Аппроксимация МНК (стр. 1 из 4)
Оглавление
Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов. 6
Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. 9
Блок-схема алгоритма программы на языке Pascal 11
Описание решения задачи в среде MathCAD.. 19
Результаты вычислений и их анализ. 20
Аппроксимация (от латинского "approximate" -"приближаться")- приближенное выражение каких-либо математических объектов (например, чисел или функций) через другие более простые, более удобные в пользовании или просто более известные. В научных исследованиях аппроксимация применяется для описания, анализа, обобщения и дальнейшего использования эмпирических результатов.
Как известно, между величинами может существовать точная (функциональная) связь, когда одному значению аргумента соответствует одно определенное значение.
При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачи исследования. Обычно, чем более простое уравнение используется для аппроксимации, тем более приблизительно получаемое описание зависимости. Поэтому важно считывать, насколько существенны и чем обусловлены отклонения конкретных значений от получаемого тренда. При описании зависимости эмпирически определенных значений можно добиться и гораздо большей точности, используя какое-либо более сложное, многопараметрическое уравнение. Однако нет никакого смысла стремиться с максимальной точностью передать случайные отклонения величин в конкретных рядах эмпирических данных. Выбирая метод аппроксимации, исследователь всегда идет на компромисс: решает, в какой степени в данном случае целесообразно и уместно «пожертвовать» деталями и, соответственно, насколько обобщенно следует выразить зависимость сопоставляемых переменных. Наряду с выявлением закономерностей замаскированных случайными отклонениями эмпирических данных от общей закономерности, аппроксимация позволяет также решать много других важных задач: формализовать найденную зависимость; найти неизвестные значения зависимой переменной путем интерполяции или, если это допустимо, экстраполяции.
Целью данной курсовой работы является изучение теоретических основ аппроксимации табулированной функции методом наименьших квадратов, и, применяя теоретические знания, нахождение аппроксимирующих полиномов. Нахождение аппроксимирующих полиномов в рамках данной курсовой работы следует путем написания программы на языке Pascal, реализующую разработанный алгоритм нахождения коэффициентов аппроксимирующего полинома, а также решить эту же задачу средствами MathCad.
В данной курсовой работе программа на языке Pascal разработана в оболочке PascalABC версия 1.0 beta. Решение задачи в среде MathCad производили в Mathcad версия 14.0.0.163.
Постановка задачи
В данной курсовой работе необходимо выполнить следующее:
1. Разработать алгоритм нахождения коэффициентов трёх аппроксимирующих полиномов (многочленов) вида
для табулированной функции y=f(x): | x | 0,15 | -0,01 | 0,46 | 1,71 | 3,94 | 7,4 | 12,41 | 19,47 | 29,21 | 42,49 |
| f(x) | 7,26 | 7,95 | 8,77 | 9,72 | 10,78 | 12,45 | 14,74 | 18,18 | 23,36 | 30,99 |
| x | 60,43 | 84,42 | 116,18 | 157,8 | 211,78 | 281,04 | 369 | 479,59 | 617,3 | 787,21 |
| f(x) | 41,97 | 57,38 | 78,45 | 106,65 | 143,64 | 191,28 | 251,71 | 327,27 | 420,58 | 534,52 |
| x | 995,04 | 1247,17 | 1550,71 | 1913,5 | 2344,18 | 2852,21 | 3447,91 | 4142,52 | 4948,19 | 5878,09 |
| f(x) | 672,24 | 837,2 | 1033,14 | 1264,13 | 1534,54 | 1849,11 | 2212,91 | 2631,36 | 3110,26 | 3665,8 |
| x | 995,04 | 1247,17 | 1550,71 | 1913,5 | 2344,18 | 2852,21 | 3447,91 | 4142,52 | 4948,19 | 5878,09 |
| f(x) | 672,24 | 837,2 | 1033,14 | 1264,13 | 1534,54 | 1849,11 | 2212,91 | 2631,36 | 3110,26 | 3665,8 |
| x | 6946,36 | 8768,24 | 9560,03 | 11139,19 | 12924,34 | 14935,29 | 17193,14 | 19720,24 | 22540,29 | 25678,32 |
| f(x) | 4274,55 | 4973,5 | 5760,63 | 6641,98 | 7627,6 | 8725,62 | 9945,22 | 11296,05 | 12788,24 | 14432,44 |
для степени полиномов n=2, 4, 5.
2. Построить блок-схему алгоритма.
3. Создать программу на языке Pascal, реализующую разработанный алгоритм.
4. Рассчитать среднеквадратичные отклонения для каждого из трех случаев по формуле:
5. Построить графики 3-х полученных приближающих функций в одной системе координат. На графике должны содержаться и исходные точки (хi,yi).
6. Решить задачу средствами MathCAD.
Результаты решения задачи с помощью созданной программы на языке Pascal и в среде MathCAD нужно представить в виде построенных с помощью найденных коэффициентов трёх полиномов; таблицы, содержащей полученные с помощью найденных полиномов значения функции в точках хi и среднеквадратичных отклонений.
Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов
Очень часто, особенно при анализе эмпирических данных возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами x и y , которые получены в результате измерений.
При аналитическом исследовании взаимосвязи между двумя величинами x и y производят ряд наблюдений и в результате получается таблица значений:
| x |  |  | ¼ |  | ¼ |  |
| y |  |  | ¼ |  | ¼ |  |
Эта таблица обычно получается как итог каких-либо экспериментов, в которых (независимая величина) задается экспериментатором, а получается в результате опыта. Поэтому эти значения будем называть эмпирическими или опытными значениями.
Между величинами x и y существует функциональная зависимость, но ее аналитический вид обычно неизвестен, поэтому возникает практически важная задача - найти эмпирическую формулу
(1)
(где 
- параметры), значения которой при 
возможно мало отличались бы от опытных значений 
.