Курс лекций по линейному программированию (стр. 4 из 6)
Опорный план вырожденный, если число положительных компонент строго меньше n+m-1
Т.к. ТЗ является задачей линейного программирования, то её можно решать симплекс-методом, при специальном представлении данных, называемой транспортной таблицей.
В таблицу заносят значения ненулевых поставок (xij>0) и такие клетки называются «занятыми» остальные – свободными.
Сопоставление исходного опорного плана:
Метод наименьших переменных.
Выбираем клетки с наименьшим тарифом и в эту клетку помещаем поставку xij=min(Ai,Bj) по минимальному тарифу перевозится максимальное количество продукта.
Получился вырожденный опорный план. Прежде, чем переходить к проверке плана на оптимальность следует сделать его невырожденным. Для этого обычно в свободной клетке ставят 0 и эта клетка считается занятой и таких нулей должно быть столько, сколько не хватает занятых клеток до невырожденного опорного плана. Но при этом формировать занятые клетки необходимо так, чтобы не образовалось цикла.
Проверка плана на оптимальность.
Определение: циклом называют замкнутую ломаную линию, звенья которой взаимно перпендикулярны и проходят только вдоль строк и столбцов и удовлетворяют условиям:
1. две и только две занятые клетки должны находится в одной строке и одном столбце, в котором данная линя осуществляет поворот на 90о
2. последняя занятая клетка находится в одной строке или одном столбце с первой. Клетки в которых цикл осуществляет поворот, называется клеткой цикла или вершиной. Т.к. цикл строится для каждой свободной плоскости, то он единственный и клетками цикла будет одна свободная, а остальные занятые.
3. если ломаная линия, образующая цикл пересекается, то клетки самопересечений не являются клетками цикла, если же она проходит через занятую клетку, но в ней нет поворота, то она не является клеткой цикла.
При построении цикла руководствуются следующими правилами:
1. никакая последовательность занятых клеток не образует цикл (необходимое условие существования цикла).
2. в каждой свободной клетке цикл единственный
3. виды циклов:
Каждой клетке цикла соответствует коэффициент целевой функции сij.
Пусть для свободной клетки ij построен цикл. Расставим чередующиеся знаки + и – начиная с – свободной клетки на которой цикл строится и осуществляется обход цикла. Подсчитаем сумму тарифов клеток цикла, который назовём оценкой свободных клеток ij. Свободные клетки – аналог небазисных векторов.
Первая транспортная теорема.
Для любой ТЗ оценка свободных клеток ij- элементов индексной строки симплекс-таблицы (соотв. ij небазисному вектору) и численно = zij-cij.
Опираясь на эту теорему рассчитаем индекс стока, т.к. ТЗ – задача на минимум, то критерий отрицательный:
- план оптимальный, если все оценки свободных клеток не положительны
- оптимальный план называется вырожденным (условие не единственности оптимального плана) если среди оценок свободных клеток есть 0, то на основании второй транспортной теоремы строится оптимальный план, отличный от данного. Значение целевой функции которое будет такое же. Если среди оценок свободных клеток есть положительные, то план не оптимален, переход к новому плану осуществляется путем выбора небазисного вектора, который вводится в базис путем некоторого базиса.
Вторая транспортная теорема.
Для построения нового опорного лана ТЗ необходимо:
1. определить свободную клетку с максимальной положительной оценкй.
2. для данной клетки строится цикл и расставляются знаки – и +
3. среди поставок положительных клеток цикла выбираются минимальные из поставок положительных клеток.
Такое перераспределение приводит к новому основному плану.
Замечание: если минимальная поставка положительной клетки находится в двух или более клетках, то при перераспределении и получается вырожденный опорный план и в этом случае прежде чем переходить, следует сделать его невырожденным.
Метод потенциалов
Он основан на вычислении для каждого пункта отправления и назначения особых числовых показателей, называемых потенциалами.
Определение: числа
называются потенциалами если выполняются условия:х*={xij}-оптимальный план, то для занятых клеток выполняется
хij>0 Vj-Ui=Cij (*)
xij=0 Vj-Ui=Cij (**)
(c ij-тариф)
В этом случае Δij=Vj-Ui-Cij
Алгоритм:
1. находит базисное решение
2. из условия (*) вычисляем все потенциалы, но т.к. потенциалов m+n, а значений m+n-1, то система неопределенна и для получения единственного рения обычно полагают U1=0.
