Давид Гильберт: Мы будем знать!
По таланту, богатству полученных результатов и широте мышления немецкий математик Давид Гильберт (1862-1943) был уникальной фигурой даже среди самых блестящих математических умов. Он оставил заметный след во многих областях математики, создал новые направления математических исследований и обогатят культуру XX века важными и глубокими работами, посвященными теории познания, роли и месту математики в системе современной науки, природе математической истины, аксиоматическому методу и взаимосвязи теоретического мышления и опыта. Выступая в 1900 году на Международном математическом конгрессе в Париже, Гильберт сформулировал знаменитые двадцать три проблемы, которые, по его мнению, математика XIX века завещала математике XX века. С тех пор на протяжении почти целого столетия многие существенные продвижения в математической науке связаны с решением проблем Гильберта -такова была мощь его интеллекта, острота прозрения и широта кругозора, глубина понимания задач, стоявших перед математикой и точным естествознанием. И если в 2000 году в Париже или в какой-нибудь другой точке земного шара соберется в очередной раз Международный математический конгресс, то на нем вряд ли прозвучит доклад, аналогичный сделанному Гильбертом,- время универсалов, свободно переходивших в своем творчестве от одной области своей науки к другой и получавших результаты настолько глубокие и полные, что развитие области порой надолго приостанавливалось, прошло безвозвратно.
Гильберт родился близ Кенигсберга, города Канта, и на всю жизнь сохранил глубокую привязанность к городу своего детства, университету и друзьям, в первую очередь Гурвицу и Минковскому, вписавшим не одну яркую страницу в современную математику. В отличие от многих собратьев по математической науке Гильберт живо интересовался тем, что происходит за рамками собственно математики - в физике, биологии, философии. Его интерес носил не "платонический", чисто познавательный характер, а был активным. В знаменитом Математическом институте в Геттингене, руководетелем которого Гильберт был долгие годы, заседания семинара в двадцатые годы, когда создавалась квантовая механика, неизменно открывались словами Гильберта: "Итак, господа, подобно вам, я хотел бы, чтобы кто-нибудь объяснил мне, что такое атом". Свом науку, математику, Гильберт рассматривал как инструмент познания природы. Создавая и оттачивая то оружие, которое математик прямо или опосредованно готовит своему собрату, работающему в одной из областей точного естествознания, Гильберт внимательно следил за бурным развитием физики и внес свою ощутимую лепту, например, в создание общей теории относительности и квантовой теории.
Будущее своей науки Гильберт видел в оптимистических тонах, глубоко веря, что математика счастливо избежит распада на многочисленные не связанные между собой ветви. Он был глубоко убежден, что в математике не существует неразрешимых проблем. Его девизом стало: "Мы должны знать, мы будем знать". Этим высказыванием Гильберт завершил и свое знаменитое выступление на Парижском математическом конгрессе в 1900 году, и предлагаемую вниманию читателя статью - выступление Гильберта перед коллегами-математиками в 1930 году, не утратившие своего значения и поныне. Публикуем это выступление с небольшими сокращениями.
***
Познание природы и жизни - наша первейшая задача. На ее решение направлены все усилия и вся воля человечества, и чем дальше, тем плодотворнее становятся эти усилия. За последние десятилетия нам удалось расширить и углубить наши знания о природе больше, чем за столько же столетий в прошлом. Сегодня мы хотим воспользоваться столь благоприятным положением, чтобы рассмотреть старую философскую проблему, а именно - многократно обсуждавшийся вопрос о том, какая доля нашего знания приходится, с одной стороны, на мышление, а с другой - на опыт. Этот старый вопрос вполне обоснован потому, что ответить на него по существу - означает установить, какова вообще природа нашего естественнонаучного знания и в каком смысле знание, которое мы получаем, занимаясь естественными науками, есть истина.
Без всякого выпада в адрес старых философов мы можем сегодня рассчитывать на более правильное решение этого вопроса с большей уверенностью, чем они, по двум причинам. Первая из них - уже упоминавшийся быстрый темп развития современной науки.
Важнейшие открытия прошлого - от Коперника, Кеплера, Галилея до Максвелла - разделены огромными временными промежутками и растянулись почти на четыре столетия. Новое время начинается с открытия волн Герца. Затем удар следует за ударом: Рентген открывает свои лучи, супруги Кюри - радиоактивность, Планк закладывает основы квантовой теории. И в новейшее время открытия новых явлений и поразительных зависимостей следовали одно за другим так, что множество действующих лиц непрестанно пополнялось: теория радиоактивности Резерфорда, теория фотоэффекта ("закон "аш-ню"") Эйнштейна, объяснение спектров Бором, нумерация химических элементов Мозли, теория относительности Эйнштейна, теория радиоактивного распада атомов по Резерфорду, строение атомов по Бору, теория изотопов по Астону.
