Образующие элементы в различных группах (стр. 6 из 7)
2.1.1. Бесконечная циклическая группа
Теперь мы построим граф бесконечной циклической группы. Циклическая группа определялась тем свойством, что все ее элементы можно выразить как степени одного образующего элемента а. Группа, порожденная элементом а, конечна, если существует положительное целое число n, такое, что аn = I. Если такого положительного целого числа не существует, то каждая следующая степень элемента а представляет собой новый элемент группы, и в таком случае циклическая группа будет бесконечной. Бесконечная аддитивная группа <…>представляет собой пример такой группы.
Конечную циклическую группу можно связать с самосовмещениями правильного n-угольника на плоскости и прийти к соответствующей диаграмме Кэли. Чтобы построить граф бесконечной циклической группы, нам также будет удобно опираться на некоторое геометрическое представление. Рассмотрим прямую линию, разделенную на равные интервалы, скажем, длины 1, и ее самосовмещения, которые сдвигают эту линию вдоль самой себя на одну или несколько единиц вправо или влево. Множество всех таких самосовмещений есть бесконечная циклическая группа, порожденная сдвигом на единицу вправо. Диаграмма Кэли этой группы представлена на рис. 2.1.6.
Примечания
1) Естественным образом обобщив наши предыдущие обозначения, мы обозначим бесконечную циклическую группу через С¥.
2) Ясно, что за I можно взять любую вершину.
3) Снова мы видим, что в каждой вершине сходятся два направленных отрезка. Движение от вершины вдоль отрезка в направлении, указанном стрелкой, соответствует умножению справа на образующую а; движение в направлении, противоположном указанному стрелкой, соответствует умножению справа на а–1.<…>
2.1.2. Группа с двумя образующими
Таблица умножения группы самосовмещений равностороннего треугольника является примером группы с двумя образующими: вращением r и опрокидыванием f. Элементами этой группы <…> являются
I, r, r2
f, fr, fr2,
где каждый элемент первой строки получается из соседнего слева (справа) умножением справа на r (или r–1), а элементы второй строки получаются из элементов первой умножением слева на f. Это наводит на мысль, что для графа этой группы надо использовать два треугольника, соединенные отрезками, соответствующими образующей f (рис. 2.1.7).
Мы отличаем на графе образующую r от образующей f, используя непрерывную линию для умножения на r и пунктирную для умножения на f. Сам Кэли предлагал различные образующие выделять различными цветами и называл этот процесс графического представления методом цветных групп.
В качестве следствия того факта, что рассматриваемая группа имеет две образующие, мы получаем, что любой путь нашего графа может быть описан последовательностью, содержащей лишь символы из множества
r, f, r–1, f–1.
Примерами таких последовательностей являются
rfr–1f–1иrf–1rf–1r1,
которые мы, как и раньше, будем называть словами. Конечно, каждое слово от образующих и их обратных является элементом группы или, говоря точнее, представляет элемент группы.
Произведение любых двух элементов, определенное с помощью таблицы умножения этой группы <…>, совпадает с произведением, полученным с помощью графа, изображенного на рис. 6.7. Чтобы, например, проверить равенство rf = fr2, пройдем сначала r-отрезок, выходящий из I, а затем f-отрезок, входящий в вершину, помеченную символом fr2 (рис. 2.1.8). Путь на рис. 2.1.9 показывает, что frrf = r.
2.2. Основные свойства графа группы
Наши примеры графов различных групп имеют некоторые общие существенные свойства.
Элементы группы находятся во взаимно однозначном соответствии с вершинами графа. Каждая вершина графа соответствует в точности одному элементу группы, и наоборот.
Каждое ребро графической сети есть направленный отрезок, и отрезки одного «цвета» связаны с одной и той же образующей группы. Движение, начинающееся в некоторой вершине, вдоль отрезка в направлении, указанном стрелкой, соответствует умножению справа на связанный с этим отрезком образующий элемент (назовем его а), в то время как движение вдоль отрезка в направлении, противоположном указанному стрелкой, соответствует умножению справа на а–1 — элемент, обратный к образующей. Например, если А, В и С на рис. 2.2.1 суть вершины графа, соответствующие элементам х, y и z некоторой группы соответственно, то движение от В к С отвечает умножению элемента у на а, так что уа–1= z, а движение от В к A отвечает умножению элемента у на а–1, т.е. у а–1 = х.
Каждое слово, представляющее элемент группы, можно интерпретировать как путь, или некоторую последовательность направленных отрезков графа, и наоборот. В каждой вершине пути, соответствующего некоторому слову, очередное движение определяется следующим сомножителем в слове. Так как любой сомножитель — это или одна из образующих, или элемент, обратный к образующей, то каждая вершина является концевой точкой двух направленных отрезков одинакового «цвета» — одного, направленного к вершине, и другого, направленного от нее. Если группа имеет две образующие, а и b, то в каждой вершине сходятся четыре ребра, так как четыре элемента a, a–1, b, b–l соответствуют четырем возможным движениям, начинающимся в этой вершине. Вообще в каждой вершине есть одно «входящее» и одно «исходящее» ребро для каждой образующей.
Умножение двух элементов группы соответствует прохождению на графе пути, составленного из двух последовательных путей. Произведение rs = t элементов r и sгруппы можно интерпретировать как путь в графе, который строится следующим образом. Запишем r и s как слова от образующих и их обратных. Выходя из вершины, соответствующей элементу I, пройдем путь, описанный словом, определенным элементом r. Конечная точка этого пути соответствует элементу r. Теперь, принимая за начальную точку r-вершину[23] (т.е. вершину, соответствующую элементу r), пройдем путь, описанный словом, соответствующим элементу s. Этот путь закончится в вершине, соответствующей элементу t = rs, вне зависимости от того, какие слова используются для представления элементовrи s.
Любое слово, представляющее элемент I, соответствует замкнутому пути на графе. Предположим, что W — слово, представляющее элемент I. Например, в группе самосовмещений равностороннего треугольника за W можно взять frfr. Если принять вершину, соответствующую элементу I, за начальную точку, то путь, определяемый словом W, окончится в I-вершине. Мы называем путь замкнутым, если его начальная и конечная точки совпадают. Если за начальную точку взята вершина, соответствующая элементу t, отличному от I, то путь, заданный словом W, окончится в t-вершине, так как tW — t. Таким образом, если W — слово, представляющее элемент I, то путь, определяемый этим словом, будет замкнутым вне зависимости от того, какая точка принята за начальную. Таким образом, граф группы обладает некоторым свойством однородности.[24] (Произвольный граф называется однородным степени n если в каждую его вершину входит и из каждой его вершины выходит одинаковое число направленных отрезков, равное n. Граф группы будет однородным графом в этом смысле). Из этого свойства графа группы следует, что его вершины можно пометить так, чтобы любая наперед заданная вершина соответствовала элементу I.<…>
Граф группы является связной сетью, т.е. существует путь из любой вершины в любую другую вершину. Если r и s — два произвольных элемента группы, то существует элемент х = r–ls, такой, что rx = s <…>. Ясно, что если W — произвольное слово, представляющее элемент х = r–1s, то rW = s; таким образом, если вершина, соответствующая элементу r, взята за начальную точку, то путь, описанный словом W, ведет от r-вершины к s-вершине.