Исследование методов автоматизированного проектирования динамических систем (стр. 5 из 25)

.(2.1).

Формула (7) описывает метод Эйлера. Этот метод имеет 1-й порядок точности.

Исправленный метод Эйлера.

Возьмём значение правой части в схеме (2.1) равным среднему арифметическому между

и , то есть

.

будем считать по формуле (2.1):

.

Подставляя это значение в формулу для

получим:

(2.2)

Метод имеет 2 – й порядок точности.

Метод Рунге – Кутта.

Метод описывается системой пяти соотношений:

где

Метод имеет 4-й порядок точности.

Вышеописанные методы являются методами с постоянным шагом, кроме этих методов существует ряд методов с переменным шагом: методы с автоматическим шагом и методы прогноза и коррекции [36]. К первым относятся: выбор шага на основе оценки ошибки и выбор шага на основе сохранения точности и устойчивости. К методам прогноза и коррекции относится метод трапеций, метод Адамса, метод Милна.

Выбор шага на основе оценки погрешности.

Для практической оценки ошибки используют правило Рунге. Обозначим через

соответственно точное решение уравнения и приближенные решения вычисленные в точке x_i с шагом h и h/2. Тогда для ошибки метода интегрирования р – го порядка справедлива оценка:

(2.3)

Выбор шага на основе сохранения точности и устойчивости.

Автоматический выбор шага, конечно, проводится с целью интегрирования с размерами шагов, максимально возможными при условии сохранения необходимой точности и устойчивости.

Устойчивость вычислений в явных методах обеспечивается, если шаг выбрать по формуле:

(2.4)

где

- максимально допустимый шаг интегрирования.

При этом допустима ошибка аппроксимации

на один шаг интегрирования обычно полагается равною не больше 1% максимально возможного абсолютного значения y_max в ходе расчёта, то есть .

2.2 Разработка логической структуры ПМК

Наш программный комплекс будет проектироваться как комплекс двух программ. Задача первого – обеспечить ввод от пользователя информации о моделируемой системе в виде графа, записи её на диск. Задача второго считать информацию с диска построить по этим данным систему и промоделировать её работу. По результатам моделирования необходимо построить графики, выдать отчёты и т. д. Разработку логической структуры будем производить с помощью языка UML (Unified Modeling Language).

UML – Унифицированный язык моделирования, язык визуального моделирования для решения задач общего характера, который используется при определении, визуализации, конструировании и документировании артефактов программной системы. UML состоит из четырёх частей, описывающих различные аспекты системы: статические, динамические, организационные и относящиеся к окружению [37].

Разработку логической структуры начнём с представления использования, диаграмма, иллюстрирующая это представление – диаграмма использования. Представление использования описывает поведение системы с точки зрения пользователя. Деятельность разбивается на транзакции, которые называются вариантами использования (use cases). Вариант использования описывает взаимодействие системы с одним или несколькими действующими лицами (actors), в виде последовательности сообщений [38]. В понятие действующее лицо входят люди, компьютерные системы и процессы. Актёр – это идеализированная внешняя сущность, вступающая во взаимодействие с системой, подсистемой, или классом. Каждый актёр вступает во взаимодействие с одним или несколькими вариантами использования. Вариантом использования называется блок внешне наблюдаемой деятельности системы. Вариант использования описывает некоторую часть поведения системы, не вдаваясь при этом в особенности её внутренней структуры. В нашей модели выделим одного актёра – «Пользователь». Актёр взаимодействует с двумя системами: «Графический редактор» и «Расчёт колебательной системы». Разработанная диаграмма использования представлена на рисунке 2.4.