Автоматизированное проектирование системы управления технологическим процессом производства цем (стр. 6 из 14)

Между дисперсией случайного процесса и корреляционной функцией существует прямая связь – дисперсия случайного стационарного процесса равна значению корреляционной функции. Статистические свойства связи двух случайных процессов X (t) и G(t) можно охарактеризовать взаимной корреляционной функцией R_xg (t₁, t₂). Взаимная корреляционная функция R_xg (τ) характеризует взаимную статистическую связь двух случайных процессов X (t) и G(t) в разные моменты времени, отстоящие друг от друга на промежуток времени τ.

Если случайные процессы X (t) и G(t) статистически не связаны друг с другом и имеют равные нулю средние значения, то их взаимная

том, что если взаимная корреляционная функция равна нулю, то процессы невзаимосвязаны, можно сделать вывод лишь в отдельных случаях (в частности, для процессов с нормальным законом распределения), общей же силы обратный закон не имеет.

Анализируя свойства корреляционной функции можно сделать вывод: чем слабее взаимосвязь между предыдущим X (t) и последующим X (t+τ) значениями случайного процесса, тем быстрее убывает корреляционная функция R_x (τ). Случайный процесс, в котором отсутствует связь между предыдущими и последующими значениями, называют чистым случайным процессом или белым шумом. В случае белого шума время корреляции τ_R = 0 и корреляционная функция представляет собой δ-функцию.

При исследовании автоматических систем управления удобно пользоваться еще одной характеристикой случайного процесса, называемой спектральной плотностью. Спектральная плотность S _x (ω) случайного процесса X (t ) определяется как преобразование Фурье корреляционной функции R_x (τ). Физический смысл спектральной плотности состоит в том, что она характеризует распределения мощности сигнала по частотному спектру.

В пакете System Identification Toolbox имеется четыре функции cra, etfe, covf, и spa непараметрического оценивания совокупности экспериментальных данных. Функция cra выполняет расчет авто- и взаимных корреляционных функций, оценку импульсной характеристики методом корреляционного анализа для одномерного объекта массива экспериментальных данных. Написание этой функции следующее:

cra(z);

[ir,R,cl] = cra(z, M, na, plot);

cra(R)

Аргументы:

· z – матрица экспериментальных данных вида z = [y2 u2], где y2 - вектор – столбец, соответствующий выходным данным;

· u2 - вектор – столбец, соответствующий входным данным;

· М – максимальное значение дискретного аргумента для которого производится расчет оценки импульсной характеристики (по умолчанию М = 20);

· na – порядок модели авторегрессии (порядок многочлена), которая используется для расчета параметров отбеливающего фильтра (по умолчанию na = 10). При na = 0 в качестве идентифицирующего используется не преобразованный входной сигнал;

· Если plot = 0, то график отсутствует, если plot = 1, то график полученной оценки импульсной характеристики вместе с 99% - м доверительным коридором, если plot = 2, то выводятся графики всех корреляционных функций.

Возвращаемые величины:

ir – оценка (вектор значений) импульсной характеристики; R – матрица, элементы первого столбца которой – значения дискретного аргумента, элементы второго столбца – значения оценки автокорреляционной функции выходного сигнала, элементы третьего столбца – значения оценки автокорреляционной функции входного сигнала, элементы четвертого столбца – значения оценки взаимной корреляционной функции.

Для примера сушилки шликера эти величины имеют следующие значения:

М и na приняты по умолчанию [], [].

>> [ir,R,cl]=cra(zdan,[],[],2)

ir =

0.0134

0.1469

0.2256

0.1864

0.0956

0.0634

0.0457

0.0168

0.0066

0.0053

0.0046

0.0029

0.0068

-0.0068

-0.0099

-0.0099

-0.0017

0.0058

0.0150

0.0053

0.0081

R =

-20.0000 0.0011 0.0015 -0.0123

-19.0000 0.0015 -0.0021 -0.0221

-18.0000 0.0017 0.0007 -0.0370

-17.0000 0.0017 0.0069 -0.0287

-16.0000 0.0013 0.0123 0.0080

-15.0000 0.0005 0.0074 0.0289

-14.0000 -0.0003 0.0051 0.0470

-13.0000 -0.0010 0.0092 0.0236

-12.0000 -0.0018 -0.0070 0.0419

-11.0000 -0.0019 0.0064 0.0221

-10.0000 -0.0010 -0.0008 0.0000

-9.0000 -0.0005 0.0004 -0.0054

-8.0000 0.0001 0.0005 0.0018

-7.0000 0.0011 -0.0003 -0.0124

-6.0000 0.0031 0.0001 -0.0299

-5.0000 0.0065 0.0005 -0.0161

-4.0000 0.0110 0.0001 -0.0167

-3.0000 0.0163 -0.0001 0.0021

-2.0000 0.0261 -0.0007 0.0152

-1.0000 0.0393 0.0001 0.0259

0 0.0479 0.2477 0.0304

1.0000 0.0393 0.0001 0.3341

2.0000 0.0261 -0.0007 0.5129

3.0000 0.0163 -0.0001 0.4239

4.0000 0.0110 0.0001 0.2174

5.0000 0.0065 0.0005 0.1442

6.0000 0.0031 0.0001 0.1040

7.0000 0.0011 -0.0003 0.0382

8.0000 0.0001 0.0005 0.0150

9.0000 -0.0005 0.0004 0.0121

10.0000 -0.0010 -0.0008 0.0105

11.0000 -0.0019 0.0064 0.0066

12.0000 -0.0018 -0.0070 0.0154

13.0000 -0.0010 0.0092 -0.0155

14.0000 -0.0003 0.0051 -0.0225

15.0000 0.0005 0.0074 -0.0224

16.0000 0.0013 0.0123 -0.0038

17.0000 0.0017 0.0069 0.0131

18.0000 0.0017 0.0007 0.0341

19.0000 0.0015 -0.0021 0.0119

20.0000 0.0011 0.0015 0.0185

cl =

0.0343

На рис. 2. 3 приведены результаты расчета автокорреляционной функции выходного сигнала (Covf for filtered y); автокорреляционной функции входного сигнала (Covf for prewhitened u); взаимная корреляционная функция (Correlation from u to y); импульсная характеристика (Impulse response estimate).