Система математических расчетов MATLAB (стр. 12 из 30)
- cov – В случае вектора данных эта функция выдает дисперсию, то есть меру распреде-
ления (отклонения) наблюдаемой переменной от ее среднего значения. В случае
матриц это также мера линейной зависимости между отдельными переменными,
определяемая недиагональными элементами.
- corrcoef – Коэффициенты корреляции – нормализованная мера линейной вероятност-ной зависимости между перменными.
Применим функцию cov к первому столбцу матрицы count
cov(count(:,1))
Результатом будет дисперсия числа машин на первом пункте наблюдения
ans =
643.6522
Для массива данных, функция cov вычисляет матрицу ковариаций. Дисперсии столбцов мас-сива данных при этом расположены на главной диагонали матрицы ковариаций. Остальные элементы матрицы характеризуют ковариацию между столбцами исходного массива. Для матрицы размера mхn, матрица ковариаций имеет размер n-by-n и является симметричной, то есть совпадает с транспонированной.
Функция corrcoef вычисляет матрицу коэффициентов корреляции для массива данных, где каждая строка есть наблюдение, а каждый столбец – переменная. Коэффициент корреляции – это нормализованная мера линейной зависимости между двумя переменными. Для некор-релированных (линейно-независимых) данных коэффициент корреляции равен нулю; экива-лентные данные имеют единичный коэффициент корреляции. Для матрицы mхn, соответст-вующая матрица коэффициентов корреляции имеет размер nхn. Расположение элементов в матрице коэффициентов корреляции аналогично расположению элементов в рассмотренной выше матрице ковариаций. Для нашего примера подсчета количества машин, при вводе
corrcoef(count)
получим
ans =
1.0000 0.9331 0.9599
0.9331 1.0000 0.9553
0.9599 0.9553 1.0000
Очевидно, здесь имеется сильная линейная корреляция между наблюдениями числа машин в трех различных точках, так как результаты довольно близки к единице.
Конечные разности
MATLAB предоставляет три функции для вычисления конечных разностей.
Функция | Описание |
| diff | Разность между двумя последовательными элементами вектора. Приближенное дифференцирование. |
| gradient | Приближенное вычисление градиента функции. |
| del2 | Пятиточечная аппроксимация Лапласиана. |
Функция diff вычисляет разность между последовательными элементами числового вектора, то есть diff(X) есть [X(2) -X(1) X(3) -X(2) ... X(n) -X(n-1)]. Так, для вектора A,
A = [9 -2 3 0 1 5 4];
diff(A)
MATLAB возвращает
ans =
-11 5 -3 1 4 -1
Помимо вычисления первой разности, функция diff является полезной для определения опре-деленных характеристик вектора. Например, вы можете использовать diff для определения, является ли вектор монотонным (значения элементов или всегда возрастают или убывают), или имеет ли он равные приращения и т.д. Следующая таблица описывает несколько различ-ных путей использования функции diff с одномерным вектором x.
| Применение (тест) | Описание |
| diff(x) == 0 | Тест на определение повторяющихся элементов |
| all(diff(x) > 0) | Тест на монотонность |
| all(diff(diff(x)) == 0) | Тест на опредедление равных приращений |
Обработка данных
В данном разделе рассматривается как поступать с:
- Отсутствующими значениями
- Выбросами значений или несовместимыми («неуместными») значениями
Отсутствующие значения
Специальное обозначение NaN, соответствует в MATLAB-е нечисловое значение. В соответ-ствие с принятыми соглашениями NaN является результатом неопределенных выражений та-ких как 0/0. Надлежащее обращение с отсутствующими данными является сложной пробле-мой и зачастую меняется в различных ситуациях. Для целей анализа данных, часто удобно использовать NaN для представления отсутствующих значений или данных которые недос-тупны. MATLAB обращается со значениями NaN единообразным и строгим образом. Эти значения сохраняются в процессе вычислений вплоть до конечных результатов. Любое мате-матическое действие, производимое над значением NaN, в результате также производит NaN. Например, рассмотрим матрицу, содержащую волшебный квадрат размера 3х3, где це-нтральный элемент установлен равным NaN.
a = magic(3); a(2,2) = NaN;
a =
8 1 6
3 NaN 7
4 9 2
Вычислим сумму элементов всех столбцов матрицы:
sum(a)
ans =
15 NaN 15
Любые математические действия над NaN распространяют NaN вплоть до конечного резуль-тата. Перед проведением любых статистических вычислений вам следует удалить все NaN-ы из имеющихся данных. Вот некоторые возможные пути выполнения данной операции.
