НН Трушин Информатика (стр. 11 из 37)
где p – основание системы счисления, натуральное число; a – цифра; n – номер старшего разряда числа.
Показатели степени основания для дробной части числа изображаются отрицательными числами от –1 до . Смешанное число в общем виде можно представить следующим выражением:
A( n) an pn an1pn1 ...a1p1 a0p0 a1p1 ...am pm .
В современной информатике используются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы счисления.
Двоичная система счисления имеет набор цифр {0,1} и p=2. Двоичное число можно представить таким выражением:
A( n) an 2n an12n1 ...a121 a020 a121 ...am 2m . Пример. 11012 = 1·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20 = 1310.
Восьмеричная система счисления в настоящее время в информатике практически не используется. Она имеет набор цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} и p=8.
Представление восьмеричного числа:
A( n) an 8n an18n1 ...a181 a080 a181 ...am 8m .
Пример. 3778 = 3·82 + 7·81 + 7·80 = 25510
Десятичная система счисления используется в нашей повседневной жизни, имеет набор цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и p=10. Представление десятичного числа:
A( n) an10n an110n1 ...a1101 a0100 a1101 ...am10m .
Пример. 152,710 = 1·102 + 5·101 + 2·100 + 7·10-1.
Шестнадцатеричная система счисления имеет набор цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F} и p=16. Для изображения первых десяти цифр используются цифры десятичной системы счисления, а для изображения остальных цифр – шесть первых букв латинского алфавита. Представление шестнадцатеричного числа:
A(n) an16n an116n1 ...a1161 a0100 a1161 ...am16m. Пример. E7F816 = E·163 + 7·162 + F·161 + 8·160 = 5938410.
Двоичная система счисления получила исключительное распространение в вычислительной технике благодаря представлению цифры каждого разряда электронной схемой с двумя устойчивыми состояниями и простоте выполнения арифметических операций. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления представляет собой более компактную форму записи двоичных чисел, при которой три или четыре двоичные цифры заменяются либо на одну восьмеричную, либо на две шестнадцатеричные.
4.3. Методы перевода чисел из одной системы счисления в другую
Поскольку люди и вычислительные машины пользуются различными системами счисления, следует знать принципы перевода чисел из одной системы счисления в другую. Преобразование числа из системы счисления с произвольным основанием в десятичное представление производится по вышеприведенным соотношениям. Далее рассмотрим другие правила перевода целых чисел ручным методом.
Правило 1. Для перевода целого десятичного числа x в систему счисления с основанием p необходимо делить исходное число x и образующиеся частные на p до получения частного, равного нулю. Искомое представление есть последовательность остатков от деления, причем первый остаток есть младшая цифра.
Пример. Перевод десятичного числа 236 в двоичное число:
| Частные | Остатки |
| 236 118 59 29 14 7 3 1 0 | 0 = а0 0 = а1 1 = a2 1 = a3 0 = a4 1 = a5 1 = a6 1 = a7 |
Записывая остатки от деления снизу вверх, получим: 23610 = 111011002.
Правило 2. Для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления необходимо исходное число справа налево сгруппировать по четыре цифры, а затем каждую группу записать одной шестнадцатеричной цифрой. Пример. Перевод двоичного числа 1111010 в шестнадцатеричное число: 1111010(2) = 0111 1010 = 7A(16) .
Перевод двоичных чисел в восьмеричные осуществляется по правилу 2, но группировать двоичные цифры следует по три.
Правило 3. Для перевода целого шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру исходного числа записать в виде эквивалентного четырехбитного двоичного числа. Пример. Перевод шестнадцатеричного числа 5AF в двоичное число:
5AF(16) = 0101 1010 1111 = 01011010111(2) .
Перевод восьмеричного числа в двоичное производится аналогичным образом, но при этом каждая восьмеричная цифра должна быть записана в виде трехбитного двоичного числа.
Для ручного перевода чисел из одной системы счисления в другую можно воспользоваться табл. 4.1.
Таблица 4.1 Таблица перевода чисел
| Десятичное число | Шестнадцатеричное число | Восьмеричное число | Двоичное число |
| 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F | 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 | 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 |
4.4. Формы представления в ЭВМ числовых данных
Система вещественных десятичных чисел, применяемая в ручных расчетах, предполагается бесконечной и непрерывной. Это означает, что при этом не накладывается никаких ограничений на диапазон используемых чисел и точность их представления (количество значащих разрядов или цифр). Реализовать такую систему чисел в технических устройствах невозможно. В ЭВМ, которые оперируют двоичными числами, размеры регистров процессора и ячеек памяти фиксированы, что накладывает ограничения на систему представимых чисел. Ограничения касаются диапазона допустимых чисел и точности их представления. Поэтому система машинных чисел оказывается конечной и дискретной, образуя подмножество системы вещественных чисел.
Для процессора любой ЭВМ существуют максимальное представимое число Zmax и минимальное представимое число Zmin, между которыми находится множество допустимых чисел (рис. 4.1). Существуют два таких множества – для положительных и отрицательных чисел. Если результат машинной операции превышает Zmax, возникает состояние переполнения, при этом дальнейшее выполнение программы не имеет смысла и обычно прекращается. Если результат операции оказывается меньше Zmin, то фиксируется состояние антипереполнения. Обычно при антипереполнении результат операции обращается в нуль. Область чисел от -Zmin до +Zmin, за исключением истинного нуля, называют машинным нулем.
Рассмотрим далее форматы представления в ЭВМ вещественных чисел с фиксированной и плавающей точкой.
4.4.1. Вещественные числа с фиксированной точкой
В системе команд процессора ЭВМ и языках программирования существуют два формата представления чисел: с фиксированной точкой (для целых чисел) и с плавающей точкой (для вещественных чисел).
Область
Представимые машинного Представимые числа нуля числа
Рис. 4.1. Система машинных чисел
Целые числа могут быть со знаком или без знака. Формат представления в памяти ЭВМ целых чисел без знака имеет вид, показанный на рис. 4.2. Значок ^ здесь и далее обозначает положение десятичной точки, отделяющей целую часть числа от дробной части. Все разряды такого числа являются значащими, а положение точки фиксируется после младшего значащего разряда. Диапазон представимых чисел: от 0 до 2n-1.