2 ___ 11 ________
4 = 7|16, 4 = 7|4194304. Мы получили числа, равные по натуральному корню.
Для чисел с натуральным корнем 2,5,8 данное правило верно, если степени, равные по натуральному корню являются либо только четными, либо только нечетными числами.
Так, при возведении числа 2 в степени, имеющие натуральный корень 2 и являющиеся четными числами, мы получим числа, натуральный корень которых равен 4, при возведении же в степени, также имеющие натуральный корень 2, но являющиеся нечетными числами, мы получим числа, натуральный корень которых равен 5, т.е. числа противоположные числу 4.
Например.
2 20 ________
2 = 4, 2 = 4|1048576 ;
11 ______ 29 __________
2 = 5|2048, 2 = 5|536870912
Если число 8 в четной степени с натуральным корнем 2 даст нам число с натуральным корнем 1, то в нечетной степени число с натуральным корнем 8, т.е. число, противоположное числу 1.
Числа с натуральным корнем 3 и 6 при возведении в любую степень, кроме 1-й, дают числа, натуральный корень которых равен числу 9.
Числа с натуральным корнем 9 при возведении в любую степень дают числа, натуральный корень которых равен числу 9.
6.2. При возведении числа х в степени, являющиеся членами некоторого цикла натуральных корней, получаемые числа также являются членами некоторого цикла натуральных корней.
Например. Возведем число 2 в степени - члены арифметической прогрессии с дельтой d = 2:
1 3 5 ___ 7 ____ 9 ____
2 = 2, 2 = 8, 2 = 5|32, 2 = 2|128, 2 = 8|512. _____ _____
Мы получили цикл натуральных корней 2,8,5, т.е. Z (|5 + 6), или Z( |5 * 4).
Естественно, что при выполнении данного действия и других действий со степенями, необходимо учитывать особенности поведения чисел, имеющих натуральный корень 2,5,8 и 3,6,9.
6.3. При возведении в степени, являющиеся членами цикла натуральных корней, чисел, являющихся членами цикла натуральных корней, мы получаем числа, которые также являются членами некоторого цикла натуральных корней.
_____
Например. Возведем в степени, члены цикла Z( |2 + 9) члены
_____
цикла натуральных корней сложения Z( |8 + 2):
2 2 2 ___ 2 ___ 2 ____ 2 2 ___ 2 ___ 2 ___
1 = 1, 3 = 9, 5 = 7|25, 7 = 4|49, 9 = 9|81, 2 = 4, 4 = 7|16, 6 = 9|36, 8 = 1|64.
_____
Мы получили цикл натуральных корней 1,9,7,4,9,4,7,9,1, имеющий цикл увеличения Z( |9 + 8) и совмещающий три подцикла через 3 знака.
_____ _____
Возведем члены цикла Z(|7 + 3) в степени - члены цикла Z( |7 + 6):
4 1 7 _______
1 = 1, 4 = 4, 7 = 7|823543.
_____
Мы получили цикл натуральных корней 1,4,7, т.е. Z(|7 + 3).
Как мы видим, цикл натуральных корней, состоящий из трех членов, при возведении в степень дает уже известный нам, также состоящий из трех членов, цикл. При возведении же в степень цикла с большим числом членов, мы получаем синтез возведенных в степень троичных циклов.
На основании свойств чисел, указанных в п.п.6.1., определим свойства числового ряда от 1 до 9 при возведении в степень его членов.
| Натуральный корень степени | Нечетные степени | Четные степени |
| 1 | 1,2,9,4,5,9,7,8,9 | 1,7,9,4,4,9,7,1,9 |
| 2 | 1,5,9,7,2,9,4,8,9 | 1,4,9,7,7,9,4,1,9 |
| 3 | 1,8,9,1,8,9,1,8,9 | 1,1,9,1,1,9,1,1,9 |
| 4 | 1,2,9,4,5,9,7,8,9 | 1,7,9,4,4,9,7,1,9 |
| 5 | 1,5,9,7,2,9,4,8,9 | 1,4,9,7,7,9,4,1,9 |
Легко заметить, что ряды повторяются через 3. Так, члены числового ряда от 1 до 9 дадут числа, равные им по натуральному корню, в степенях 11,5,17, т.е. через 6 рядов по порядку.
Исключением является 1-я степень, т.к. числа 3 и 6 только в первой степени не дадут нам числа 9 по натуральному корню. И ряд 1-й степени, соответственно, не будет иметь повтора. Благодаря данным рядам становятся понятными некоторые свойства степенных рядов.
2 2 2
Так в уравнении z = х + у , известном как "великая теорема Ферма" один из членов правой части всегда по натуральному корню равен числу 9,
а два других члена равны по натуральному корню. Например.
2 2 2 ____ ___ ____
13 = 12 + 5 , 169 = 144 + 25, 7|169 = 7|25, а 9|144.
Происходит это в силу того, что числовой ряд от 1 до 9
при возведении в квадрат его членов дает цикл натуральных корней 1,4,9,7,7,9,4,1,9 и составить сумму натуральных корней мы можем только по принципу
____ ____ _____
| 2 | 2 | 2
n| z = n| x + 9| у .
n n n n n
6.4. Для степенного ряда 1, 2, 3, 4...х количество последовательностей дельт вплоть до получения постоянной базовой дельты d по принципу вычитания членов последовательности по порядку х2-х1,х3-х2,х4-х3 равно степени n, а базовая дельта d= nd1, где d1 - базовая дельта для ряда со степенью n-1.
