Симметpия относительно окpужности (стр. 1 из 4)

С.А. Ануфриенко

Симметpия, как бы шиpоко или узко мы ни понимали это слово, есть идея, с помощью котоpой человек в течение веков пытался объяснить и создать поpядок, кpасоту и совеpшенство.

Геpман Вейль

Введение

Со временем замечаешь, как непохожи друг на друга пути, ведущие к решению красивых геометрических проблем. Бесконечность возможных направлений поиска многих людей приводит в трепет, но одновременно дает хорошую надежду отыскать свою собственную дорогу в геометрическом лабиринте. В любом случае открытие метода, позволяющего решить целый ряд сложных задач, является событием большой редкости. Об одном из таких методов и пойдет речь в этой статье. Мы начинаем с перечисления некоторых классических проблем, решения которых будут приведены позже.

A. Четыре окружности w₁, w₂, w₃ и w₄ расположены таким образом, что w_i касается w_i+1 для i < 4, а w₄ касается w₁. Образуются четыре точки касания. Доказать, что найдется окружность, проходящая через все эти точки.

B. Разделить с помощью циркуля данный отрезок [AB] на n равных частей (n Î N).

C. Только с помощью циркуля найти центр данной окружности.

D. Даны точки A, B, C, D и окружность w. Только с помощью циркуля найти пересечение прямых (AB) и (CD), а также точки пересечения прямой (AB) с окружностью w (задачи геометрии Мора-Маскерони).

E. Построить окружность, которая проходит через две данные точки A и B и касается данной окружности w₁.

F. Построить окружность, проходящую через данную точку и касающуюся двух данных окружностей.

G. Построить окружность, касающуюся трех данных окружностей (задача Аполлония).

H. Для двух различных точек A и B и положительного числа k найти геометрическое место точек X, для которых отношение |XA|/|XB| равно k ¹ 1 (окружность Аполлония).

I. Для произвольного треугольника через r, R и d обозначим соответственно радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами. Доказать, что d² = R²-2Rr (формула Эйлера).

Инверсия и ее свойства

В 1831 году Л. Дж Магнус впервые стал рассматривать преобразование плоскости, которое получило название симметрии относительно окружности или инверсии (от лат. inversio - обращение). Под инверсией плоскости a относительно окружности w(O,R) с центром в точке O и радиусом R понимают такое преобразование множества a&bsol;{O}, при котором каждой точке A Îa&bsol;{O} ставится в соответствие такая точка A¢, что A¢ лежит на луче [OA) и |OA|·|OA¢| = R² (далее будем использовать обозначение inv_O^R(A) = A¢). Заметим сразу, что инверсия не определена в точке O, но иногда бывает полезно добавить к плоскости одну бесконечно удаленную точку, т.е. рассмотреть множество aÈ{¥} и при этом считать, что inv_O^R(O) = ¥ и inv_O^R(¥) = O.

На рис. 1 указан способ построения образа точки A при инверсии относительно окружности w = w(O,R). Для этого проводят перпендикуляр (AB) к прямой (OA) и из точки пересечения wÇ(AB) проводят касательную к окружности w. Из подобия треугольников DOAB и DOBA¢ получаем отношение |OA|/ |OB| = |OB|/ |OA¢| или

|OA|·|OA¢| = |OB|² = R². Следовательно inv_O^R(A) = A¢.

Рис. 1

На рис. 2 построение образа выполнено только с помощью циркуля (в предположении, что |OA| > R/2). Для этого достаточно провести окружность

w(A,|OA|) и для двух точек пересечения w(O,R)Çw(A,|OA|) построить равные окружности w(B,R) и w(C,R). Вторая точка пересечения w(B,R)Çw(C,R), отличная от точки O, является искомой. Для доказательства используем подобие равнобедренных треугольников DOBA¢ и DOBA. Сначала получаем |OA¢|/ |OB| = |OB|/|OA|, а затем, необходимое |OA|·|OA¢| = |OB|² = R². Если же |OA|£ R/2, то сначала увеличивают отрезок [OA] в n раз до отрезка [OB] (удвоение отрезка показано на рис. 3 - последовательно откладывают радиус |OA| на окружности w(A,|OA|) и используют свойство правильного вписанного шестиугольника), после этого находят B¢ = inv_O^R(B) и снова увеличивают (а не уменьшают!) отрезок [OB¢] в n раз до отрезка [OC]. Можно доказать, что C = inv_O^R(A).

Рис. 2 Рис. 3

Из многочисленных свойств инверсии рассмотрим лишь следующие. Пусть

A¢ = inv_O^R(A) и B¢ = inv_O^R(B).

I. Если A ¹ B, то A¢¹ B¢.

Утверждение требует проверки только когда лучи [OA) и [OB) совпадают. В этом случае |OA|¹|OB| и поэтому |OA¢|¹|OB¢|. Приходим к неравенству A¢¹ B¢.

II. Все точки окружности w(O,R) при инверсии inv_O^R остаются неподвижными. Внутренние точки круга с границей w(O,R) переходят во внешние, а внешние - во внутренние.

Первая часть утверждения очевидна, а вторая следует из замечания: если

|OA| < R, то |OA¢| = R²/|OA| > R.

III. Если A¢ = inv_O^R(A), то A = inv_O^R(A¢). Для произвольных фигур F и F¢ из условия F¢ = inv_O^R(F) также следует F = inv_O^R(F¢).

