Симплексный метод решения ЗЛП (стр. 2 из 5)
Данная запись означает следующее: найти экстремум целевой функции (1.1) и соответствующие ему переменные X=(X1, X2,...,Xn) при условии, что эти переменные удовлетворяют системе ограничений (1.2) и условиям неотрицательности (1.3).
Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования называется любой n-мерный вектор X=(X1, X2,...,Xn), удовлетворяющий системе ограничений и условиям неотрицательности.
Множество допустимых решений (планов) задачи образует область допустимых решений(ОДР).
Оптимальным решением(планом) задачи линейного программирования называется такое допустимое решение (план) задачи, при котором целевая функция достигает экстремума.
Каноническая форма задачи линейного программирования.
В общем случае задача линейного программирования записывается так, что ограничениями являются как уравнения, так и неравенства, а переменные могут быть как неотрицательными, так и произвольно изменяющимися.
В том случае, когда все ограничения являются уравнениями и все переменные удовлетворяют условию неотрицательности, задачу линейного программирования называют канонической.
Она может быть представлена в координатной, векторной и матричной записи.
Каноническая задача линейного программирования в координатной записи имеет вид (формула 1.4):
Z(X)=c1x1+c2x2+…+cnxn→ max (1.4)
a11x1+a12x2+…+a1nxn≤b1,a21x1+a22x2+…+a2nxn≤b2
… … … … … … … …
am1x1+am2x2+…+amnxn≤bm
xj≥0, j=1,2,…,n.
Каноническая задача линейного программирования в матричной записи имеет вид (формулы 1.5, 1.6):
Z(X)=CX → max(min), (1.5)
AX=A0, Y≥θ,
A=
, X= 
, A0= 
(1.6)Здесь:
- А — матрица коэффициентов системы уравнений
- Х — матрица-столбец переменных задачи
- Ао — матрица-столбец правых частей системы ограничений
Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме.
В большинстве методов решения задач линейного программирования предполагается, что система ограничений состоит из уравнений и естественных условий неотрицательности переменных. Однако при составлении моделей экономических задач ограничения в основном формируются в виде системы неравенств, поэтому необходимо уметь переходить от системы неравенств к системе уравнений.
Возьмем линейное неравенство a1x1+a2x2+...+anxn≤b и прибавим.
Это может быть сделано следующим образом: к его левой части некоторую величину xn+1 , такую, что неравенство превратилось в равенство a1x1+a2x2+...+anxn+xn+1=b. При этом данная величина xn+1 является неотрицательной.
1.3 Методы решения задач линейного программирования
Методы решения задач линейного программирования относятся к вычислительной математике, а не к экономике. Однако экономисту полезно знать о свойствах интеллектуального инструмента, которым он пользуется.
С ростом мощности компьютеров необходимость применения изощренных методов снижается, поскольку во многих случаях время счета перестает быть лимитирующим фактором, поскольку весьма мало (доли секунд). Поэтому мы разберем лишь три метода.
Простой перебор. Возьмем некоторый многомерный параллелепипед, в котором лежит многогранник, задаваемый ограничениями. Как его построить? Например, если имеется ограничение типа 2Х1 + 5Х2 ≤ 10, то, очевидно, 0 ≤ Х1 ≤ 10/2 = 5 и 0 ≤ Х2 ≤ 10/2 = 5. Аналогичным образом от линейных ограничений общего вида можно перейти к ограничениям на отдельные переменные. Остается взять максимальные границы по каждой переменной. Если многогранник, задаваемый ограничениями, неограничен, как было в задаче о диете, можно похожим, но несколько более сложным образом выделить его "обращенную" к началу координат часть, содержащую решение, и заключить ее в многомерный параллелепипед.
Проведем перебор точек параллелепипеда с шагом 1/10n последовательно при n=2,3,…, вычисляя значения целевой функции и проверяя наличие ограничений. Из всех точек, удовлетворяющих ограничениям, возьмем ту, в которой целевая функция максимальна. Решение найдено! (Более строго выражаясь, найдено с точностью до 1/10n).
