Содержание и значение математической символики (стр. 6 из 15)

Виет разработал символику, в которой наравне с обозначением неизвестных впервые появились знаки для произвольных величин, называемых в настоящее время параметрами. Для обозначения скаляров он предложил пользоваться прописными буквами: «искомые величины будут обозначены буквой А или другой гласной Е, I, О, U, Y, а данные – буквами B, D, G или другими согласными»

Слово «коэффициент» введено Виетом. Рассматривая выражение

(А + В)² + D(A + В),

он назвал величину D, участвующую с А + В в образовании площади, longitudeciefficiens, т. е. содействующей длиной.

Из знаков Виет употреблял +, — и дробную черту. Современные скобки у него заменяла общая черта на всем выражением.

Символика Виета страдала недостатками, в некоторых отношениях она была менее совершенна, чем у его предшественников и современников. Виет для записи действий употреблял слова: in у него означало умножение, aequatur заменяло знак равенства. Словами же выражались степени различных величин. Для трех низших степеней он взял названия из геометрии, например, А³ называл Acubus. Высшим степеням он давал геометрические наименования, происходящие от низших: А⁹, например,— Acubo-cubo-cubus. Известная величина В представлялась как величина девятой степени записью solido-solido-solidum. Если сторона (latus) умножается на неизвестную величину, то она называется содействующей) (coefficiens) при образовании площади.

Уравнение А³ + 3ВА = DВиет записывал так: А cubus + В planumin 43aequaturDsolido, а уравнение ВАⁿ –А^m+n= Z так:

В parabolain Аgradum — АpotestateaequaturZhomogenae (В, умноженное на градус А, минус А в степени равняется однородной Z),

Обозначения в числовой логистике выглядели проще:

N – первая степень, Q – квадрат, С – куб и т. д. Уравнение x³ - 3x = 1 записывалось в виде 1С – 3Naequatur 1»

Неудобства символики Виета связаны и с требованием однородности. Как и древние греки, Виет считал, что сторону можно складывать только со стороной, квадрат – с квадратом, куб – с кубом и т. д. В связи с этим возникал законный вопрос: имеют ли право на существование уравнения выше третьей степени, поскольку в пространственном мире четвертая, пятая и т. д. степени аналогов не имеют.

Для придания уравнению однородности Виет после входящих в него параметров писал planum (плоскость), solidum (тело) и т. д. Вот как выглядит в записи Виета уравнение х³ + ЗВ²х = 2z³: Acubus + В plano 3 inAaequariZsolido 2.

Правило Тартальи для решения уравнения третьей степени у Виета имело вид:

.

Символики Виета придерживался впоследствии П. Ферма. От «тирании» однородности просто и остроумно сумел освободиться Декарт (об этом будет сказано дальше).

Может показаться, что Виет ввел в символику алгебры совсем немного. Буквами для обозначения отрезков пользовались еще Евклид и Архимед, их успешно применяли Леонардо Пизанский, Иордан Неморарий, Николай Орем, Лука Пачоли, Кардано, Бомбелли и многие другие математики. Но сделал существенный шаг вперед Виет. Его символика позволила не только решать конкретные задачи, но и находить общие закономерности и полностью обосновывать их. Это, в свою очередь, способствовало выделению алгебры в самостоятельную ветвь математики, не зависящую от геометрии. «Это нововведение (обозначение буквами данных и искомых) и особенно применение буквенных коэффициентов положило начало коренному перелому в развитии алгебры: только теперь стало возможным алгебраическое исчисление как система формул, как оперативный алгоритм».

Сказанное, легко подтвердить примерами. Пусть х₁, x₂ – корни квадратного уравнения. Перемножим разности x – x₁ и х – х₂: (x – x₁)(х – х₂)=х² – (х₁ + х₂)х + х₁х₂.

Обозначим (x – x₁)(х – х₂) = х² + px + q, сравнивая с предыдущим, получим p = – (х₁ + х₂), q = x₁x₂.

Выполним то же самое для кубического уравнения:

(x – x₁)(х – х₂)(x – x₃)=x³ – (х₁ + х₂ + x₃)x² + (x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)x – x₁x₂x₃.

Сравним результат с выражением (x – x₁)(х – х₂)(x – x₃) = x³ + a₁x² + a₂x + a₃.

