Содержание и значение математической символики (стр. 5 из 15)

Почему рассматривались только уравнения вида (1) и (2)? На этот вопрос ответ дал Кардано.

Чтобы разобраться в нем, рассмотрим полное уравнение третьей степени.

y³ + ay² + by + c = 0.

Не следует думать, что Тарталья и Кардано писали такие уравнения. Нет, так стали поступать гораздо позже. Записывать все члены уравнения в одной части, приравнивая к одной части, начал Декарт. Да и символики не было, пользовались прообразами символов и словами. Уравнение x³ + ax = b записывалось примерно так: «куб» (х³)

некоторое количество (а) «вещей» (х) равно данному «числу» (b). Понять можно, но оперировать сложно.

Полное уравнение можно преобразовать в неполное, не содержащее члена с квадратом неизвестной. Сделаем замену y = x + a и подставим в уравнение; получим х³ + (3a + а)х² + (3a² + 2aа + b)x + (a³ + aa² + ba + c) = 0.

Положим 3a + а = 0. Найдем отсюда a = - а/3 и подставим в выражения

p = 3a² + 2aа + b, q = a³ + аa² + ba + c.

Тогда уравнение примет вид х³ + px + q = 0.

В нашей символике это уравнение соответствует уравнениям (1), (2), которые решал Тарталья.

Кардано узнал способ решения уравнений третьей степени, предложенный Тартальи, опубликовал его. Формула же стала носить название «формулы Кардано».

Выведем теперь ее.

Рассмотрим уравнение х³ + px+ q = 0. Введем новые неизвестные x = u + v и подставим их в исходное уравнение; получим u³ + v³ + (3uv + p)(u + v) + q = 0.

Приравняем 3uv + p к нулю: 3uv + p = 0.

Уравнение примет вид u³ + v³ + q = 0. Тогда uv = –

, u³v³ = – , u³ + v³ = -q.

Выражения u³ и v³ можно принять за корни квадратного уравнения z² + qz –

= 0.

Решая его, получим z₁ = –

+ , z₂= – – .

Таким образом, x = u + v =

+ , x = + .

Это и есть формула Кардано. Не лишне заметить, что в таком виде Кардано ее не искал: он формулировал решение уравнений (1) и (2) и рассматривал связь между уравнениями (2) и (3).

В случае, когда

+ <0, под квадратным корнем получается отрицательное число и корень дает мнимость. Этот случай получил название неприводимого, так как решение уравнения третьей степени не приводится к решению квадратного уравнения. Как уже говорилось, с ним не справились ни Тарталья, ни Кардано. Его с помощью тригонометрии разобрал Виет.

Чтобы получить представление о символике Кардано, приведем пример записи корня кубического уравнения x³ + 6x = 20. Выражение

записывалось так R_x.u.cu.R_x.108 10½ R_x.u.cu.R_x.108 10.

Здесь R_x – знак корня (Radix), R_x.u.cu означает корень кубический из всего выражения до вертикальной черты или после нее,

и - сокращения слов plus и minus.

Кардано показал, что легко можно решить уравнение x⁴

ax = bx² + . Он привел его к виду x⁴ = b(x )², а затем извлечением корня получил квадратное уравнение. Аналогично он рассматривал и некоторые другие виды уравнений.

Однако уравнение x⁴ + 6x² + 36 = 60x, предложенное да Кои Кардано не сумел решить.

Открыл метод решения уравнений четвертой степени 23 – летний ученик Кардано – Луиджи Феррари.

После того, как были исследованы уравнения третьей степени, задача об уравнениях четвертой степени стала более легкой. Феррари рассматривал уравнение, не содержащее члена с x³, т.е. уравнение вида x⁴ + ax² + bx + c = 0.

Он преобразовывал его так, чтобы в левой части был полный квадрат, а в правой – выражение не выше второй степени относительно x.

Выделением полного квадрата получалось

= x⁴ + ax + = -bx – c + , = -bx – c + .

Теперь следовало выполнить такие преобразования, чтобы из левой и правой частей можно было извлечь корень. С этой целью Феррари вводил новую переменную t и прибавлял к обеим частям выражение 2

t + t². Этодает = 2tx² – bx – c + at + + t², = 2tx² – bx + (– c + + at + t²).

Нужно, чтобы правая часть была полным квадратом. Вспомним, как обстоит дело с трехчленом ax² + bx + c. Выделим в нем полный квадрат: ax² + bx + c = а(x² +

x + ) = =a(x² + 2x× + - + ) = a(x² + 2x× + + ) = a(x+ )² + .

Трехчлен будет полным квадратом, когда 4ac – b² = 0. В нашем случае роль коэффициента при x² играет 2t, а роль свободного члена - выражение в скобках правой части уравнения. Тогда выражению 4ac – b² = 0 соответствует 4×2t(t² + at +

- c) – b² = 0, b² = 2t(4t² + 4at + a² - 4c).

Таким образом, нахождение t свелось к решению кубического уравнения, а x находится з квадратного уравнения после извлечения корня из левой и правой частей, т.е. из уравнения x² +

+ t₀ = .

Кардано отмечает, что таким же приемом можно решать уравнения, в которых отсутствует член не с третьей степенью х, а с первой. В этом случае делается подстановка х = k/y.

Открытия, сделанные итальянцами в алгебре и систематически изложенные Кардано, стали доступны математикам других стран и дали импульс развитию науки.

Дальнейшее развитие алгебры было связано с совершенствованием символики и разработкой общих методов решения уравнений.

В этом преуспел Франсуа Виета.

2.2 Символика Виета и развитие алгебры.

Виет считается одним из основоположников алгебры. Но его интерес к алгебре первоначально связан с возможными приложениями к тригонометрии и геометрии. А задачи тригонометрии и геометрии, в свою очередь, приводили Виета к важным алгебраическим обобщениям. Так было, например, с решением уравнений третьей степени в неприводимом случае и с исследованием некоторых классов разрешимых алгебраических уравнений высших степеней.

Свою алгебру Виет ценил очень высоко. Он не пользовался словом «алгебра», эту науку он зазывал «искусством анализа». Виет различал видовую логистику и числовую логистику. Термин «логистика» означает совокупность арифметических приемов вычислений, «вид» имел смысл символа.

Видовая логистика Виета после внесенных им в символику усовершенствований представляла собой буквенное исчисление. Ее объектами служат геометрические и псевдогеометрические образы, связанные между собой различными соотношениями. Виет был последователем древних: он оперировал такими величинами, как сторона, квадрат, куб, квадратоквадрат, квадратокуб , и т. д., образующими своеобразную лестницу скаляров. Действия над скалярами у Виета, как и у древних геометров, подчинены «закону однородности»: составленные из неизвестных и известных величин уравнения должны быть однородными относительно всех их вместе взятых. Умножению чисел у Виета соответствует образование нового скаляра, размерность которого равна сумме размерностей множителей. Операция, соответствующая делению чисел, дает новую величину, размерность которой равна разности размерностей.