Управление сложными системами (стр. 6 из 14)
8. Задача определения оригинала функции по её изображению:
а) Непрерывные функции
Смотри формулу (5) из пункта № 4.1.2.2.
б) Дискретные математические модели (для решетчатых функций)
Так как F(z) дробно рациональная функция, то проще эту задачу решать так: разделив числитель на знаменатель, F(z) можно разложить в ряд Лорана по убывающим степеням, т.е.
Известно, что
≜ 
f0, f1, f2, … — дискреты искомой решетчатой функции f[iT].
4.1.2.7 Математические модели в комплексной области
4.1.2.7.1 Дискретные математические модели
Применяя к уравнению (Ⅰ) пункта № 4.1.1.1.2 Z-преобразование, с учётом свойств линейности и теоремы сдвига при нулевых начальных условиях получим:
(I*)4.1.2.7.2 Непрерывные математические модели
Применяя к уравнению (Ⅱ) пункта № 4.1.1.2.2 преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, с учётом свойств линейности и дифференцирования получим:
(II*)4.1.3 Математические модели систем управления в пространстве состояний
МПС (Метод Пространств Состояний) применяется для исследования многомерных систем и ориентирован на использование компьютера.
В основу МПС положено понятие многомерного фазового пространства (или пространства состояний), по осям которого откладываются обобщённые фазовые координаты системы (или переменные состояния).
Состояние системы — совокупность минимального количества параметров, полностью определяющих поведение динамической системы.
4.1.3.1 Непрерывные математические модели
Математическая модель системы при этом приводится к стандартному виду (или форме Коши):
(1)Система уравнений (1) — это уравнение состояния в развёрнутой форме.
Соответствующая системе уравнений (1) структура системы:
В матричной форме систему уравнений (1) можно записать в следующем виде:
(2)Здесь X, Y — вектора соответственно состояния и управления (смотри выше):
A — матрица системы; B — матрица управления.
Уравнению состояния (2) соответствует следующая структура системы:
Система уравнений (1) и уравнение (2) соответствуют случаю, когда в качестве выходных переменных рассматриваются все переменные состояния.
В общем же случае количество выходных переменных зависит от рассматриваемой задачи и определяется линейной комбинацией переменных состояний
и входных переменных (управляющих воздействий) 
.Поэтому уравнение состояния системы в развёрнутой форме примет следующий вид:
(3)Количество выходных переменных
зависит от решаемой задачи.Системе уравнений (3) будет соответствовать следующая структура системы:
В матричной форме уравнение состояния системы выглядит так:
(4)Уравнению состояния (4) соответствует следующая структура системы:
Z(t) — вектор выхода
С — матрица системы; D — матрица управления.
Пример 1.
Записать уравнения состояния в развёрнутой и матричной формах, составить схему (структуру) системы в переменных состояния непрерывной системы, математическая модель которой следующая:
.Решение.
1. Вводим переменные состояния:
, 
, …, 
.2. Запишем уравнение состояния системы в развёрнутой форме Коши:
3. Запишем уравнение состояния в матричной форме:
4. Составляем структуру системы в переменных состояния:
Пример 2.
Смотри условие примера 1, но
.Решение.
1. Вводим переменные состояния:
, .2. Запишем уравнение состояния системы в развёрнутой форме Коши:
3. Запишем уравнение состояния в матричной форме:
4. Составляем структуру системы в переменных состояния:
Пример 3.
По структуре системы в переменных состояния записать уравнения состояния в развёрнутой и матричной формах.
1.)
2.)
3.)
4.)
Лекция №14. 01.04.2003
Передаточная функция: 
АФХ: 
 | ||
| ω | 0 | +∞ |
| A(ω) | 1 | 0 |
| φ(ω) | 0 | –  |
ЛЧХ: а) 
б)
 |  T — постоянная времени.ζ — коэффициент относительного демпфирования.η — угловая частота колебаний. |
6.4. Интегрирующее звено