Направленный перебор.Начнем с точки, удовлетворяющей ограничениям (ее можно найти простым перебором). Будем последовательно (или случайно - т.н. метод случайного поиска) менять ее координаты на определенную величину ∆, каждый раз в точку с более высоким значением целевой функции. Если выйдем на плоскость ограничения, будем двигаться по ней (находя одну из координат по уравнению ограничения). Затем движение по ребру (когда два ограничения-неравенства переходят в равенства)… Остановка - в вершине линейного многогранника. Решение найдено! (Более строго выражаясь, найдено с точностью до ∆ ; если необходимо, в окрестности найденного решения проводим направленный перебор с шагом ∆/2 , ∆/4 и т.д.)
Симплекс-метод. Этот один из первых специализированных методов оптимизации, нацеленный на решение задач линейного программирования, в то время как методы простого и направленного перебора могут быть применены для решения практически любой задачи оптимизации. Он был предложен американцем Г. Данцигом в 1951 г. Симплекс-метод состоит в продвижении по выпуклому многограннику ограничений от вершины к вершине, при котором на каждом шаге значение целевой функции улучшается до тех пор, пока не будет достигнут оптимум.
1.4 Общая характеристика симплекс-метода
Симплекс метод - это характерный пример итерационных вычислений, используемых при решении большинства оптимизационных задач. В вычислительной схеме симплекс-метода реализуется упорядоченный процесс, при котором, начиная с некоторой исходной допустимой угловой точки (обычно начало координат), осуществляются последовательные переходы от одной допустимой экстремальной точки к другой до тех пор, пока не будет найдена точка, соответствующая оптимальному решению (рис.1.1).
Рисунок 1.1 – Переход от одной вершины к другой
Симплекс-метод, известный также в нашей литературе под названием метода последовательного улучшения плана, впервые разработал Г.Данциг в 1947 г. Этот метод позволяет переходить от одного допустимого базисного решения к другому, причем так, что значения целевой функции непрерывно возрастают. В результате оптимальное решение находят за конечное число шагов.
Симплекс метод - универсальный метод для решения линейной системы уравнений или неравенств и линейного функционала.
Общая идея симплексного метода (метода последовательного улучшения плана) для решения ЗЛП (задачи линейного программирования) состоит:
- умение находить начальный опорный план;
- наличие признака оптимальности опорного плана;
-умение переходить к нехудшему опорному плану.
ІІ РЕШЕНИЕ ЗЛП СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ
2.1 Примеры использования симплекс-метода в экономике
Задачи ЛП нашли широкое применение в экономике. Рассмотрим это на примерах.
Пример 1. Рассматривается работа промышленного предприятия под углом зрения его рентабельности, причём приводится ряд мер с целью повышения этой рентабельности. Показатель эффективности - прибыль ( или средняя прибыль ), приносимая предприятием за хозяйственный год.
Пример 2. Группа истребителей поднимается в воздух для перехвата одиночного самолёта противника. Цель операции - сбить самолёт. Показатель эффективности - вероятность поражения цели.
Пример 3. Ремонтная мастерская занимается обслуживанием машин; её рентабельность определяется количеством машин, обслуженных в течение дня. Показатель эффективности - среднее число машин, обслуженных за день.
Пример 4. Группа радиолокационных станций в определённом районе ведёт наблюдение за воздушным пространством. Задача группы - обнаружить любой самолёт, если он появится в районе. Показатель эффективности - вероятность обнаружения любого самолёта, появившегося в районе.
Пример 5. Предпринимается ряд мер по повышения надёжности электронной цифровой вычислительной техники . Цель операции - уменьшить частоту появления неисправностей ( "сбоев" ) ЭЦВТ, или, что равносильно, увеличить средний промежуток времени между сдоями ( "наработку на отказ" ). Показатель эффективности - среднее время безотказной работы ЭЦВТ.
Пример 6. Проводится борьба за экономию средств при производстве определённого вида товара. Показатель эффективности - количество сэкономленных средств.
С помощью анализа модели на чувствительность определить параметр, от которого результат зависит больше и решить, каким способом возможно увеличение эффективности и на сколько, а так же многое другое.
Программа использования симплекс-метода предусмотрена для решения систем линейных неравенств табличным методом, а так же для попытки оптимизации различных экономических, социальных и т. д. проблем.
Симплекс-метод может применяться на государственных и частных предприятиях для улучшения эффективности производства.
2.2 Алгоритм решения ЗЛП симплексным методом
Симплекс-метод подразумевает последовательный перебор всех вершин области допустимых значений с целью нахождения той вершины, где функция принимает экстремальное значение. На первом этапе находится какое-нибудь решение, которое улучшается на каждом последующем шаге. Такое решение называется базисным.