Антон Никифоров
Напомню для начала некоторые факты из теории универсальности Митчелла Фейгенбаума. Будем называть непрерывное отображение отрезка в себя унимодальным, если внутри отрезка имеется точка экстремума

и по обе стороны от неё отображение является строго монотонным (с одной из сторон возрастающим, с другой убывающим). Условимся далее рассматривать только унимодальные отображения вида
Если последовательность {

} при данном r состоит из n точек, такую последовательность будем называть n-циклом, что

=f(

),

=f(

), …,

=f(

) или

. Заметим, что производная порядка n функции

(n раз вычисленной функции f(x)) в точке x по правилу дифференцирования сложной функции равна

.
Точки цикла, удовлетворяющие соотношению
называются неподвижными.
Величина

(так называемый мультипликатор) определяет устойчивость n-цикла и её принято называть устойчивостью (stability, [2], p.121). n-цикл называется устойчивым, если

<1.
n-цикл, содержащий

в качестве одной из своих точек, называются сверхустойчивым. Для такого цикла

=0.
Как было продемонстрировано в 1978 году М.Фейгенбаумом [4], значения параметра

, при которых число устойчивых периодических точек удваивается и становится равным

, удовлетворяют масштабному соотношению, или как говорят имеют скейлинг:
Данное соотношение встречается также и в следующей записи:
Расстояния

от точки

, где

- точка экстремума рассматриваемого отображения (на рис 1. x=1/2), до ближайшей к ней точки на - цикле подчиняются следующему соотношению:
Константы Фейгенбаума имеют значения

,

и являются ни много ни мало мировыми транцедентными числами, такими как

или e.
Сказку о том, как Фейгенбаум сидел в тени деревьев и вычислял их на своём калькуляторе HP-65 с золотистыми кнопочками вы, наверное, слышали. Это был первый программируемый калькулятор и стоил ни много ни мало аж 400 (четыреста!) долларов. Наивно полагать, что своё удивительное открытие Фейгенбаум сделал, пользуясь исключительно калькулятором: все-таки в то время он работал в Лос-Аламосе, а у военных всегда были и будут самые мощные компьютеры в мире, однако открытие действительно было чудесным - какие бы унимодальные отображения мы не рассматривали, скейлинг для них (т.е. "волшебные" числа
и
) будет тем же самым.Алгоритм
Интересно, что точки
также можно использовать для расчета
, этим факт мы и будем использовать в дальнейшем. Обратим внимание, что в точках
мультипликатор
всегда равен нулю, что автоматически означает устойчивость этих циклов:
Для произвольных же
-циклов справедливо выражение: Уравнение (5.3) легко решается относительно параметра
, например, с помощью метода последовательных итераций Ньютона: Здесь i - номер итерации. Таким образом, весь процесс вычисления, скажем, константы
сводится к нахождению таких значений параметра R, при которых бифуркационная диаграмма пересекает линию
. Для этого необходимо решить уравнение (6), проитерировав его
раз.НА ВХОД ПОДАЕМ:
Начинаем итерировать функцию f cо следующего значения:

Итерируем производную функции начиная с

Начальные приближения двух значений параметра R:
, 
Разумное начальное приближение для постоянной :

НА ВЫХОДЕ ПОЛУЧАЕМ:

А весь процесс может быть описан следующими выражениями:
, n=2,3,4,…
, i=0,1,2,…

Рассмотрим на примерах как выглядят непосредственные вычислительные формулы.
ПРИМЕР 1:

При данном значении функция f будет зависеть только от константы r, обозначим эту функцию как
. Тогда предыдущее уравнение можно будет переписать: