Электростатическое взаимодействие точечных зарядов (стр. 2 из 3)

(1/2)[φ₂(1)Q₁ + φ₁(2)Q₂] = (1/8πε₀R₀)(Q₂Q₁ + Q₁Q₂) = Q₁Q₂/4πε₀R₀ = U. (11)

Рассмотрим далее интеграл в левой части выражения (6), представляющий альтернативную по отношению к (10) форму для вычисления энергии системы зарядов. Обращаясь к формуле (3), где расписано E², видим, что W(X, Y) состоит из трёх частей:

W₁ = (ε₀/2)E₁²; W₂ = (ε₀/2)E₂²; (12)

W₃ = (ε₀/2)∙2E₁E₂∙cosα. (13)

Члены W₁ и W₂ описывают неизменные при любых обстоятельствах плотности энергии собственных полей зарядов. Объёмные интегралы от них можно сравнить с членами φ₁(1)Q₁/2 и φ₂(2)Q₂/2 в формуле (10),

∫_V W₁dV = φ₁(1)Q₁/2, ∫_V W₂dV = φ₂(2)Q₂/2, (14)

и исключить из обоих выражений, (3) и (10). Эта операция позволяет также частично избавиться от проблем, связанных с характеристиками поля на небольших расстояниях от точечных зарядов, и с трудностями учёта собственных полей зарядов в теории [1, 5, 10]. Таким образом, взаимодействие зарядов определяется только членом W₃, зависящим от силовых характеристик обоих зарядов одновремённо. Аналогом объёмного интеграла от W₃ «на языке зарядов» является выражение (11). Сравнивая интеграл от W₃ с интегралом (11),

∫_V W₃dV = (1/2)∫_V [φ₁(2)Q₂δ(2) + φ₂(1)Q₁δ(1)]dV, (15)

можно ожидать, что вычисление интеграла в левой части (15), также приведёт к энергии U, но распределение объёмной плотности энергии в пространстве (формула (13)), вполне очевидно, не будет совпадать с представленным в правой части (15).

Рассмотрим подробнее распределение энергии W₃ в пространстве. Косинус угла α, показанный на рис. 1, играет определённую роль: cosα < 0, если α > 900 (имеет место внутри окружности, вписанной между зарядами с центром в середине отрезка R₀), и cosα > 0 во всём остальном пространстве. Поэтому окружность cosα = 0 (в трёхмерном пространстве – сферическая поверхность) является важной границей, она отделяет конструктивную интерференцию от деструктивной. Пространство внутри этой сферы будем называть центральной зоной взаимодействия.

Задача упрощается без ущерба содержанию, если положить

Q₁ = Q₂ = q; (R₁/R₀) = r₁; (R₂/R₀) = r₂; (X/R₀) = x; (Y/R₀) = y. (16)

В этом случае единицей измерения координаты становится расстояние между зарядами – отрезок R₀.

Формула (15) с использованием (3) и (16) принимает вид:

∫_VW₃dV = (q²/32π²ε₀R₀⁴)∫_V[(r₁² + r₂² – 1)/r₁³r₂³]dV. (17)

Обозначим подынтегральную функцию в правой части (17) символом w₃ (она представляет собой относительное распределение объёмной плотности энергии в пространстве):

w₃ = (r₁² + r₂² – 1)/r₁³r₂³ = 2(x² – x + y²)/{y⁴ + y²[x² + (1 – x)²] + x²(1 – x)²}^3/2. (18)

Форма распределения w₃ в зависимости от x и y одинакова не только для равных, но и для разных по величине и знаку зарядов. Проведём с w₃ ряд дальнейших вычислений. Константа, вынесенная за знак интеграла в формуле (17),

А = q²/32π²ε0R04, (19)

будет учтена в конце работы.

Подстановки (16) с образованием относительных распределений типа (18) применим также к W₁ и W₂ (формулы (12)); получим, соответственно, w₁ и w₂:

w₁ = r₁^–4 = 1/(x² + y²)²; w₂ = r₂^–4 = 1/[(1 – x)² + y²]². (20)

Найдёмсоотношение

w = (w₁ + w₂ + w₃)/(w₁ + w₂) = 1+ w₃/(w₁ + w₂) = 1 + r₁r₂(r₁² + r₂² – 1)/(r₁⁴ + r₂⁴), (21)

которое представляет собой некоторую поверхность. Участок этой поверхности внутри и вблизи центральной зоны взаимодействия показан на рис. 2 в пределах изменения x от –1 до 1, и y от –2 до 2.

Рис. 2. Отношение w объёмной плотности энергии в системе двух одноимённых взаимодействующих зарядов к сумме энергий невзаимодействующих зарядов

Заряды расположены в точках с координатами (0, 0) и (1, 0). Если бы энергия w₃ отсутствовала, то рассматриваемое отношение имело вид плоскости w = 1 (см. формулу (21)).