В одной лишь физике мы стали свидетелями непрерывной вереницы открытий! По значимости ни одно из них не уступает достижениям прошлого, но они следуют одно за другим через существенно меньшие промежутки времени, хотя по своему внутреннему разнообразию ничуть не ниже открытий прошлого. В новых открытиях постоянно обнаруживается теснейшая взаимосвязь между теорией и практикой, мышлением и опытом. То теория, то эксперимент вырываются вперед, подтверждая, дополняя и стимулируя друг друга. Нечто аналогичное наблюдается также и в химии, астрономии и биологических науках.
По сравнению со старыми философами мы обладаем тем преимуществом, что на протяжении своей жизни стали свидетелями многих открытий и волей-неволей испытали на себе нововведения, вызванные появлением этих открытий. Среди этих открытий было немало таких, которые в корне изменяли старые, устоявшиеся взгляды и представления и даже приводили к полному отказу от них. Вспомним хотя бы о новом понимании одновременности событий в теории относительности или о распаде химических элементов и о том, как были устранены с их появлением старые взгляды, усомниться в которых до того никому не приходите в голову.
Но решению старой философской проблемы, о которой мы упомянули, ныне способствует и другое обстоятельство. В наше время на недосягаемую высоту поднялись не только техника экспериментирования и искусство возведения здания теоретической физики, но и их дополнение - логическая наука - достигло существенного успеха. Ныне существует общий метод рассмотрения естественнонаучных вопросов, который во всех случаях облегчает уточнение постановки проблемы и способствует подготовке ее решения. Я имею в виду аксиоматический метод.
Возникает вопрос: какое отношение имеет познание природы к аксиоматике, о которой сегодня говорится так много? Основная идея заключается в том, чтобы сформулировать в обширных областях науки немногочисленные утверждения, называемые аксиомами, чтобы затем чисто логическим путем возвести все здание теории. Но значение аксиоматики отнюдь не исчерпывается этим замечанием. Лучше всего суть аксиоматического метода нам позволят понять примеры. Древнейший и наиболее известный пример аксиоматического метода - геометрия Евклида. Но я хотел бы кратко пояснить суть аксиоматического метода на весьма ярком примере из современной биологии.
Дрозофила - это крохотная плодовая мушка, но наш интерес к ней велик; она стала объектом обширнейших, кропотливейших и успешнейших экспериментов по селекции. Обычно это мушка серого цвета, красноглазая, без пятен, с закругленными длинными крыльями. Но встречаются также желтые, а не серые мушки с белыми, а не красными глазами и т. д. Обычно пять перечисленных выше отличительных признаков взаимосвязаны, то есть если мушка желтая, то у нее к тому же белые глаза, она пятнистая, ее крылья имеют вырезы и скошены. Если у мушки косые крылья, то она к тому же желтая, имеет белые глаза и т. д. При подходящих скрещиваниях у потомства появляются в небольшом числе отклонения от этих обычных комбинаций признаков, причем в постоянной пропорции. Характеризующие такие отклонения числа находятся экспериментально. Они удовлетворяют евклидовой аксиоме конгруэнтности и аксиоме о геометрическом понятии "между", поэтому законы наследственности выступают как одно из приложений аксиом линейной конгруэнтности, то есть элементарных геометрических теорем об отрезках, откладываемых на прямой, причем с такой удивительной точностью, о которой нельзя было бы мечтать в самых смелых фантазиях.
А вот еще один пример аксиоматического метода, заимствованный мной из совершенно другой области. Мы привыкли к тому, что в наших теоретических науках используются формальные процессы мышления и абстрактные методы. Аксиоматический метод принадлежит логике. При слове "логика" у многих возникает представление о предмете очень скучном и трудном. Но сегодня логическая наука легко понимаема и очень интересна. Например, стало понятно, что и в повседневной жизни используются методы и возникают понятия, требующие высокой степени абстракции, понимаемые только с помощью неосознанного, интуитивного применения аксиоматических методов. Рассмотрим, например, общий процесс отрицания и особенно понятие "бесконечность". Что касается этого понятия, то необходимо уяснить, что бесконечность лишена наглядного смысла и без более подробного исследования лишена всякого смысла, так как существует только то, что конечно. Не существует бесконечно большой скорости, равно как и бесконечно быстро распространяющейся силы или действия. К тому же действие по своей природе дискретно и существует только квантами. Не существует ничего континуального, сплошного, бесконечно делимого. Даже свет обладает корпускулярной, атомистической структурой, как и действие.