Симметpия относительно окpужности (стр. 2 из 4)
Рис. 6
Поскольку угол между окружностями и между прямой и окружностью определялся через касательные, то доказательство остальных двух утверждений легко сводятся к случаю сохранения угла между прямыми.
Основой решения целого ряда геометрических проблем является удачное применение того или иного преобразования плоскости. При этом мы считаем использование какого-либо преобразования удачным, если образы рассматриваемых фигур поддаются простому геометрическому анализу. В задаче Фаньяно1, например, стороны треугольника наименьшего периметра получаются из отрезка прямой серией осевых симметрий. При отыскании точки Ферма2 похожая идея реализуется с помощью поворота на 60°. В следующих параграфах попробуем выяснить насколько способность к упрощению свойственна инверсии. Этот параграф закончим решением проблемы A.
Решение A. Обозначим через A, B, C, и D соответственно точки касания w1Çw2, w2Çw3, w3Çw4 и w4Çw1. Сделаем инверсию с центром в O = A относительно окружности некоторого радиуса R. По свойству VIII и IX получим пару параллельных прямых a = invOR(w1), b = invOR(w2) и пару касающихся окружностей w3¢ = invOR(w3) и w4¢ = invOR(w4) (рис. 7).
Рис. 7
Нетрудно заметить, что точки касания исходных окружностей, за исключением точки A (которую инверсия забросит в бесконечность), отобразятся в точки касания образов. Докажем теперь, что B¢, C¢ и D¢ лежат на одной прямой. Так как (KB¢)||(LD¢), то ÐB¢KC¢ = ÐC¢LD¢. Отсюда следует равенство ÐKC¢B¢ = ÐLC¢D¢ (DKC¢B¢ и DLC¢D¢ являются равнобедренными), поэтому B¢, C¢ и D¢ лежат на одной прямой. Обозначим эту прямую через c и подействуем на нее снова инверсией invOR. Ее образ - это окружность invOR(c), которая проходит через центр инверсии, точку A, а также через точки B = invOR(B¢), C = invOR(C¢) и D = invOR(D¢).
Геометрия Мора-Маскерони
Теория построения одним циркулем получила свою известность благодаря книге "Геометрия циркуля"(1797 г.) Лоренцо Маскерони3. Значительно позже в одном из букинистических магазинов была обнаружена книга датского математика Георга Мора "Датский Евклид", датированная 1672 годом! Обе книги содержат основной результат геометрии циркуля:
Теорема Мора-Маскерони. Все построения, выполненные с помощь циркуля и линейки, могут быть проделаны только с помощью циркуля (при этом мы считаем прямую построенной, если найдены хотя бы две точки этой прямой).
Для доказательства этой теоремы достаточно научиться находить только с помощью циркуля пересечения двух прямых, прямой и окружности, что и составляет проблему D. Сначала рассмотрим решения задач B и C, которые носят вспомогательный характер.
Решение B. Чтобы разделить отрезок [AB] на n равных частей, сначала увеличим его в n раз, т.е. найдем точку C, что |AC| = n|AB|. А затем построим точку C¢ - образ точки C при инверсии относительно окружности w(A,|AB|). Из соотношения |AC|·|AC¢| = |AB|2 получаем |AC¢| = |AB|/n. Все указанные построения можно выполнить только с помощью циркуля (для этого даже не нужна прямая (AB)).
Решение C. Выберем произвольную точку O окружности w1(X,r), центр X которой нам нужно определить (рис. 8).
Рис. 8
Из точки O проведем произвольную окружность w(O,R) так, чтобы она пересекала исходную окружность w1. Обозначим точки пересечения wÇw1 через A и B. Куда перейдет прямая (AB) при инверсии invOR? Конечно же в w1, поскольку точки A и B остаются неподвижными (свойства II и VI). По свойству VII центр invOR((AB)) (т.е. центр w1) является образом точки S(AB)(O) при invOR. Из этих рассуждений следует цепочка необходимых построений. Сначала находим точку O1 = S(AB)(O), симметричную O относительно прямой (AB) (школьная задача). А затем строим образ точки O1 при invOR, он и будет искомым центром. Все указанные построения выполняются только с помощью циркуля.
Решение D. Опишем поиск пересечения двух прямых только с помощью циркуля. Пусть даны точки A, B, C и D (рис. 9).
Рис. 9
Выберем точку O так, чтобы она не лежала на прямых a = (AB) и b = (CD). При инверсии invOR прямые a и b должны перейти в окружности invOR(a) и invOR(b), а их точка пересечения отобразится в точку пересечения окружностей invOR(a) и invOR(b), отличную от точки O (свойства VI и I). Теперь необходимые построения становятся очевидными: с помощью свойства VII строим окружности invOR(a) и invOR(b), находим точку пересечения этих окружностей - точку X, и снова действуем инверсией уже на точку X. Точка Y = invOR(X) является искомой. Пересечение прямой и окружности находится похожим образом.
Теперь терема Мора-Маскерони следует из решений задач B, C и D.
Задача Аполлония
В этом параграфе рассмотрим задачу о построении окружности, касающейся трех данных окружностей, названную в честь крупнейшего специалиста по коническим сечениям древности Аполлония Пергского4. Решению проблемы G предшествуют решения задач E и F.
Решение E. Чтобы построить окружность w2, проходящую через точки A и B и касающуюся данной окружности w1, рассмотрим инверсию с центром в точке O = A относительно окружности произвольного радиуса R. Образом w2 при инверсии invOR должна быть некоторая прямая a, проходящая через точку B¢ = invOR(B) и касающаяся окружности invOR(w1) (свойства VIII и IX). Касательные из произвольной точки X к произвольной окружности w(Y,r) провести довольно легко: для этого достаточно построить вспомогательную окружность w¢ на диаметре [XY] и соединить X с точками пересечения wÇw¢. Теперь выполняем необходимые построения в следующем порядке: находим B¢ = invOR(B) и invOR(w1), через точку B¢ проводим касательные a и b к окружности invOR(w1), строим образы invOR(a) и invOR(b) при инверсии invOR. В зависимости от расположения точки B¢ относительно окружности invOR(w1) может быть два, одно и ни одного решения (например, когда B¢ находится внутри invOR(w1)).
Решение F. Для решения этой задачи достаточно уметь проводить общую касательную к двум произвольным окружностям w(X,r) и w¢(Y,R). Будем считать, что r < R. Проведем из точки X касательную a к окружности w1(Y,R-r) (рис. 10), тогда искомая внешняя касательная b к окружностям w и w¢ будет параллельна прямой a и находится от нее на расстоянии r.
Рис. 10
Для проведения внутренней касательной вместо w1(Y,R-r) надо рассмотреть окружность w2(Y,R+r). В общем случае возможно до четырех решений. Теперь вернемся к исходной задаче. Пусть даны точка A и две окружности w1 и w2. Искомая окружность w, проходящая через A и касающаяся w1 и w2, при инверсии с центром O = A должна перейти в некоторую прямую a, которая касается окружностей invOR(w1) и invOR(w2) (свойства VIII и IX). Таким образом, приходим к следующему порядку построений: находим invOR(w1) и invOR(w2), проводим общие касательные (a,b,c,d) и строим образы этих касательных при invOR. В общем случае получится до четырех искомых окружностей, однако в одном случае решений будет бесконечно много (представьте, что произойдет после инверсии с окружностями w1 и w2, если они касаются в точке A).
Решение G. Задача Аполлония легко сводится к предыдущей задаче. Пусть даны окружности w1(O1,r1), w2(O2,r2) и w3(O3,r3), и r1 < r2 < r3. Построим окружность w(O,R), проходящую через точку O1 и касающуюся окружностей
w2(O2,r2-r1) и w3(O3,r3-r1). Уменьшив радиус окружности w на r1, т.е. рассматривая w(O,R-r1), приходим к одной из искомых окружностей. Количество решений исследовать самим (кажется, исключая бесконечный случай, возможно до восьми решений).
Изменение расстояния при инверсии
Основой исследований в этом параграфе будет формула V для вычисления расстояния между образами точек A и B при инверсии относительно w(O,R): |A¢B¢| = |AB|R2/(|OA|·|OB|). Из этой формулы сразу видно, что расстояние при инверсии для произвольных точек A и B не сохраняется и искажение расстояния происходит сильнее при приближении точек A и B к центру окружности инверсии. Прежде чем установить менее очевидный факт, введем важное в теории круговых преобразований5 понятие двойного отношения четырех точек.
Определение. Двойным отношением четырех точек A, B, C и D называют число
|AC|
|BC|:|AD|
|BD|.
Теорема. Двойное отношение четырех точек сохраняется при инверсии.
Доказательство. Обозначим через A¢, B¢, C¢ и D¢ соответственно образы точек A, B, C и D при инверсии относительно окружности w(O,R). Тогда из формулы V имеем