Исследование методов автоматизированного проектирования динамических систем (стр. 2 из 25)
Одной из проблем современной науки является разработка и внедрение в практику методов исследования функционирования сложных систем. К классу сложных систем относят технологические, производственные, энергетические комплексы, системы автоматизации управления и другие объекты. Моделирование является одним из наиболее мощных средств исследования подобных систем на сегодняшний день [30].
Моделирование - один из наиболее распространенных способов изучения различных процессов и явлений. Моделью исходного объекта называется представление объекта в некоторой форме, отличной от формы его реального существования. В инженерной практике модель обычно создается для следующих целей.
1 проведения на модели экспериментов, которые невозможно или сложно провести на реальном объекте (что предоставляет возможность получения новых знаний об объекте);
2 ускорения, удешевления, упрощения и любого другого усовершенствования процесса проектирования, достигаемого за счет работы с более простым объектом, чем исходный, то есть с моделью.
В настоящее время известны и широко используются в научных исследованиях и инженерной практике различные типы моделей и многочисленные методы моделирования. Если взять за основу степень абстрактности (степень отличия от реального объекта), то можно определить следующие типы моделей.
1 физические (натурные) модели (воспроизводят изучаемый процесс с сохранением его физической природы и являются инструментом физического моделирования);
2 аналоговые модели (заменяют один объект на другой с похожими свойствами);
3 математические модели (абстрактные модели, существуют в форме специальных математических конструкций и имеют смысл только для интерпретирующего их человека или машины).
Методы исследования динамических режимов работы оборудования можно разделить на следующие две категории: физическое и математическое моделирование.
Изучение динамики работы оборудования при физическом моделировании выполняется на модели или реальной машине путем экспериментального измерения физических параметров элементов машины во времени (скоростей, перемещений, напряжений, деформаций и др.). После их обработки строятся корреляционные зависимости связи параметров, определяется вид аппроксимирующих кривых, вырабатываются рекомендации по устранению тех или иных недостатков. Достоинством данного подхода является достаточно высокая достоверность полученных данных. Недостатки заключаются в необходимости физической модели, узкой специализации исследований, ограниченной возможности изменения конструктивных параметров объекта, достаточно высокой трудоемкости проведения экспериментов. Значительные трудности возникают при изучении критических режимов работы оборудования, вследствие возможности его поломки. В целом, метод физического моделирования служит для первоначального получения знаний и проверки теоретических исследований.
Математическое моделирование динамических систем
При математическом моделировании исследование динамики работы оборудования осуществляется на основе изучения поведения его математической модели. Построение такой модели базируется на расчетной схеме исследуемого объекта, а также принятых ограничениях и допущениях. Большинство математических моделей динамических систем представляют собой систему дифференциальных уравнений, отражающих физические процессы в объекте. Рассмотрим математическую модель гидравлического пресса на макроуровне, как гидромеханической системы [31]. В качестве её элементов выбираются функциональные узлы пресса, для которых модель описывается на основании уравнений движения масс (структурные компоненты), уравнений связи масс в единую систему (топологические компоненты) и принципа Даламбера. В общем случае такая модель имеет вид:
( 1.1)где
‑масса iго элемента; 
, 
, 
‑перемещение, скорость и ускорение iго элемента; 
- жёсткость kго элемента; t - время; 
- обобщенная сила, действующая на iый элемент.На рисунке 1.2 приведена типичная расчётная схема гидравлического пресса. Расчётная схема представлена колебательной системой с одной степенью свободы.
Рисунок 1.2 – Пример расчётной схемы гидравлического пресса
Колебательная система состоит из трёх масс – М1, М2, М3; и из трёх элементов на расчётной схеме представленными пружинами с соответствующими жестокостями: Cфундамента, Cпоковки, Cколоп. Система дифференциальных уравнений описывающих данную модель будет выглядеть следующим образом:
(1.2)В зависимости от сложности описания динамической системы можно условно выделить два направления изучения происходящих в ней процессов: аналитическое и численное [31,32]. При решении конкретных задач, в случае невозможности получения точного аналитического решения при учёте всех существенных факторов, принимается целый ряд допущений, отражающихся на адекватности модели. Например, при моделировании работы гидравлических прессов, в большинстве случаев, силы, действующие на элементы конструкции, полагаются постоянными во времени, не учитываются изменения жёсткости, зазоры, волновые процессы в гидросистеме (т.к. это повлекло бы за собой необходимость совместного решения системы дифференциальных обычных и волновых уравнений в частных производных) В таком случае аналитическое решение системы (1.3) можно представить в виде:
(1.3)где параметры
и 
определяются начальными условиями вида: 
.Следует отметить, что хотя такой метод и дает достаточно точное аналитическое решение, но на практике его применение ограничено моделированием достаточно простых объектов, содержащих максимум три‑четыре элемента [33,34].
Численные методы решения систем дифференциальных уравнений
Рассмотрим методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (далее ОДУ) первого порядка с одним начальным условием. Это так называемая задача Коши: найти частное решение
ОДУ 
,(1.4) удовлетворяющее начальному условию [35]: 
. (1.5)Эти методы легко обобщаются на системы уравнений первого порядка. Кроме того, уравнения более высоких порядков можно свести к системе ОДУ первого порядка. Например, изменяя в уравнении
y на y1, а y’ на y2, получим систему: 
(1.6)Наиболее распространенными являются методы конечных разностей (МКР) [36]. В разностных методах вводится последовательность точек
и шаг 
В каждой точке xi, называемой узлом вместо значений функции y(xi) вводят числа yi, которые аппроксимируют точное решение y на данном множестве точек. Функцию y, заданную в виде таблицы 
I=0,1,2,…, называют сеточной функцией.Изменяя значение производной в уравнении (1.5) отношением конечных разностей, осуществляют переход от дифференциальной задачи (1.5), (1.6) к разностной как то сеточной функции y:
. (1.7)Конкретное выражение правой части (1.7) зависит от способа аппроксимации производной, и функция F определяет вычислительную схему метода.
Можно привести такую классификацию методов. Если r=0 и
, то численный метод называется одношаговым, если 
или s>1 , то многошаговым.Многошаговые и одношаговые методы называются явными, если s=0, и неявными, если
. [36].1.3 Анализ программных продуктов для моделирования динамики систем
С развитием вычислительной техники всё большее распространение получают численные методы математического моделирования. Эффект от такого подхода проявляется в сокращении сроков и удешевлении проектирования машин, повышении их надежности. Математическое моделирование на ЭВМ динамики машин является эффективным методом исследования, позволяющим оперативно оценить влияние на рабочий процесс любых факторов, в том числе и конструктивных, которые достаточно сложно промоделировать иным способом. Основная трудность при этом заключается в создании качественного программного обеспечения (ПО), включающего общие вычислительные алгоритмы, ориентированные на целый класс прикладных задач. Ранее, по причине ограниченных вычислительных возможностей ЭВМ и преобладания процедурного программирования, ПО было узкоориентировано на моделирование конкретной машины, что требовало значительных затрат на разработку [5].