Например:
при n=2 при n=3 при n=4
24 24
6 6 60 84 108
2 2 12 18 24 50 110 194 302
3 5 7 7 19 37 61 15 65 175 369 671
1 4 9 16 1 8 27 64 125 1 16 81 256 625 1296
Как видно из примера при n=2 d=2, т.е. d=2*1, при n=3 d=6, т.е. d=2*3, при n=4 d=24, т.е. d=6*4.
Таким образом, мы имеем дело с последовательностями дельт, при извлечении натурального корня из которых мы получаем циклы натуральных корней с переменной дельтой, и только предпоследний ряд является циклом натуральных корней с постоянной дельтой, так как дает нам постоянную базовую дельту.
РАЗДЕЛ 7
ПРИНЦИПЫ ЦИКЛОВ НАТУРАЛЬНЫХ КОРНЕЙ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ
Все принципы, изложенные в данной работе действительны для любых других систем счисления. С учетом того, что последнее однозначное число любой системы счисления ведет себя аналогично нулю, то для любой системы счисления [0,1... k]:
- сумма цифр или их комбинаций числа Х, приведенная к виду однозначного числа будет равна остатку от вычитания из числа Х целого количества числа k - последнего однозначного числа данной системы счисления;
- эманациями натурального корня а, где а [0,1... k] будут все числа, составленные по принципу nk + a;
- существуют циклы натуральных корней сложения, умножения и пр. по принципам, изложенным в работе, и с учетом количества однозначных чисел данной системы счисления.
Приведем для убедительности несколько примеров.
Семеричная система счисления [0,1,2 6]
Натуральные корни [0,1,2... 5].
Эманациями натурального корня 0 будут числа 6,15,24,33 и т.д.
Эманациями натурального корня 1 будут числа 1,10,16,25,34 и т.д.
Сумма цифр при приведении к виду однозначного числа в эманациям, как мы видим, равна натуральному корню.
Рассмотрим для данной системы счисления циклы натуральных корней сложения с постоянной дельтой:
____
Z( |0+2) - 2,4,6 имеет три члена
____
Z( |0+3) - 3,6 имеет два члена
Восьмеричная система счисления [0,1,2...7]
Натуральные корни [0,1,2...6].
Циклы натуральных корней сложения с постоянной дельтой для данной системы счисления:
____
Z( |0+2) - 2,4,6,1,3,5,7 имеет семь членов
____
Z( |0+3) - 3,6,2,5,1,4,7 имеет семь членов
Дело в том, что если количество натуральных корней данной системы счисления [0,1... k] K делится без
____
остатка на число d, т.е. K/d=c , то количество членов цикла Z( |s+d) будет равно с; если не делится без остатка, то будет равно K.
Приведем пример сложения двух циклов натуральных корней сложения в системе счисления [0,1,2...12], запись 10 - a, 11-b, 12 -c .Натуральные корни [0,1,2...b].
____ ____
Сложим Z( |1+2) - 3,5,7,9,b,1 и Z( |а+7) - 5,0,7,2,9,4,b,6,1,8,3,а
Согласно формуле 1 формул взаимодействия циклов натуральных корней
____ ____ ____
Z( |1+2) + Z( |а+7) = Z( |b+9), где b= 1 + а, 9= 2 + 7, т.е. цикл натуральных корней 8,5,2,b.
Таким образом, принципы извлечения натурального корня, построения эманаций натуральных корней и циклов натуральных корней имеют место в любой системе счисления.
РАЗДЕЛ 8
ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ЦИКЛОВ НАТУРАЛЬНЫХ КОРНЕЙ
В силу того, что натуральные корни и их последовательности являются проекцией многозначных чисел и их последовательностей, мы вправе ограничить оси координат по числу 9 для графического изображения таких проекций.
Основные принципы графического изображения циклов натуральных корней:
1. Получаемые точки (принцип получения точек см.ниже) соединяются последовательно.
2. Для данного принципа графического изображения принципиально важной является применяемая числовая последовательность.
3. Для графического изображения проекции некоторой числовой последовательности в натуральной оси координат, т.е. графического изображения некоторого цикла натуральных корней, достаточно избрать некоторую дельту количества знаков k, через которую член цикла натуральных корней будет принят за х, а следующий за ним, соответственно, за у.
Например, если мы изобразим проекцию функции у = х ,при-
меняя последовательно члены арифметической прогрессии с дельтой d = 1 и первым членом 1, т.е. цикл натуральных корней 1,4,9,7,7,9,4,1,9, с дельтой знаков k = 2 (см. график N 3 Приложения 2) и k = 3 (см. график N 4 Приложения 2), мы получим, естественно, различные графики.
Дельта знаков может представлять из себя и любую числовую последовательность.
Графическое изображение числовых последовательностей в натуральной оси координат позволяет рассмотреть свойства числовых последовательностей при их проекции на натуральные корни. Весьма любопытным для понимания взаимодействия чисел и их последовательностей является принцип совмещения графиков различных циклов натуральных корней (см. графики Приложения 2).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Основные выводы
1.Рассмотрение других систем счисления указывает на то, что приведенные в работе принципы верны и для них, так как основным сходством различных систем счисления в свете натурализации чисел является то, что последнее однозначное число любой системы счисления проявляет свойства, аналогичные нулю. Таким образом, и эманации чисел в любой системе счисления всегда будут строиться по принципу прибавления к натуральному корню последнего числа данной системы. Наиболее интересной для изучения является двоичная система, т. к. единица в данной системе является эманацией нуля. Для наиболее полного рассмотрения качества чисел необходимо рассмотреть их свойства в различных системах счисления.
2. Построение числового ряда по принципу эманационных рядов указывает нам на два важнейших философских закона:
а) Закон аналогий.
Т.к. эманации одного и того же числа не являются одинаковыми числами, но проявляют одинаковые свойства в ряде математических действий по натуральному корню, а значит такие числа аналогичны;