Счётные множества (стр. 1 из 3)

Курсовая работа по математическому анализу

Выполнил студент 104 группы Стенин В. В.

Мордовский государственный университет имени Н.П.Огарёва

Cаранск-2002.

I. Введение

На каждом шагу нам приходиться сталкиваться с тем трудно определяемым понятием, которое выражается словом совокупность. Например, можно говорить о совокупности людей присутствующих в данный момент времени в данной комнате, о совокупности гусей плавающих на деревенском пруду, страусов живущих в Сахаре и тому подобное.

В каждом из этих случаев можно было бы вместо слова совокупность употребить слово множество. Итак, под словом множество подразумевается совокупность, коалиция, собрание каких-то элементов объединенных определенными свойствами или свойством.

В математике постоянно приходиться иметь дело с различными множествами: например множество точек прямой, являющихся вершинами какого-нибудь многоугольника, множество перестановок n элементного множества, множество сочетаний из 15 элементов по 7 и так далее. Так что множества играют особую, даже можно сказать важную роль в математике в частности, и в жизни человека в целом.

Изучение множеств и их свойств занимается такой раздел математике как «теория множеств» Этот раздел имеет сравнительно небольшую историю. Первые серьёзные работы в этой области, принадлежащие Г. Кантору, появились в конце прошлого века. Тем немение, в настоящие время теория множеств представляет собой весьма обширную область математики.

Одним из немаловажных понятий теории множеств является понятие счетного множества. Но прежде чем ввести это понятие, необходимо усвоить и разъяснить некоторые элементарные понятия и определения.

Определение 1. Множество называется конечным, если количество элементов этого множества есть конечное число. Если же количество элементов множества есть число бесконечное, то множество называется бесконечным.

Так же для сравнения двух бесконечных множеств необходимо следующие определения.

Определение 2. Пусть А и В два множества. Правило j которое каждому элементу а множества А соотносит один и только один элемент b множества В, причем каждый элемент b

В оказывается соотнесенным одному и только одному а А, называется взаимно однозначным соответствием между множеством А и множеством В.

Определение 3. Если между множеством А и множеством В можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что эти множества эквивалентны или, что они имеют одинаковую мощность, и обозначают этот факт следующим образом

А ~ В.

Итак, мы обладаем математическим аппаратом необходимым для ввода и усвоения понятия счетного множества. К чему и приступаем.

II.Определение 1.Пусть N множество всех натуральных чисел

N={1, 2, 3, . . .},

тогда всякое множество А эквивалентное множеству N будет называться исчислимым, или счётным множеством.

Таким образом, если множество А счетное, то между множеством А и множеством натуральных чисел N можно установить взаимно однозначное соответствие, или, как говорят, можно занумеровать элементы множества А, понимая под номером каждого элемента а Î А соответствующее ему при указанном соответствии натуральное число.

Так же из определения счётного множества следует очевиднейший вывод, что все счётные множества эквивалентны между собой.

Вот несколько примеров счётных множеств:

А={1, 4, 9, 16, . . . ,n

, . . .};

B={3, 6, 9, 12, . . . ,3n, . . . };

C={

, };

D={1, 8, 27, 64, . . . ,n

, . . . };

Теорема 1. Для того чтобы множество Х было счётным необходимо и достаточно, чтобы его можно было «перенумеровать», то есть представить в форме последовательности:

Х={x

, x , x , . . . ,x , . . . } .

Доказательство необходимости: Пусть множество Х счетное, то из определения счётного множества следует существование взаимно однозначного соответствия j между множеством Х и множеством натуральных чисел N. Достаточно обозначить через х

, тот из элементов множества Х, который в соответствии с j отвечает числу n,чтобы получить представление множества Х в форме (*).

Доказательство достаточности: Если множество Х представлено в форме (*), то достаточно каждому его элементу х, соотнести индекс n этого элемента, чтобы получить взаимно однозначного соответствия j между множеством Х и множеством натуральных чисел N, так что из определения счётного множества следует, что множество Х счётное.

Следующая теорема даёт интересный пример счётного множества.

Теорема 2. Рациональные числа R образуют счётное множество.

Доказательство: Рассмотрим сначала рациональные неотрицательные числа. Расположим их в бесконечную таблицу следующим образом: в первую строчку поместим в порядке возрастания в целые числа 0, 1, 2, . . . ; во вторую – все положительные несократимые дроби со знаменателем 2, упорядоченные по величине числителя; вообще в n-ую строчку, n=1, 2, 3, …, - все положительные рациональные числа, записывающиеся несократимой со знаменателем n, упорядоченные по величине числителя. Очевидно, что каждое рациональное неотрицательное число попадёт на какое-то место в получившейся таблице;

1 2 3 4 . . .

. . .

. . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

Занумеруем теперь элементы получившейся таблицы согласно следующей схеме (в кружочках стоят номера соответствующих элементов, стрелка указывает направление нумерации).

. . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

В результате все рациональные неотрицательные числа оказываются занумерованными, то есть мы доказали, что они образуют счётное множество.

Чтобы убедится, что и множество всех рациональных чисел также счётно, достаточно их записать в подобную же таблицу. Это можно сделать, например, поместив в написанную выше таблицу после каждого положительного рационального числа х в туже строчку число - х.

1 -1 2 -2 . . .

- - . . .

- - . . .

. . . . . . . . . . .

- . . . . . . . .