Методика создания программы-калькулятора DMCexe (стр. 1 из 3)

MOCKOВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ(МАИ)

(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Факультет №3

«СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, ИНФОРМАТИКА И

ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКА»

каф. 308

«Информационные системы»

Пояснительная записка к курсовой работе

по теории чисел

Выполнил студент

1 курса,

группы 03-119, Злобин Д.В.

Преподаватель: доцент, к.т.н. Гридин А.Н.

Москва 2010

Задание

Разработать и отладить программу на языке Pascal (Delphi), в операционной системе Windows 7 Ultimate, выполняющую следующие функции:

1. Формирование подмножества натуральных чисел с заданными параметрами.

2. Факторизация числа с опциями.

3. Нахождение наименьшего общего кратного (НОК) и наибольшего общего делителя (НОД) заданной совокупности чисел.

4. Нахождение рациональных решений алгебраического уравнения с целочисленными коэффицентами.

5. Представление рациональной дроби в виде цепной

6. Представление цепной дроби в виде рациональной.

Содержание

1. Задание .................................................................................................................................................2 2. Содержание ..........................................................................................................................................3 3. Введение .............................................................................................................................................4 4. Математическая основа, алгоритмы .................................................................................................6 6. Интерфейс программы .......................................................................................................................7 5. Тесты ....................................................................................................................................................8

6. Заключение ........................................................................................................................................11 7. Приложения .......................................................................................................................................12

Листинг .............................................................................................................................................12

Введение

Дуальность природы (единство и борьба противоположностей, положительное и отрицательное, притяжение и отталкивание, аморфное и структурированное и т.п.) отражается и в математике, где выделяются непрерывные образования (например, множество точек на отрезке линии, на плоскости, в объеме, множество действительных чисел и т.п.) и отдельные (конечные) объекты (множество натуральных чисел, особые точки функций, логические переменные, операторы и операнды и т.п.).

Область математики, которая занимается изучением структур финитного (конечного) характера, в настоящее время обычно называют дискретной математикой в отличие от классической математики, которая в основном занимается изучением свойств объектов непрерывного характера.

В общем случае дискретная математика охватывает все произвольные дискретные структуры: алгебраические системы, графы (включая и бесконечные графы), конечные группы, вычислительные среды и проч..

Свойства изучаемого дискретной математикой объекта приводят к ряду особенностей, отличающих дискретную математику от классической.

Прежде всего, это отказ от таких понятий классической математики, как предел и непрерывность, а отсюда и малопригодность многих ее мощных средств анализа.

Другими особенностями являются:

•проблемы алгоритмической разрешимости и построение конкретных решающих алгоритмов; •исследование дискретных многоэкстремальных задач, где методы существенно использующие гладкость функции, мало эффективны (типичные примеры: построение нормальных минимальных дизъюнктивных форм; определение условий, ограничивающих полный перебор и т.п.)

Еще одна особенность дискретной математики связана с методами ее изучения. В настоящее время при изучении классической математики в высшей школе (исключая, естественно, подготовку математиков-профессионалов) имеет место склонность к «рецептурному»методу (решение задач по существующим алгоритмам или, в других случаях, по более или менее сложным моделям).

Изучение же дискретной математики, связанной, и весьма тесно, с проблемами управления и развития информационных технологий, часто направлено на создание моделей и эффективных алгоритмов. В такой ситуации математика нужна, прежде всего, как метод мышления, как язык, как средство формулирования и организации понятий. Такое владение математикой требует большей культуры: понимания важности точных формулировок и умения обходиться без них там, где это целесообразно; умения понять, что просто, что сложно, а что невозможно, ощущения связи между может быть далекими идеями и понятиями.

Таким образом, цель изучения дискретной математики состоит не только в освоении определенного набора понятий и приемов решения задач, а и в существенном повышении культуры пользования математическим аппаратом в вышеприведенном смысле.

Теория чисел — это одно из направлений математики, которое иногда называют «высшей арифметикой». Данная наука изучает натуральные числа и некоторые сходные с ними объекты, рассматривает различные свойства (делимость, разложимость, взаимосвязи и так далее), алгоритмы поиска чисел, а также определяет ряд достаточно интересных наборов натуральных чисел.