IV. Треугольники DAOB и DA¢OB¢ подобны. При этом ÐOBA = ÐOA¢B¢.

Достаточно заметить, что эти треугольники имеют общий угол, а из равенства |OA|·|OA¢| = R² = |OB|·|OB¢| следует равенство отношений |OA|/|OB¢| = |OB|/|OA¢|. Обратите внимание, что в отличие от подобия, пропорциональность связывает стороны [OA] и [OB¢], [OB] и [OA¢], а не [OA] и [OA¢], [OB] и [OB¢]. Из подобия получаем ÐOBA = ÐOA¢B¢.

V.

|A¢B¢| = |AB|

|OA|·|OB|·R².

Действительно, по свойству IV имеем

|A¢B¢| = |AB|·|OA¢|

|OB|= |AB|

|OA|·|OB|·R².

VI. Прямая a, проходящая через центр инверсии, отображается в себя. Если же O Ï a и A - основание перпендикуляра из точки O на прямую a (рис. 4), то образом прямой a будет окружность w₁, построенная на отрезке [OA¢] как на диаметре (A¢ = inv_O^R(A)).

Рис. 4

Для доказательства этого свойства рассмотрим произвольную точку B прямой a. По свойству IV ÐOB¢A¢ = ÐOAB = 90^°. Следовательно точка B¢ лежит на окружности с диаметром [OA¢]. Удивление от такого неожиданного действия инверсии на произвольную прямую пройдет, если принять в расчет бесконечно удаленную точку. Каждая прямая проходит через ¥. Поэтому переход ¥ в точку O заставляет концы прямой сжиматься к точке O. Следующее свойство позволяет определить центр окружности, которая является образом прямой из свойства VI.

VII. Пусть w₁ = inv_O^R(a). Обозначим через O₁ = S_a(O), где S_a - осевая симметрия с осью a (рис. 4). Тогда центром окружности w₁ является точка O₁¢ = inv_O^R(O₁).

Сохраняя принятые в предыдущем свойстве обозначения, имеем |OO₁| = 2|OA|. Подставляя это в равенство |OA|·|OA¢| = R² = |OO₁|·|OO₁¢| получаем |OO₁¢| = |OA¢|/2. Поэтому точка O₁¢ является серединой отрезка [OA¢].

VIII. Окружность w₁(O₁,r), проходящая через центр инверсии, отображается на некоторую прямую a. Более того, если A - конец диаметра, проходящего через O и O₁ (A ¹ O), то прямая a проходит через точку A¢ = inv_O^R(A) и перпендикулярна прямой (OO₁).

Справедливость этого свойства сразу следует из свойств III и VI.

IX. Окружность w₁(O₁,r₁), не проходящая через центр инверсии, отображается при inv_O^R на некоторую окружность w₂(O₂,r₂). Точнее, если точки A и B являются концами диаметра, лежащего на прямой (OO₁) (рис. 5), то отрезок [A¢B¢] является диаметром окружности w₂ (A¢ = inv_O^R(A), B¢ = inv_O^R(B)).

Рис. 5

Для доказательства рассмотрим произвольную точку C окружности w₁ и покажем, что C¢ = inv_O^R(C) Îw₂. Из свойства IV имеем равенства ÐOCA = ÐOA¢C¢ и ÐOCB = ÐOB¢C¢. Поэтому ÐA¢C¢B¢ = ÐOB¢C¢- ÐOA¢C¢ = ÐOCB-ÐOCA = 90^°. Следовательно C¢Îw₂.

Переходит ли центр O₁ в центр образа w₂, точку O₂? Никогда (убедитесь в этом с помощью прямых вычислений, т.е. докажите, что O₁¢ = inv_O^R(O₁) не может быть серединой [A¢B¢]). Этот "недостаток" инверсии с лихвой компенсируется замечательным ее свойством сохранять величину угла. Напомним, что угол между пересекающимися окружностями по определению равен углу между касательными к этим окружностям в точке их пересечения. Аналогично определяется и угол между пересекающимися прямой и окружностью. Рассмотрим частный случай: для двух касающихся окружностей w₁ и w₂ определим величину угла между inv_O^R(w₁) и inv_O^R(w₂). Вид образов inv_O^R(w₁) и inv_O^R(w₂) во многом зависит от положения точки O относительно окружностей w₁ и w₂. Так, если O Ïw₁Èw₂, то из свойств I и IX получаем, что inv_O^R(w₁) и inv_O^R(w₂) являются касающимися окружностями. Если же O лежит только на одной из окружностей, например на w₁, то из свойств I, VIII и IX получим касающиеся прямую inv_O^R(w₁) и окружность inv_O^R(w₂). И, наконец, если O совпадает с точкой касания окружностей, то inv_O^R(w₁) и inv_O^R(w₂) являются параллельными прямыми (величина угла между параллельными прямыми по определению равна нулю). Итак, в каждом из случаев, величина угла между inv_O^R(w₁) и inv_O^R(w₂) равна нулю. Аналогично можно установить, что если прямые a и b параллельны, то величина угла между inv_O^R(a) и inv_O^R(b) также равна нулю.

X. Инверсия сохраняет величину угла между прямыми, пересекающимися окружностями, пересекающимися прямой и окружностью.

Докажем сначала, что для любых прямых угол Ða,b совпадает с углом между inv_O^R(a) и inv_O^R(b). Утверждение очевидно, если прямые проходят через точку O. Пусть теперь O Î a и O Ï b (рис. 6). Обозначим через w₁ окружность, в которую переходит прямая b, и через b₁ - касательную к w₁ в точке O. Так прямые b и b₁ перпендикулярны одному и тому же диаметру, то они параллельны. Поэтому угол между a и w₁, равный по определению углу между a и b₁, совпадает с углом Ða,b. Рассуждения аналогичны и в случае, когда O Ï aÈb (надо рассмотреть касательные к окружностям inv_O^R(a) и inv_O^R(b) в точке O).