Как видно из рис. 2 и формулы (21), значение w равно нулю в центре отрезка R₀ (x = 0,5; y = 0); w = 1 на окружности, вписанной между зарядами; w = 2, максимально достижимое значение при x, y → ∞. Взаимодействие зарядов существенно дополняет сумму их собственных энергий и положительными, и отрицательными вкладами; при отталкивании зарядов энергия поля как бы «уходит» из центральной зоны наружу. Однако,

|w₃/(w₁+w₂)| ≤ 1, (22)

то есть плотность энергии взаимодействия зарядов в каждой точке поля никогда не превышает суммы плотностей их собственных силовых полей. Новая деформированная структура поля обладает большей энергией, чем недеформированная. Поле «стремится» избавиться от избыточной энергии, и отсюда возникают силы взаимодействия. Механизм образования деформированной «надструктуры» w₃ целиком определяется принципом суперпозиции (векторным сложением напряжённостей полей).

Выясним, как соотносятся полные энергии взаимодействия внутри центральной зоны и за её пределами? Ответ на него может дать интегрирование по формуле (17) с учётом (16) и (18). Интеграл по y после подстановки

dV = 2πR₀³ydydx, y² = z, 2ydy = dz (23)

в формулу (17) становится табличным. Вводя обозначения,

a = 1, b = x² + (1 – x)², c = x²(1 – x)², (24)

имеем

A ∫_V w₃dV = A∙2πR₀³∫_xdx ∫_z (± c^1/2 + z) dz / (az² + bz + c)^3/2 = B ∫_xI(x)dx, (25)

I(x) = (± c^1/2 – z)/(4ac – b²)(az² + bz + c)^1/2|₀^∞ = [1/(1 – 2x)²] ± [1/(1 – 2x)²], (26)

B = (q²∙4πR₀³/32π²ε₀R₀⁴) = q²/8πε₀R₀. (27)

Смысл I(x) – потенциальная энергия на единицу длины вдоль x, просуммированная по бесконечной плоскости (с координатой x), перпендикулярной оси x. С другой стороны, это – осреднённая в названной плоскости относительная сила воздействия на заряд слоем поля, толщиной dx. График I(x) показан на рис. 3.

Рис. 3. Изображение I(x) по формуле (26)

Интеграл (25) вычисляется в пределах от нуля до бесконечности. При этом надо различать три области по x:

1) область отрицательных значений (–∞ < x < 0, знак плюс перед c^1/2);

2) область между зарядами (0 ≤ x ≤ 1, знак минус перед с^1/2);

3) область оставшихся положительных значений (1 < x < ∞, знак плюс перед c^1/2).

Аналогично применяются знаки в правой части (26).

Вычисления по формуле (25) дают следующие результаты. В областях 1 или 3

I_{1, 3}(x) = q²/4πε₀R₀(1 – 2x)². (28)

Во второй области

I₂(x) = 0. (29)

Из формул (3), (17), (25) следует, что и в других случаях, каковы бы ни были величины и знаки зарядов, потенциальная энергия в области 2 равна нулю, причём компенсация положительных и отрицательных вкладов происходит в каждой плоскости x = const. Этот факт заслуживает особого внимания, так как в области 2 происходят существенные деформации поля. Таким образом, оказывается, что вся энергия взаимодействия сосредоточена в областях 1 и 3 поровну. Воздействие на заряды осуществляется не из пространства между зарядами, а из пространства снаружи.

Интегрирование выражения (25) по x в пределах от –∞ до +∞ приводит к результату

∫I_1,3(x)dx = (q²/4πε₀R₀)·(0,5+0,5) = q²/4πε₀R₀ = U. (30)

Независимое интегрирование (17) воспроизводит (ещё раз!) закон Кулона для U и подтверждает предположение (15). Интересная деталь: в выражении (17) значимые для взаимодействия зарядов величины (q и R₀) выводятся за знак интеграла, образуя необходимую энергию U, а сам интеграл, в конечном счете, оказывается равным единице при любых обстоятельствах. Формулы (25)...(30) демонстрируют вероятностный характер распределения энергии внутри поля, и объясняют причину совпадения расчётов энергии взаимодействия двумя разными способами, упомянутыми во введении. Так и должно быть, потому что напряжённости E обладают свойствами квантовомеханических амплитуд [14].

При рассмотрении взаимодействия разноимённых зарядов значение W₃ (см. формулу (13)) становится положительным внутри центральной зоны, и отрицательным за её пределами. Знак минус приобретает потенциальная энергия U.

Функция W₃ применяется также в вариационной процедуре (принципе наименьшего действия) для электрической составляющей электромагнитного поля (см. [5, 12]). В этом случае W₃ с самого начала рассматривается, как распределение вероятностей взаимодействия по точкам пересечения напряжённостей E₁ и E₂ в пространстве. Результат такой процедуры для статического поля тот же, как по форме (вычисление функции Лагранжа по формулам (25)...(30)), так и по содержанию (закон Кулона).

Р.Фейнман в своей Нобелевской лекции [13] отмечает: «...электродинамику можно построить... различными способами, – на основе дифференциальных уравнений Максвелла, (или) на основе различных принципов наименьшего действия с полями, и без полей... Самые фундаментальные законы физики после того, как они уже открыты, все-таки допускают такое невероятное многообразие формулировок, по первому впечатлению не эквивалентных, и всё же таких, что после определенных математических манипуляций между ними всегда удаётся найти взаимосвязь. Чем это можно объяснить, – остаётся загадкой. Думается, что здесь каким-то образом отражается простота природы. Может быть, вещь проста только тогда, когда её можно исчерпывающим образом охарактеризовать несколькими различными способами, ещё не зная, что на самом деле ты говоришь об одном и том же».