Скалярная проекция гиперкомплексных чисел (стр. 2 из 2)

1)

, причем (x,x) только при x = 0

2) (x,y) = (y,x)

3) (x,ky) = k(x,y) где k - любое действительное число

4) (x,y+z)=(x,y)+(x,z)

Для первого свойства вышеприведенное правило построения проекции не подходит, поскольку

Поскольку даже для тех алгебр, для которых

может быть отрицательным числом, число всегда положительно, но исключение составляет условие

(x,x) = 0 только при x = 0

Тут следует сделать оговорку, что в гиперкомплексных алгебрах случай идеалов вовсе не является исключением, поэтому для скалярной проекции гиперкомплексных чисел вполне возможно снять это условие и разрешить

при

Рассмотрим второе свойство скалярного произведения

(x,y) = (y,x)

В случае построения аналогии в нашем случае следует доказать, что

Для этого докажем промежуточные равенства:

a)

b)

Для доказательства равенства a) рассмотрим коэффициенты таблицы произведения мнимых единиц в алгебрах Кэли - Диксона:

где через

обозначены мнимые единицы гиперкомплексной алгебры, - коэффициенты произведений. Для всех гиперкомплексных алгебр Кэли - Диксона, определенных подобной таблицей произведений, выполняется

при

Таким образом, в произведении

в действительной части будут присутствовать только четные степени при , а нечетных не будет.

Обозначив через

элемент алгебры, алгебраически сопряженный элементу X, а через - сопряжение путем смены знаков у всех коэффициентов при мнимых единицах, получим:

Сопряжение

еще можно назвать фазовым сопряжением, поскольку сопрягается фаза числа. Поскольку выражение для определено в виде полиномиального ряда, то в будут входить только четные функции от мнимых компонентов фазы числа X. Поскольку функции четные, например ch или cos, то действительная часть при алгебраическом сопряжении не меняется:

Для доказательства промежуточного равенства b) рассмотрим также таблицу произведений мнимых единиц алгебр Кэли - Диксона:

Поскольку раскрыв произведение ab мы получим гиперкомплексное число, рассмотрим образование его действительной части. В нее входят:

- произведение действительных частей a и b.

- произведение одинаковых мнимых компонентов a и b.

Поскольку для алгебр Кэли - Диксона нельзя получить действительного числа из произведений

при

а две вышеприведенные составляющие не зависят от порядка сомножителей a и b, то, следовательно,

Для доказательства соответствия предложенной формы скалярной проекции второму свойству скалярного произведения просто преобразуем выражение:

Таким образом, если скалярному произведению (x,y) сопоставлять

, то правило коммутативности скалярного произведения выполняется.

Соответствие предлагаемой формы скалярной проекции третьему свойству скалярного произведения проверяется непосредственно: если k - действительное число, то

, поэтому

Для проверки соответствия четвертому свойству используем второе и проверим:

(x,y + z) = (y + z,x) = (y,x) + (z,x)

Распишем скалярную проекцию:

Поскольку для алгебр Кэли - Диксона сложение определено покомпонентно, то для любых двух чисел a и b:

Таким образом, введенная нами форма скалярной проекции соответствует четвертому свойству скалярного произведения:

4. Гиперкомплексное произведение как ортогональное преобразование.

В стандартном курсе векторной алгебры после введения понятия скалярного произведения вводится понятие ортогонального преобразования. Будем следовать классике. Преобразование называется ортогональным, если скалярное произведение двух векторов равно скалярному произведению их образов после преобразования. Обозначив преобразование вектора как F(x), получим:

(F(x),F(y)) = (x,y)

Ортогональным это преобразование называется из-за того, что если (x,y)=0, то и

(F(x),F(y)) = 0

То есть если два вектора были ортогональны, то будут ортогональны и их образы после такого преобразования.

Ясно, что ортогональное преобразование сохраняет и длину любого вектора:

|F(x)| = |x|

В алгебрах гиперкомплексных чисел одним из видов преобразования является произведение гиперкомплексного числа x на другое гиперкомплексное число a. Покажем, что в случае |a| = 1 такое произведение задает ортогональное преобразование, или что

и что при преобразовании

Для этого докажем равенство:

Re(abc) = Re(cab):

Поэтому выражение скалярной проекции равно:

Поскольку

, то получим:

Таким образом, при задании преобразования числа x как умножения слева на число |a|=1 мы получаем ортогональное преобразование, сохраняющее модуль числа x и скалярную проекцию векторов ax и ay.

То же самое можно доказать и для умножения справа на число a, где |a|=1.

5. Выводы.

Нам удалось найти для гиперкомплексных алгебр аналог скалярного произведения, введенного в векторной алшебре. Его удалось дать в достаточно общей форме, распространимой на ассоциативные гиперкомплексные алгебры Кэли - Диксона. Полученная форма полностью соответствует четырем основным свойствам скалярного произведения. Проанализировав, в каком именно месте рассуждений мы отошли от классического варианта, несложно обнаружить, что мы нигде не потребовали и не использовали равенства:

Если бы мы потребовали его выполнения, то мы естественным образом сузили бы набор рассматриваемых гиперкомплексных алгебр. Точно так же, как это было сделано в теореме Гурвица: Любая нормированная алгебра с единицей изоморфна одной из четырех алгебр - действительных чисел, комплексных чисел, кватернионов или октав. Более того, равенство

у него считается очевидным.

Автор надеется, что некоторая часть этой статьи может оказаться полезной и при работе с финслеровыми геометриями.

Москва, октябрь 2001.

Список литературы

1. И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа, М, Наука, 1973.

2. Е. А. Каратаев. Скалярно - пространственные повороты в кватернионах, http://karataev.nm.ru/sclvec/index.html