Теорию чисел Ферма строил почти в одиночестве: из всех его современников только англичанин Джон Валлис интересовался ею. Но Ферма имел важное преимущество перед Валлисом и перед своим античным предшественником - Диофантом. Он хорошо знал аналитическую геометрию и оперировал уравнениями так же свободно, как числами. Поэтому он легко доказал "малую теориму Ферма" и узнал, что существуют конечные поля вычетов - системы чисел, устроенные (в смысле арифметики) еще удобнее, чем множество целых чисел.
Развивая этот успех, Ферма заинтересовался пифагоровыми тройками чисел - целыми решениями уравнения (х.. + у.. = z..). Существуют ли целые решения уравнений (х.. + у.. = z..) при n>2" Диофант не нашел ни одного решения для n=3; Ферма доказал, что таких решений не может быть. Оставалось обобщить метод Ферма для других простых показателей: 5, 7, 11... К сожалению, Ферма не стал проводить в этих случаях подробные расчеты - и поэтому не заметил удивительных алгебраических препятствий на своем пути. Например, при n=5 необходимо использовать комплексные числа: это первым заметил в конце 18 века Адриен Лежандр, а Ферма всю жизнь сомневался в полезности таких чисел! Далее, при n=23 доказательство "большой теоремы Ферма" натолкнулось на неоднозначное разложение комплексных чисел определенного вида на простые множители. Эту новую революцию в алгебре вызвал Эрнст Куммер в середине 19 века...
В целом, деятельность Ферма (как и деятельность Архимеда) можно сравнить с работой полноценной академии наук. Но увы - при жизни Ферма таких академий еще не было! Не было и научных журналов для публикации новых открытий. Поэтому все крупные ученые Европы узнавали о новых достижениях своих коллег из взаимной переписки. Некоторые любители математики (как аббат Мерсенн в Париже) сделали такую переписку своим главным вкладом в науку. Они регулярно сообщали всем своим корреспондентам о том, какие факты открыли их далекие коллеги. Если новый факт привлекал чье-то внимание, то от автора требовали письменного доказательства. В противном случае сообщение повисало в воздухе. Так случилось со многими объявлениями Ферма в теории чисел; оттого две его ошибки в этой области (с уравнением х.. + у.. = z.. и с простыми числами вида 2....+1) остались не замечены.
Такой "любительский" стиль коллективной работы в науке был неизбежен и даже удобен, пока во всей Европе одновременно работали два-три десятка крупных ученых. Как только их стало больше - общую работу пришлось организовать с помощью научных учреждений. Этот перелом произошел в 1660-е годы. В 1662 году объявило о своем рождении Королевское Общество в Лондоне, а в 1666 году по его образцу возникла Парижская Академия Наук. Оба эти содружества ученых сразу начали публиковать отчеты о своих собраниях и о тех открытиях, которые там обсуждались. С этого момента научный интернационал европейцев начал развиваться быстро и неудержимо. В год смерти Ферма в науку вошел самый прославленный ученый 17 века - Исаак Ньютон...