3. после определения потенциалов проверяют условие (**) для свободных клеток, если оно выполняется, то план оптимален, иначе вычисляют оценку Δij среди них выбирают наибольшую положительную и переходят к новому опорному плану, согласно второй транспортной теореме.
Лекция № 5: « Теория игр».
Если имеется несколько конфликтующих сторон, интересы которых не совпадают или полностью противоположны и каждая из которых принимает решение, определенное данным набором правил и каждой из сторон известно возможное конечное состояние конфликтной ситуации с заранее определенными для каждой сторон платежами, то говорят, что имеет место игра.
Задача теории игр: выбор такой стратегии поведения каждого их игроков, отказ от которой может лишь уменьшить его выигрыш.
Ситуация называется конфликтной, если в ней участвуют стороны, интересы которых противоположны.
Игра – это реальный или формальный конфликт, в котором есть 2 участника, каждый из которых стремится к достижению своих целей.
Допустимые действия игроков – правила игры.
Количественная оценка результатов игры – платеж.
Игра парная, если участвуют две стороны и множественная в противном случае.
Под ходом в игре понимается выбор одного из предложенных правилами игры действий и его реализация.
Однозначное описание выбора игрока каждой из возможных ситуаций, при которой он должен сделать ход называется стратегией.
Стратегия оптимальна, если при многократном повторе игры она обеспечивает игроку максимально возможный выигрыш (минимально возможный проигрыш), один из которых может выиграть i-ую стратегию из m возможных стратегий, а второй не зная выбора первого, выбирает j-ую стратегию из n возможных. В результате полагают, что первый игрок выигрывает величину Аij а второй проигрывает эту же величину.
Сопоставим матрицу, которая называется матрицей игры
Строки – стратегии первого игрока, столбцы – второго.
Эта матрица – матрица резервов игры. В зависимости от выбора игроками своих стратегий
Игра размерностью mxn
Число α=max(min aij) называется нижней ценой игры. Это максимум из минимума по строкам.
Число β=mn(max aji) – минимум из всех максимумов, взятых по столбцам. Верхняя цена игры.
Для любой игры нижняя цена не превосходит верхнюю.
Если α=β=V, то игра называется определенной или игрой с седловой точкой:
Нахождение решения состоит в выборе максимальной (для первого игрока) и минимальной (для второго игрока) стратегии.
Содержательно: седловая точка – это элемент платежной матрицы, который является одновременно минимальным в строке и максимальным в столбце (их может быть несколько, но они образуют (если их соединить линиями) прямоугольник по вершинам).
Если игра не имеет Седловых точек, то для её решения используют смешанные стратегии.
Смешанная стратегия - это вектор, каждая компонента которого показывает относительную частоту использования игроком соответствующей чистой стратегии называется смешенной стратегией данного игрока.
Чистая стратегия – это стратегия, обусловленная заранее выбранной игроками. Чистая стратегия у каждого игрока конечна (у первого игрока n, у второго m).
Обычно, в случае решения игры в свешанных стратегиях х*=(х1*, … , хn*) у*=(у1*, … , уm*), где х*, у* - оптимальные смешенные стратегии, 1-ого и 2-ого игроков соответственно. Под выигрышным понимается величина
-
максимальный выигрыш математического ожидания.
Теорема Неймана:
Всякая конечная матричная игра имеет решение в смешенных стратегиях.
Решение в смешенных стратегиях означает выбор предпочтений при принятии решений в каждой ситуации, где это требуется.
Критерий оптимальности – для того чтобы V* было ценой игры, а х* и у* были оптимальными стратегиями первого и второго игрока соответственно, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
Теорема 2: если один из игроков применяет смешенную оптимальную стратегию, то его выигрыш равен цене игры, независимо от того, какими частотами будет применять второй игрок стратегии, вошедшие в оптимальную ( в т.ч. чистые).
Решение игр с помощью ЛП путем сведения игры к решению пары двойственных задач.
Подход к определению решения игры в смешенных стратегиях основывается на критериях минимума. Первый игрок выбирает хi так, чтобы максимизировать наибольший ожидаемый выигрыш по столбцам, а второй игрок выбирает уj так, чтобы минимизировать ожидаемый проигрыш по строкам.
Математически это выражается:
первый игрок выбирает стратегию хi, дающую max{min ∑aijуj ∑amjyj}, а второй игрок выбирает стратегию уj, дающую min{max ∑aijxi ∑ainxi}.