Содержание и значение математической символики (стр. 14 из 15)
К свободной переменной X одноместного предиката
(У)А(X, Y) в свою очередь можно применять квантор всеобщности или квантор существования. Получаются выражения (X)( (У)А(X,У)); 
(X)( (Y)А(X,У)), которые, опуская скобки, принято записывать несколько проще: (X) (У)А(X,У); (X) (Y)А(X,У),Это – высказывания. Первое истинно, если все строки, а тем самым и вся таблица предикатов, содержат только букву и, второе истинно, если соответствующая матрица содержит по меньшей мере одну тождественно-истинную строку. Три другие предиката
(X)А (X,У), (У)А(X, У) и (X)А (X,У) также допускают квантификацию, так что в общей сложности мы получаем из одного предиката восемь формально различных высказываний: (X) (У)А (X, У); (X) (У)А (X,У); (X) (У)А (X, У); (X) (У)А (X, У); (У) (X) А (X, У); (У) (X)А(X, У); (У) (X)А (X, У); (Y) (X) А (X, У).Нетрудно убедиться в том, что четыре высказывания, содержащие одинаковые кванторы, попарно эквивалентны:
(X) (У)А(X,У) Û (У) (X)А (X, У); 
(X) (У)А (X, У) Û (Y) (X)А (X, У). (X) (У)А(X,У) так же как и (У) (X)А(X, У), истинно тогда и только тогда, когда А (X, У) – тождественно-истинный предикат, (X) (У)А (X, У) и (Y) (X)А(X,У) оба истинны во всех случаях, кроме одного, когда А(X,У) – тождественно-ложный предикат. Все остальные высказывания существенно различны. Особенно следует помнить, что порядок следования разноименных кванторов очень важен.Я считаю, что к окончанию школы ученики должны овладеть кванторами, но введение их должно быть постепенным и начинаться в простых ситуациях. Учащиеся должны хорошо понимать, что от перестановки кванторов может меняться смысл утверждения.
Например, Пусть I=(а,b) – некоторый интервал. Тогда «Для всякого хÎI существует такой у, что у = f (х)» (
(x) (у) (у = f (х))), означает, что функция f(х) всюду определена на I. Напротив, «Существует такое у, что для всякого х у=f (х)» ( (у) (х)(у=f(х))) означает, что функция f(x) принимает для всех х некоторое фиксированное значение у, т. е. постоянна.Приведем еще один пример. Корректное определение периодичности всюду определенной функции f(х) выглядит с использованием кванторов так:
(c) (x) (c¹0 ÙÙf(x+c) = f(x)), между тем если переставить кванторы и сформулировать утверждение «Для каждого х существует такое с, что с¹0 и что f(х + с) =f(x)»: (c) (x) (c¹0 Ùf(x+c) = f(x)), то это означает лишь, что функция принимает каждое значение больше чем один раз, т. е. нечто совсем иное.В математическом анализе часто приходится сталкиваться с кванторами.
Определение предела последовательности из учебника «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов сформулировано так «Число А является пределом последовательности аn, если для любого
>0 существует номер N, такой, что при всех n>N верно неравенство 
». В кванторном обозначении это определение записывается так: ( >0) (NÎN) (nÎN)((n>N) Þ Переставлять кванторы нельзя: именно тот факт, что N под квантором существования
следует за выражением ( > 0), указывает на зависимость N от выбранного .Как выразить утверждение, что последовательность (хn) сходится? Надо указать на то, что предел A существует. С помощью кванторов это утверждение формулируется так:
(A) ( > 0) (NÎN) (nÎN)((n > N) Þ ( 
)).Такая запись имеет еще и то преимущество, что она почти автоматически позволяет формулировать отрицание существования предела, означающее свойство расходимости. Для этого достаточно несколько раз применить правило де Моргана для кванторов: (хn) расходится Ûù(
(A) ( > 0) (NÎN) (nÎN)((n > N) Þ ( )) Û (A) ( > 0) (NÎN) (nÎN)((n > N) Ù ).