Теория чисел среди математических дисциплин выделяется скорее психологической установкой, чем предметом «целые числа». Более сильное утверждение было бы неверным: в теоретико-числовых работах исследуются и алгебраические, и трансцендентные числа; или, вообще, не числа, а скажем, аналитические функции очень специального вида {ряды Дирихле, модулярные формы); или геометрические объекты {решетки, схемы над Z). Прежде всего, целые числа образуют первичную материю математики вообще (точнее, одну из двух первичных материй; Вторая — это «фигуры», геометрия).

История элементарной теории чисел поэтому столь длинна, как история всей математики, а историю современной математики можно было бы условно начинать с того времени, когда «числа» и «фигуры» прочно объединились в идее координатизации, которая по замечанию И. Р. Шафаревича лежит в основе алгебры. Далее, целые числа как универсум идеи дискретного являются также универсумом

любых логических конструкций, в том числе любых математических рассуждений, оформленных зкак таковые. Мы подчеркиваем, что математика как акт индивидуального творчества, конечно, к логике не сводится, но в коллективном сознании нашей эпохи существует в виде потенциально завершимой огромной и точной логической конструкции. Если этот образ постоянно размывается его, так сказать, нежизненностью, то и восстанавливающие его тенденции сильны; сейчас к ним добавилась компьютерная реальность с ее чрезвычайно жесткими требованиями к логической структуре математической продукции в виде программного обеспечения. Пониманием того, что свойства целых чисел суть свойства дискретного вообще и, стало быть, свойства мира математических рассуждений, в частности, мы обязаны математике двадцатого века, в первую очередь Гёделю. При желании, это донимание может быть оформлено внутри математики в виде теоремы о том, что задача доказуемости внутри любой формальной системы равносильна задаче о разрешимости в целых числах подходящего диофантова уравнения. Этот парадоксальный факт — свидетельство того, что теория чисел, будучи малой частью математического знания, в потенции все это знание содержит. Недаром Карл Фридрих Гаусс любил говорить, что математика — царица наук, а теория чисел — царица математики.

Сама же написанная программа включает в себя набор из нескольких основных операций, которые могут понадобиться при решении более сложных задач, как из теории чисел, так и из других разделов математики.

1.2.Описание программы

DMC.exe

1. Назначение

Выполняет следующие функции:

1. Формирование подмножества натуральных чисел, объединенных общими делителями и остатком среди чисел данной размерности.

2. Факторизация числа и формирование множества его делителей и их суммы.

3. Нахождение наименьшего общего кратного (НОК) и наибольшего общего делителя (НОД) заданной совокупности чисел.

4. Нахождение рациональных решений алгебраического уравнения с целочисленными коэффицентами с использованием схемы Горнера.

5. Представление рациональной дроби в виде цепной.

6. Представление цепной дроби в виде рациональной.

1.2.Оборудование и ПО

ОС Microsoft Windows 7 Ultimate, среда программирования Borland Delphi 7.

Аппаратная часть:

Процессор: Intel Core i7-920, Видеокарта: GeForce GTX 275

Оперативная память: Kingston 3x2Gb RAM.

Математическая основа решения, алгоритмы.

1. Numerator

Эта программа выполняет формирование подмножества натуральных чисел, объединённых общими делителями и остатком среди чисел данной размерности. Для этого сначала ищется наименьщее общее кратное (НОК) делителей, далее, находится 1-е число среди необходимой размерности, которое делит-5 ся на НОК с заданным остатком. Затем, к этому числу мы прибавляем НОК и получаем 2-е число и так далее, пока не дойдем до границ размерности.

2.Factorizator

Эта программа выполняет факторизацию числа, то есть разложение его на простые сомножители, а также формирует множество этих сомножителей и считает их сумму. Для начала ищем простые числа, на которые делится заданное число, проверяем кол-во повторений ( то есть степень этого простого числа). Далее находим все делители числа и составляем из них множество. Вычисляем сумму делителей.

3.NOD_NOK

Эта программа находит наименьшее общее кратное (НОК) и наибольший общий делитель (НОД) заданной совокупности чисел, используя алгоритм Евклида. Для этого сначала мы считаем по этому алгоритму НОД 2х чисел - находим максимальное из двух, делим на 2-е с остатком, затем делим второе на полившийся остаток и так далее, пока не остаток не станет равным 0. Остаток, предшествующий остатку, равному 0 и будет НОДом. НОК находится перемножением двух исходных чисел и деление их на НОД. Далее, мы находим НОД и НОК следующего числа с НОД и НОК предыдущей двойки. Продолжаем да тех пор, пока не найдем НОД и НОК всей совокупности.