______ ______ _____
3. Z( |х + d) * а => Z( |с + d), где с = |х * а ;
_____ _____ _____
4. Z( |х + d) : а => Z( |c + d), где с = |d : а ;
_____ _____ _____
5. Z( |х * s) * а => Z( |c * s), где с = |х * а, исключая
случаи, когда х или s являются эманациями натуральных корней 3,6,0;
_____ _____ ____
6. Z( |х * s) : а => Z( |c * s), где с = |х : а, исключая
случаи, указанные в правилах умножения;
_____ ____
7. Z( |х * s) + а => Z, циклом дельт которого будет Z(s) = Z( |х * s );
_____ _____
8. Z( |х * s ) - а => Z, циклом дельт которого будет Z(s) = Z( |х * s).
Например. _____
Прибавим к циклу натуральных корней Z( |1 + 2) число 4:
_____
Цикл Z( |1 + 2) - 3,5,7,9,2,4,6,8,1.
Прибавим к каждому члену число 4: 3 + 4 = 7, 5 + 4 = 9, 7 + 4 = 11, 9 + 4 = 13, 2 + 4 = 6, 4+ 4 = 8, 6 + 4 = 10, 8 + 4 = 12, 1 + 4 = 5.
Мы получили числовую последовательность 7,9,11,13,6,8,10,12,5.
При извлечении из нее натуральных корней мы получим цикл натуральных корней 7,9,2,4,6,8,1,3,5, т.е.
______
Z ( |5 + 2), где 5 = 1 + 4.
Естественно, что при продолжении действия последовательность натуральных корней не изменится. Также она не изменится и при применении любых эманаций членов цикла натуральных корней вместо них.
При взаимодействии числа с циклом натуральных корней, представляющим из себя синтез n подциклов мы получаем цикл натуральных корней, синтезирующий n подциклов, полученных в результате взаимодействия числа х с подциклами основного цикла.
5.2. Взаимодействие цикла натуральных корней с циклом натуральных корней
При взаимодействии одного цикла натуральных корней с другим циклом натуральных корней член одного цикла натуральных корней, являющийся некоторым n-м знаком этого цикла, взаимодействует
с членом другого цикла натуральных корней, являющийся некоторым n-м знаком этого цикла. Возможно взаимодействие и большего, чем два, количества циклов.
Правило 10. При извлечении натуральных корней из числовой последовательности, полученной путем взаимодействия одного цикла натуральных корней с другим, мы получаем цикл натуральных корней.
Формулы взаимодействия циклов натуральных корней:
_____ _____ _____
1. Z( |х + у) + Z( |а + b) => Z( |с + d),
_____ _____
где с = |х + а, d = |у + b;
______ ______ _____ _____ _____
2. Z( |х + у ) - Z( |а + b) => Z( |с + d), где с = |х - а, d = |у - b ;
_____ _____
3. Z( |х + у) * Z( |a + b) => Z, циклом дельт которого Z(d) будет один из циклов натуральных корней сложения;
_____ _____ _____ ____ ____
4. Z( |х * у) * Z( |а * b) => Z( |c * d), где с = |х *а, d = |у * b;
_____ _____ _____ ____ ____
5. Z(|х * у) : Z( |а * b) => Z( |c * d), где с = |х : а, d = |у : b;
_______ ___ ____
| n _______ | n | n
6. Z( |(х * у) ) = Z( |(c * d) ), где с = |(х) , d = |(у) .
При умножении или делении циклов натуральных корней умножения исключением являются случаи применения циклов натуральных корней умножения, первый член или дельта которых являются эманациями чисел 3,6,9.
Покажем это на примере арифметической прогрессии. Прибавим к арифметической прогресии
_____
1,4,7,10,13,16,19,22,25,т.е. Z( |7 + 3) арифметическую прогрессию
_____
3,5,7,9,11,13,15,17,19, т.е. Z( |1 + 2):
1 + 3 = 4, 4 + 5 = 9, 7 + 7 = 14, 10 + 9 = 19, 13 + 11 = 24,
16 + 13 = 29, 19 + 15 = 34, 22 + 17 = 39, 25 + 19 = 44.
Мы получили числовую последовательность 4,9,14,19,24,29,34,39, 44. При извлечении из нее натуральных корней мы получим последовательность натуральных корней 4,9,5,1,6,2,7,3,8,т.е.
_____
Z( |8 + 5), где 8 = 7 + 1, 5 = 3 + 2.