Программа | Описание |
| i = find( ~ isnan(x)); x = x(i) | Найти индексы всех эементов вектора, не равных NaN, и затем сохранить только эти элементы |
| x = x (find( ~ isnan(x))) | Удалить все NaN-ы из вектора |
| x = x ( ~ isnan(x)); | Удалить все NaN-ы из вектора (быстрее). |
| x (isnan(x)) = [ ]; | Удалить все NaN-ы из вектора |
| X (any(isnan(X’)), :) = [ ]; | Удалить все строки матрицы X содержащие NaN-ы |
Внимание. Для нахождения нечисловых значений NaN вам следует использовать специаль-ную функцию isnan, поскольку при принятом в MATLAB-е соглашении, логическое сравне-ние NaN == NaN всегда выдает 0. Вы не можете использовать запись x(x==NaN) = [ ] для удаления NaN-ов из ваших данных.
Если вам часто приходится удалять NaN-ы, воспользуйтесь короткой программой, записан-ной в виде М-файла.
function X = excise(X)
X(any(isnan(X')),:) = [ ];
Тогда. напечатав
X = excise(X);
вы выполните требуемое действие (excise по английски означает вырезать)
Удаление выбросов значений
Вы можете удалить выбросы значений или несовместимые данные при помощи процедур, весьма схожих с удалением NaN-ов. Для нашей транспортной задачи, с матрицей данных count, средние значения и стандартные (среднеквадратические) отклонения каждого столбца матрицы count равны
mu = mean(count)
sigma = std(count)
mu =
32.0000 46.5417 65.5833
sigma =
25.3703 41.4057 68.0281
Число строк с выбросами значений, превышающими утроенное среднеквадратическое откло-нение от среднего значения можно получить следующим образом:
[n, p] = size(count)
outliers = abs(count - mu(ones(n, 1),:)) > 3*sigma(ones(n, 1),:);
nout = sum(outliers)
nout =
1 0 0
Имеется только один выброс в первом столбце. Удалим все наблюдение при помощи выра-жения
count(any(outliers'),:) = [ ];
Регрессия и подгонка кривых
Часто бывает полезным или необходимым найти функцию, которая описывает взаимосвязь между некоторыми наблюдаемыми (или найденными экспериментально) переменными. Оп-ределение коэффициентов такой функции ведет к решению задачи переопределенной систе-мы линейных уравнений, то есть системы, у которой число уравнений превышает число не-известных. Указанные коэффициенты можно легко найти с использованием оператора обрат-ного деления \ (backslash). Допустим, вы производили измерения переменной y при разных значениях времени t.
t = [0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3]';
y = [0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40]';
plot(t,y,'o'); grid on
В следующих разделах мы рассмотрим три способа моделирования (аппроксимации) этих данных:
- Методом полиномиальной регрессии
- Методом линейно-параметрической (linear-in-the-parameters) регрессии
- Методом множественной регрессии
Полиномиальная регрессия
Основываясь на виде графика, можно допустить, что данные могут быть аппроксимированы полиномиальной функцией второго порядка:
y = a0 + a1t + a2t2
Неизвестные коэффициенты a0, a1 и a2 могут быть найдены методом среднеквадратичес-кой подгонки (аппроксимации), которая основана на минимизации суммы квадратов отклоне-ний данных от модели. Мы имеем шесть уравнений относительно трех неизвестных,
представляемых следующей матрицей 6х3:
X = [ones(size(t)) t t.^2]
X = 1.0000 0 0
1.0000 0.3000 0.0900
1.0000 0.8000 0.6400
1.0000 1.1000 1.2100
1.0000 1.6000 2.5600
1.0000 2.3000 5.2900
Решение находится при помощи оператора \ :
a = X\y
a =
0.5318
0.9191
- 0.2387
Следовательно, полиномиальная модель второго порядка наших данных будет иметь вид
y = 0.5318 + 0.9191t – 0.2387 t2
Оценим теперь значения модели на равноотстоящих точках (с шагом 0.1) и нанесем кривую на график с исходными данными.