. Многие работы по философии, социологии, экологии пестрят терминами – нелинейность, бифуркация, флуктуация, диссипативная система, стохастический, фракталы и т. д. Об эффективности этого подхода судить пока еще трудно. Но для нас важно, что он есть.