Управление сложными системами (стр. 4 из 14)
2 подсистема — управляема и не наблюдаема.
3 подсистема — не управляема и наблюдаема.
4 подсистема — не управляема и не наблюдаема.
Лекция №5. 25.02.2003
Раздел 4. Математические модели систем управления
4.1. Основные виды математических моделей
Математические модели могут быть:
1.) Линейными;
2.) Нелинейными
В свою очередь каждая из них может быть:
1.) Непрерывной (система дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений);
2.) Дискретной (система разностных уравнений);
3.) Дискретно-непрерывной (сочетание непрерывной и дискретной систем).
В свою очередь каждая из них может быть:
1.) Стационарной;
2.) Нестационарной.
Математическая модель нестационарна, если хотя бы один из параметров системы изменяется с течением времени.
В свою очередь каждая из них может быть:
1.) С сосредоточенными параметрами;
2.) С сосредоточенными и распределёнными параметрами.
1.) Физические параметры системы (например, масса, скорость, потенциал и др.) обычно сосредоточены в точке (так можно считать), коэффициенты дифференциальных уравнений зависят от этих параметров. В результате, математическая модель будет, например, системой дифференциальных уравнений в полных производных (
).2.) Если система содержит одну из подсистем (например, канал связи, трубопровод), параметры которой распределены в пространстве, то математическая модель такой системы будет содержать, например, систему дифференциальных уравнений в частных производных (
).В свою очередь каждая из них может быть:
1.) Детерминированной;
2.) Стохастической или со случайными параметрами (если хотя бы один из параметров или воздействий является случайной функцией или величиной).
и др.
4.1.1 Математические модели в области вещественной переменной (временной области)
4.1.1.1 Дискретные математические модели
4.1.1.1.1 Решетчатые функции
Решетчатая функция (РФ) — функция, существующая в дискретны равноотстоящие друг от друга значения независимой переменной и равная нулю между этими значениями аргумента.
Пример такой функции:
смотри рисунок б) лекции №3.
— РФ, 
Функции f(t) соответствует функция
, 
( 
)Одной и той же РФ соответствует множество огибающих непрерывных функций (смотри рисунок выше):
— огибающие функции.Если ввести безразмерное время
, то 
будет соответствовать РФ 
. 
Решетчатую функцию характеризуют её разности и суммы
Разность может быть прямой (
) и обратной ( 
). 
.Аналогом интеграла непрерывной функции для РФ являются её суммы:
1) Полная
;2) Неполная
.4.1.1.1.2 Разностные уравнения.
Связь между решетчатой функцией и её разностями устанавливают разностные уравнения, например:
Линейное разностное уравнение
(I΄)Или через дискреты РФ:
(I)Уравнение (I) — это алгоритм решения разностного уравнения при известных начальных условиях, воздействиях y и f и дискретах искомой РФ x в предшествующие моменты времени.
Коэффициенты уравнения (I) однозначно вычисляются из уравнения (I’).
4.1.1.2 Непрерывные математические модели
Математическая модель системы может быть получена на основе математических моделей подсистем, образующих данную систему.
4.1.1.2.1 Математическая модель системы
Рассмотрим в качестве примера непрерывную стационарную одномерную детерминированную систему с сосредоточенными параметрами
Всего три подсистемы: объект
, регулятор 
и элемент сравнения 
.Объект — динамическая система, дифференциальные уравнения которой могут быть записаны следующим образом:
Х — любая линейная или нелинейная функция.
Составим уравнение регулятора:
Регулятор — также динамическая система, при этом с учётом направленности действия уравнение регулятора не будет содержать х:
Примечание. Направленность действия означает то, что объект не оказывает обратного влияния на регулятор, а только через элемент сравнения и главную обратную связь
Составим уравнение элемента сравнения:
Система уравнений
, , — это математическая модель рассматриваемой системы.В общем случае это система нелинейных дифференциальных уравнений.
4.1.1.2.2 Линеаризация математической модели
Если нелинейности системы несущественны, то ими пренебрегают, и считают модель линейной с какой-то степенью приближения.
Линейные модели используют обычно на этапе предварительного проектирования, они удобны для исследования.
Применяя соответствующий метод линеаризации, можно перейти от линейной модели к линеаризованной.
Рассмотрим один из этих методов:
он опирается на гипотезу малости отклонений “Δ”-вариаций переменных х(t), y(t), r(t), f(t),
от их значений, от их заданных или фиксированных значений “0” х0(t), y0(t), r0(t), f0(t), 
, например, в установившемся состоянии.Рассмотрим уравнение объекта
:Полагая
и 
, решения уравнения можно найти в виде 
, а уравнения в виде 
, тогда: 
Лекция №6. 26.02.2003
Если X непрерывная и однозначная функция, то её можно разложить в ряд Тейлора в окрестности некоторых точек х0 , r0 , f0 :