Приведем пример для формулы 6. Возведем члены цикла натуральных корней
______
умножения Z( |2 * 5 ) в степень а = 2:
2 2 ___ 2 ___ 2 ____ 2 ___ 2
1 = 1; 5 = 7|25; 7 = 4|49 ;8 = 1|64 ; 4 = 7|16 ; 2 = 4.
Путем извлечения натуральных корней мы получили цикл натуральных
__ __
______ | 2 | 2
корней умножения Z( |4 * 7), где 4 = |2 , 7 = |5.
При взаимодействии циклов мы получаем цикл натуральных корней, который совмещает в себе подциклы, полученные в результате взаимодействия подциклов основных циклов.
5.3. Взаимодействие членов цикла.
Рассмотрим свойства циклов натуральных корней сложения с постоянной дельтой. Данная часть раздела показывает лишь внутренние взаимодействия таких циклов и указывает на возможность подобных взаимодействий для циклов натуральных корней с переменной дельтой.
5.3.1. При сложении членов цикла натуральных корней сложения
_____
Z( |р + r) количеством n и дальнейшем извлечении натуральных корней из получаемых сумм, мы получаем цикл натуральных корней
_____
сложения сумм Z( |а + b), где b = kr, где k - коэффициэнт.
Рассмотрим различные типы сложения для ряда х1,х2,х3,х4, х5,х6,х7,х8,х9.
_______ _______
1. |х1 + х2 = у1, |х3 + х4 = у2 и т.д.
При данном типе сложения коэффициент k будет равен
натуральному корню из квадрата количества членов n, т.е. при n = 2, k = 4;
n = 3, k = 9;
____
n = 4, k = 7|16;
____
n = 5, k = 7|25;
____
n = 6, k = 9|36;
____
n = 7, k = 4|49;
____
n = 8, k = 1|64;
______
Например. Сложим члены цикла Z( |0 + 2 ) при n = 7:
___
2 + 4 + 6 + 8 + 1 + 3 + 5 = 2|29,
___
7 + 9 + 2 + 4 + 6 + 8 + 1 = 1|37,
___
3 + 5 + 7 + 9 + 2 + 4 + 6 = 9|36,
___
8 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 2 = 8|35,
___
4 + 6 + 8 + 1 + 3 + 5 + 7 = 7|34,
___
9 + 2 + 4 + 6 + 8 + 1 + 3 = 6|33,
___
5 + 7 + 9 + 2 + 4 + 6 + 8 = 5|41,
___
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 2 + 4 = 4|31,
___
6 + 8 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 3|39.
Таким образом, мы получили ряд 2,1,9,8,7,6,5,4,3.
_____
т.е. Z( |3 + 8), где 8 = 4 * 2, т.е. k = 4.
Легко заметить, что вертикальные ряды представляют из себя циклы с дельтой, равной 5. Это будет происходить во всех случаях. Полученные вертикальные ряды будут являться циклами натуральных корней сложения с дельтой цикла d, равной натуральному корню произведения r - дельты складываемого цикла и n - количества складываемых членов.
Любопытно отметить, что при данном типе сложения натуральный
корень суммы первых семи по порядку членов циклов типа
_____
Z( |0 + r) равен r.
_______ _______
2. |х1 + х2 = у1, |х2 + х3 = у2 и т.д.
___
При n = 2, k = 2 = |n ;
___
n = 3, k = 6 = |2n ;
___
n = 4, k = 3 = |3n ;
___
n = 5, k = 2 = |4n ;
___
n = 6, k = 3 = |5n ;
___
n = 7, k = 6 = |6n ;
___
n = 8, k = 2 = |7n .
____________ _____________
3. |х1 + х2 + х3 = у1, |х2 + х3 + х4 = у2 и т.д.
________________ _________________
4. |х1 + х2 + х3 + х4 = у1, |х2 + х3 + х4 + х5 = у2.
_____________________ _____________________
5 .|х1 + х2 + х3 + х4 + х5 = у1, |х2 + х3 + х4 + х5 + х6 = y2,
_________________________ __________________________
6. |х1 + х2 + х3 + х4 + х5 + х6 = у1, |х2 + х3 + х4 + х5 + х6 + х7 = у2,
______________________________ ______________________________
7. |х1 + х2 + х3 + х4 + х5 + х6 + х7 = у1, |х2 + х3 + х4 + х5 + х6 + х7 + х8 = у2.
__________________________________ __________________________________
8. |х1 + х2 + х3 + х4 + х5 + х6 + х7 + х8 = у1, |х2 + х3 + х4 + х5 + х6 + х7 + х8 + х9 = у2
При каждом из этих типов сложения по вертикальные ряды будут представлять из себя циклы натуральных корней сложения.