Это дает a₁ = – (x₁ + x₂ + x₃)

a₂ = x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃

a₃= – x₁x₂x₃.

Такой результат для квадратного уравнения был известен Кардано (в случае положительных корней – еще и раньше); Кардано отметил свойство корней кубического уравнения относительно коэффициента при х². Но никакого обоснования в общем виде дать он не мог; это сделал Виет для уравнений до пятой степени включительно.

Преимущества символики предоставили Виету возможность не только получить новые результаты, но и более полно и обоснованно изложить все известное ранее. И если предшественники Виета высказывали некоторые правила, рецептуры для решений конкретных задач и иллюстрировали их примерами, то Виет дал полное изложение вопросов, связанных с решением уравнений первых четырех степеней.

Рассмотрим ход рассуждений Виета при решении кубического уравнения.

Возьмем уравнение x³ + 3ax = 2b. Положим a = t² + xt.

Найдем отсюда

х =

и подставим в исходное уравнение. Получим + 3a = 2b, откуда для определения t наводим квадратное уравнение относительно t³: (t³)² + 2bt³– а³ == 0.

Отсюда определится t, а затем и х. Заметим еще, что подстановка а = t² + xt приводит исходное уравнение к виду

(х + t)³ – t³ = 2b,

которое вместе с уравнением (х + t)t = a, (х + t)³t³ = a³ дало бы возможность применить метод Тартальи и дель Ферро. Но Виет таким путем не пошел.

Рассмотрим теперь пример. Найдем методом Виета действительный корень уравнения

х³ + 24x=56.

Здесь а=8, b=28. Запишем уравнение относительно t: (t³)² + 56t³ - 8³ - 0.

Решим его:

t³= –28

= – 28 36 t₁ = = 2 t₂ = = –4.

Найдем теперь х:

x₁ =

= –2 , x₂ = = 2 = x₁.

При изложении метода Феррари для решения уравнения четвертой степени Виет провел аналитически выкладки, указанные выше, и получил уравнение, содержащее основную неизвестную А и вспомогательную Е (х и t у Феррари).

Виет, верный последователь древних, оперировал только рациональными положительными числами, которые он обозначал буквами. Если в результате подстановки в уравнение значений параметров неизвестное оказывалось иррациональным, он давал этому случаю особое обоснование.

В качестве примера такого обоснования приведем «геометрическое» решение кубического уравнения по способу дель Ферро – Тартальи.

В записи Виета уравнение имело вид A³ + 3BA = D.

Известное решение: А является разностью «сторон» которые образуют площадь В и разность кубов которых равна D. Если обозначить «стороны» буквами u и v, то uv = B,u³ – u³ =D, A=u–v.

Виет придавал решению «геометрическое» толкование; он вместо Dsolidum записывал произведение В planum на D, т. е. получал уравнение A³ + 3ВA=BD.

Затем он определял четыре величины, образующие «геометрический ряд», так, чтобы прямоугольник, построенный на средних или на крайних, по площади равнялся В, а разность крайних была D. Тогда A будет разностью средних.

Поясним сказанное. Обозначим эти четыре величины через z,u, v и t. Тогда можно записать

z:u = u:v = v:t, zt = uv = B, z – t = D, A = u – v.

Если в решении Тартальи D заменить на BD, то оба решения совпадут.

Способ Виета означает замену кубического корня двумя средними геометрическими, что полностью соответствует духу древних греков.

Из получившихся пропорций найдем

u³ = z²t, v³ = ztu³ – v³ = zt(z – t) = BD

Виет особо рассматривал трехчленные уравнения различных степеней и в первую очередь интересовался количеством их корней, имея в виду только положительные корни. Отрицательные корни он определял как корни уравнения, в котором неизвестное х заменено на –у. Виет , получал трехчленные уравнения из квадратных; он поступал так, чтобы число положительных корней оставалось прежним. При этом он пользовался подстановкой х = ky^m или специальными приемами.

Один из приемов Виета выглядит так. Пусть дано уравнение

x² + ах = b, а, b>0.

Для получения уравнения четвертой степени возведем левую и правую части уравнения в квадрат:

(х² +ах - b)³ = x⁴ + a²x² + b² + 2ax³ – 2bx² – 2abx = 0