Физика долгое время была монопольным поставщиком задач, идей и методов в математику, и даже сегодня попытки отнять эту привилегию другими науками достаточно слабы на ее фоне. Поэтому математиков, исходящих в своем творчестве из представлений смежных наук, мы условно будем называть “физиками”.
Кроме этих двух типов, среди “правополушарных” математиков следует выделить математиков - “философов”, которые в своих исследованиях обращаются к философским представлениям. Потребность в таком подходе обычно проявляется в переломные моменты истории науки, за которыми лежат новые теории и целые направления в науке. История математики изобилует примерами такого рода. Философскими установками в своем творчестве пользовались И. Ньютон, Г. Лейбниц, Н.И. Лобачевский, Л. Брауэр, Д. Гильберт и др.
Итак, мы разделили всех действующих математиков на четыре типа – аналитики, геометры, физики и философы. И вплотную подошли к ответу на вопрос, что же лежит в основе акта творения?
А. Пуанкаре как-то заметил: “… для того, чтобы создать геометрию или какую бы то ни было науку, нужно нечто другое, чем чистая логика. Для обозначения этого другого у нас нет иного слова, кроме слова “интуиция” [17, стр. 210]. Принимая эту точку зрения, попытаемся показать, что каждому из четырех типов математиков присуща своя интуиция.
Сегодня под интуицией принято понимать способность мышления к непосредственным умозаключениям путем мысленного схватывания (“озарения”) без промежуточных обоснований и доказательств. По-видимому, ей принадлежит решающая роль в творчестве, поэтому остановимся на этом феномене и его роли в математическом открытии.
Обратимся снова к нашей классификации математиков. Мы разделили их по способу возникновения у них новых представлений, т. е. по способу понимания математики. Резонно предположить, что этот способ диктуется особым видом интуиции, присущим тому или иному типу математиков, т. е. существует четыре типа интуиции – аналитическая, геометрическая, физическая и философская.
Начнем с аналитиков. Обычно им отказывают в использовании интуиции в творчестве, полагая, что они идут к открытию умело оперируя логическим выводом и формулами. Подробно изучая этот вопрос, А. Пуанкаре отмечает, что оставаясь “искусными мастерами силлогизмов”, они “не смогли бы расширить границы науки” [17, стр. 216]. И для них он вводит особый вид интуиции – интуиции чистого числа, которая лежит в основе аналогий. Такая интуиция позволяет не выходить за рамки логического знания и поэтому избавляет его обладателя от логических ошибок. К математикам, которые обладают таким видом интуиции А. Пуанкаре отнес Ш. Эрмита. Но, наверное, самым ярким представителем аналитиков был Сринивада Рамануджан. С. Рамануджан родился в 1887 г. на юге Индии в селении Эрод. Свой путь в математике он начал с двухтомного руководства по тригонометрии Лони, которое он получил от студента из Мадраса в 14 лет. Затем в 16 лет он начал осваивать двухтомное руководство английского математика Карра. В этой книге было собрано 6165 теорем и формул, почти без доказательств и с минимальными пояснениями. Эта книга оказала огромное влияние на его стиль творчества. Не имея представления о том, как проводить строгие доказательства, он формулировал совершенно нетривиальные утверждения. Ряд из них он отправил в Англию профессору Кембриджского университета Г.Г. Харди, который получил их в самом начале 1913 года. Увидев присланные формулы, Харди полагал, что человек, написавший их, владеет очень мощной техникой доказательств и может доказывать более общие результаты. Однако, когда по ходатайству того же Харди Рамануджан приехал в Лондон, оказалось, что никаких доказательств нет, есть только совершенно туманные объяснения. Оказалось, что Рамануджан просто “живет в мире формул”. Причем каждое, буквально, каждое число было его “другом”! Показателен случай, описанный Ч.П. Сноу: “Харди часто навещал Рамануджана, когда тот, умирая, находился в больнице в Патни. Именно в одно из таких посещений произошел “инцидент” с номером такси. Харди приехал в Патни на такси, воспользовавшись своим излюбленным транспортным средством. Он вошел в палату, где лежал Рамануджан. Начинать разговор Харди было мучительно трудно, и он произнес свою первую фразу: “Если не ошибаюсь, то номер такси, на котором я приехал, 1729. Мне кажется, это скучное число”. На что Рамануджан тотчас же ответил: “Нет, Харди! О нет! Это интересное число. Это самое малое из чисел, представимых в виде суммы двух кубов двумя различными способами”. [22, стр. 26].
Будучи в Англии и работая в тандеме с Г. Харди, С. Рамануджан сформулировал свои самые сильные результаты. Причем многие из них нашли свое доказательство уже после его смерти. Как видно, С. Рамануджан обладал уникальным даром. Вообще, появление математика с интуицией чистого числа очень редкое явление. И большинству математиков нужно привлекать к решению своих задач воображение, т. е. более наглядные виды интуиции. Рассмотрим их.
Геометрические интуиции привлекают к решению задач пространственные представления – непрерывность пространства, его связность, замкнутость, открытость и т. д. Замечательно, что воспитание геометрической интуиции начинают с демонстраций макетов фигур, чертежей, преобразующихся компьютерных рисунков. Это направление в преподавании математики обычно называют наглядной геометрией. Внутри нее, как мне кажется, уже сложилась некоторая система требований к подбору материала, способами и приемами его изображения. Причем освоение геометрии как таковой практически невозможно без этого базиса. Наиболее характерным примером здесь является книга В. В. Прасолова “Наглядная топология”.
Физические интуиции берут свое начало в образах окружающей действительности. Часто этот тип интуиции смешивают с геометрической, однако есть основания разделять их. Так, А. Пуанкаре, как пример геометрической интуиции, рассматривает решение Р. Клейном задачи о том, существует ли на данной поверхности Римана функция, допускающая данные сингулярности. При решении этой задачи Р. Клейн “заменяет поверхность Римана металлической поверхностью, электропроводность которой меняется по известным законам, и соединяет две точки ее с двумя полюсами элемента. Ток, говорит он, непременно пройдет, и распределение этого тока по поверхности определит функцию, особыми свойствами которой будут именно те, которые предусмотрены условием.”[17, стр. 206]. Как видно, Р. Клейн пользуется физическими представлениями, лежащими за пределами просто пространственного воображения.
Физические интуиции сыграли огромную роль в становлении математики. Мы уже отмечали, что физика долгое время была монопольным поставщиком содержательных задач для математики.
Уже первые попытки открыть законы движения дали математике множество задач и сформулировали много ее внутриматематических понятий. Например, Г. Галилей, изучая свободное падение, вначале предположил, что движение должно протекать по закону v=c·S, где v – скорость, S – путь, а с – постоянное число. Положив путь равным нулю в начальный момент времени, он неожиданно для себя обнаружил, что движение по такому закону происходить не может. И, отбросив этот вариант, он пришел к своим знаменитым уравнениям движения. Однако, уравнение v=c·Sпродолжило свою жизнь в исследованиях шотландца Д. Непера, который, посчитав путь в нулевой момент времени отличным от нуля, получил показательную функцию, число е и логарифмы.
Дальнейшее развитие механики породило дифференциальное и интегральное исчисление, теорию дифференциальных уравнений и топологию. Рождение же неклассической механики стимулировало теорию вероятностей и математическую статистику, функциональный анализ и теорию меры.
Интересно то, что, ставя задачи, физика одновременно предлагала математике пути их решения. Возьмем хотя бы теорию уравнений в частных производных. Сами названия и соотношения ее конструкций несут на себе печать физических представлений (потенциал двойного слоя, интеграл энергии, резонанс и т. д.). Более того, попытка формулировки в этой теории чисто математических задач, оторванных от реальности (в частности, попытка построить общую теорию уравнений в частных производных) – ведет к “вырождению важной общематематической теории в бесконечный поток работ “об одном свойстве одного решения одной краевой задачи для одного уравнения” [3, стр. IX].
Обратимся теперь к философским интуициям. Как уже отмечалось, они вступают в дело в переломные моменты истории. В силу того, что наличие таких интуиций практически не описано, я для большей убедительности приведу два, на мой взгляд, ярких примера из истории математики. Первый – это попытка создания интуиционистской программы обоснования математики.
Всего программ обоснования было три – логицизм, интуиционизм и формализм. История создания каждой потребовала от разработчиков незаурядных способностей в философии математики. Однако, по моему мнению, интуиционизм был наиболее экстравагантной программой, т. к. в центр ее ставился человек, что согласитесь, было и остается вызовом для математического знания.
Считается, что интуиционизм родился в 1907 году, когда появилась диссертация Л. Брауэра “Об основаниях математики”. В противовес этой точке зрения современный исследователь интуиционизма М. И. Панов полагает, что рождение его произошло несколько ранее – в 1905 году. Он связывает эту дату с выходом другой работы Л. Брауэра – “Жизнь, искусство и мистицизм”. На первый взгляд этот труд очень далек от математики. И если прочитать те немногие отрывки, которые доступны на русском языке и содержатся в нескольких работах М. И. Панова, то такое мнение только укрепляется. Но все это лишь на первый взгляд. Вот одна из выдержек: “Интеллект напрямую связан с языком. Жизнь приносит в интеллект невозможность самому непосредственным образом – при помощи жеста или взгляда инстинктивно (или более нематериально) через все препятствия – устанавливать отношения друг с другом”, и далее ”<…> никто никогда не смог при помощи языка передать свою душу <…>” [13] И вместе с этим вспомним, что в обосновании интуиционизма Л. Брауэр подчеркивал, что математические построения осуществляются на интуитивном уровне в доязыковой форме, причем “<…> истинным в математике может считаться лишь то, что является интуитивно ясным.” [14, стр. 144]. А необходимость общения и сохранения результатов, требующая их закрепления в языке вела к вычленению логического каркаса, т. е., другими словами, к появлению логики, и затем к потребности в конструировании математических объектов.