Вышеизложенные типы сложения безусловно взаимосвязаны. Это показывает развитие коэффициента k для различных типов сложения при одинаковом n:
n = 2 k = 4 k = 2
n = 3 k = 9 k = 6 k = 3
n = 4 k = 7 k = 3 k = 8 k = 4
n = 5 k = 7 k = 2 k = 6 k = 1 k = 5
n = 6 k = 9 k = 3 k = 6 k = 9 k = 3 k = 6
n = 7 k = 4 k = 6 k = 8 k = 1 k = 3 k = 5 k = 7
n = 8 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 k = 6 k = 7 k =8
Получаемые по горизонтали ряды являются частями циклов натуральных корней сложения. Например, при n = 5 мы получаем
_____
ряд 7,2,6,1,5, являющийся частью цикла Z (|3 + 4).
_____
5.3.2. При поэтапном сложении n членов цикла натуральных корней сложения Z ( |а + b) :
х1,х2,х3 ...хk, находящихся в цикле через h членов, мы получаем цикл натуральных корней сложения
______ ___
Z( |с + d) , где d = |nb путем извлечения натуральных корней из по лучаемых сумм.
Например. При извлечении натуральных корней из сумм членов
_____ _____
Z( |0 + 4) при n = 2 и d = 3 мы получим цикл натуральных корней Z( |3 + 8), где 8 = 2 * 4
При умножении членов цикла натуральных корней умножения
по вышеприведенным принципам, мы получим цикл натуральных корней умножения путем извлечения натуральных корней из получаемых произведений.
_____
Например. Используя принцип 5.3.2. для Z( |5 * 5) при n = 2, d = 3 мы получим цикл натуральных корней
_____ _____
Z( |2 * 7), где 7 = |5 * 2.
5.3.3. Суммы числовых рядов Нижеизложенные принципы являются прямым следствием принципа циклов натуральных корней и, соответственно, принципа эманационного построения числового ряда.
Cумма членов арифметической прогрессии с постоянной дельтой d от любой эманации числа х до любой эманации числа у является постоянной величиной по натуральному корню.
Например. Найдем сумму членов арифметической прогрессии с дельтой d = 1 и первым членом а = 1 от эманаций 1-цы до эманаций 2-ки: ___ ____
Сумма членов от 1 до 2 равна 3, от 1 до 11 равна 3|66, от 10 до 20 равна 3|165, т.е. в любом из этих случаев сумма по натуральному корню равна числу 3.
При рассмотрении сумм членов числовых последовательностей с переменной дельтой d = а,b,с...n от эманаций числа х до эма наций числа у мы найдем, что они не являются постоянными величинами по натуральному корню, но при построении в числовой ряд они представляют из себя цикл натуральных
_____
корней Z( |f + k), где k - натуральный корень суммы членов цикла натуральных корней, который мы получаем путем извлечения натуральных корней из членов данной числовой последовательности. Например. Рассмотрим цикл натуральных корней с переменной дельтой d = 2,7 и первым членом 1. Он будет иметь вид 1,3,1,3,1,3,1,3 и т.д. В данном случае натуральные корни сумм членов от 1до 1 выстроятся в числовой ряд 5,9,4,8,3,7,2,6,1, т.е.
______
цикл натуральных корней Z( |6 + 4), где число 4 является суммой членов цикла натуральных корней с переменной дельтой, т.е. 4 = 1 + 3.
Суммы членов арифметической прогрессии с некоторой постоянной дельтой d от некоторого числа а до чисел, являющихся членами некоторого цикла натуральных корней, представляют из себя члены некоторого цикла натуральных корней при извлечении из них натуральных корней.
Например, рассмотрим арифметическую прогрессию с дельтой d = 2 и первым членом 1: 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37, т.е. цикл натуральных корней 1,3,5,7,9,2,4,6,8. Рассмотрим суммы от числа 1 до чле- нов прогрессии, которые по натуральному корню являются членами цикла натуральных корней 5,2,8:
Сумма от 1 до 5 = 9,
___
от 1 до 11 = 9|36,
___
от 1 до 17 = 9|81,
____
от 1 до 23 = 9|144. _____
Т.е., мы получили цикл натуральных корней Z( |0 + 9).
РАЗДЕЛ 6
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
6.1. При возведении числа х, имеющего натуральный корень z, в степени, имеющие одинаковый натуральный корень, мы получаем числа, равные по натуральному корню.
Для чисел с натуральным корнем 1,4,7 данное правило всегда верно. Например, возведем число 4 в степени, имеющие натуральный корень2 - степени 2 и11: