Образующие элементы в различных группах (стр. 5 из 7)
Она представляет собой циклическое повторение основной серии а, а2, I. Именно по этой причине данная группа — циклическая.
3. Группа целых чисел (по сложению) тоже является циклической — она порождается одним из своих элементов: ведь 2 = 1 + 1, 3 = (1 + 1)+ 1, — 1 есть элемент, противоположный к 1, и т.д. Эта группа является бесконечной циклической группой; обозначается она символомС∞[19].
Замечание
Обычно мы будем использовать для обозначения циклической группы букву С, а ее порядок обозначать числом в нижнем индексе. Таким образом, С3 обозначает циклическую группу порядка 3, а Сn — циклическую группу порядка n.[20]
Таким образом, мы определили понятие циклической подгруппы Н(а), порожденной некоторым элементом а данной группы G.
Замечание
Всякая циклическая группа, коммутативна.
Доказательство
Поскольку в группе Н(а)
ар∙аq = ар+q = аq +p = аq∙ар.
то группа Н(а) коммутативна.[21]
Бесконечная циклическая группа
Циклическая группа определяется тем свойством, что все ее элементы можно выразить как степени одного образующего элемента а. Выяснили, что группа, порожденная элементом а, конечна, если существует положительное число n, такое, что аn = I. Если же такого положительного целого числа не существует, то каждая следующая степень элемента а представляет собой новый элемент группы, и в таком случае циклическая группа будет бесконечной.
Примеры
1. Конечной циклической группой порядка n является мультипликативная группа корня n-ой степени из единицы, n = 1, 2, …
2. Бесконечной циклической группой является аддитивная группа целых чисел, ее образующим элементом является число 1.
Пример бесконечной циклической группы показывает, что из конечности числа образующих не следует конечность самой группы.
Теорема
В циклической группе G = {а} порядка n в качестве образующего элемента можно взять элемент ak, 0 ≤ k< n, тогда и только тогда, если k и n взаимно просты.
Доказательство
Действительно, если (k, n) = 1, то существует такие u и v, что
ku + nv = 1.
Тогда
(аk)u = а1 – nv = а ∙ а–nv = а.
Если, с другой стороны, при некотором k будет (аk)s= а, то разность показателей ks– 1 должна делится на n.
ks– 1 = nq,
откуда ks– nq = 1, т.е. (k,n) = 1. Что и требовалось доказать.[22]
ГЛАВА 2. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУПП
Одними из ключевых вопросов теории групп являются вопросы задания и построения конкретной группы или некоторого их класса. В предыдущей главе были приведены способы задания различных групп. Пожалуй, самым интересным и довольно наглядным способом задания групп является так называемое графическое представление, т.е. с помощью графов. А понятие образующей группы играет здесь основную роль при переходе к осуществлению графического представления групп. Остановимся подробней на данном вопросе.
Если элемент а порождает циклическую группу Сn, то последовательность степеней элемента а представляет собой циклическое повторение основной серии а, а2, ..., аn = I. Это свойство допускает геометрическую интерпретацию, которая в свою очередь приводит к осуществлению нашей цели — построению графического представления группы. Например, циклическая группа порядка 3 (из примера главы 1 о циклических группах) наводит на мысль о треугольнике, каждая вершина которого соответствует элементу группы (рис. 2.1).
Рис.2.1
Каждой стороне треугольника приписано направление, которое указано стрелкой. Движение в направлении, указанном стрелкой, соответствует умножению справа на образующий элемент а группы. Таким образом, отправляясь из вершины, помеченной символом а2, передвинуться в направлении, указанном стрелкой, к вершине I — это все равно, что образовать произведение а2а = а3 = I. Движение в направлении, противоположном указанному стрелкой, соответствует умножению справа на элемент а–1, обратный к образующей а. Например, отправляясь из вершины, помеченной символом а2, передвинуться в направлении, противоположном указанному стрелкой, направленной к этой вершине, — это все равно, что образовать произведение а2 а–1 = aa а–1 = a.
Возникает предположение, что многоугольник, сторонам которого приписано направление, можно рассматривать как геометрический эквивалент циклической группы, или граф циклической группы. Давайте посмотрим, что мы знаем об основных свойствах группы и как они отражаются в только что предложенной геометрической интерпретации.
Если а — образующая циклической группы, то по определению каждый элемент может быть представлен как произведение сомножителей а и а–1. Обратно, любое произведение сомножителей а и а–1 есть элемент группы. Рассмотрим, например, произведения
а,аа а–1, а–1аа а–1а
ясно, что все три произведения представляют собой один и тот же элемент группы.
По очевидной аналогии мы назовем конечную последовательность образующих и их обратных словом. Тогда каждому слову, составленному из символов а и а–1 (как мы будем говорить, «слову от символов а и а–1»), соответствует элемент циклической группы, порожденной а. Так как любой наперед заданный элемент может быть представлен в виде слова бесконечно многими способами, то представление элемента группы в виде слова неоднозначно.
Если х — некоторый элемент циклической группы порядка 3, то любое слово, представляющее элемент х, можно понимать как движение по графу<…>. Пусть слово ааа–1 представляет элемент х. Будем интерпретировать его как такое движение по графу, изображенному на рис. 2.1.1:
1. Возьмем за исходную точку вершину, помеченную символом I. Так как первым сомножителем в слове, представляющем элемент х, является а, мы движемся из Iв направлении, указанном стрелкой, к другому концу отрезка, который изображен на рис. 2.1.2. Этот конец является вершиной, помеченной символом а, и будет служить исходной точкой для дальнейшего движения.
2. Так как второй сомножитель равен а, мы выходим из достигнутой на первом шаге вершины и движемся в направлении, указанном стрелкой, к другому концу отрезка (рис. 2.1.3). Этот конец есть вершина, помеченная символом а2; он и будет служить исходной точкой для дальнейшего Движения.
3. Так как третий сомножитель есть а–1, обратный к а, мы отправляемся из вершины, в которую пришли на втором шаге, и движемся в направлении, противоположном указанному стрелкой, к другому концу отрезка. Этот конец — вершина, помеченная символом а, — мог бы служить исходной точкой для дальнейшего движения. Однако в данном слове третий сомножитель последний, и потому дальнейших движений не происходит, т.е. путь, соответствующий слову ааа–1 заканчивается в вершине, помеченной символом а.
Слово, соответствующее элементу х, интерпретируется, таким образом, как множество направлений при движении вдоль некоторого пути в графической сети. Каждому слову соответствует определенная последовательность движений вдоль направленных отрезков, и, обратно, любой путь вдоль направленных отрезков графа группы, начинающийся из вершины I, соответствует конкретному слову.
Представление группы как сети, состоящей из направленных отрезков (или ребер), где вершины соответствуют элементам, а отрезки — умножению на образующие группы и их обратные, было введено Кэли еще в XIX веке. Такая сеть, или граф, часто называется диаграммой Кэли.
Вращения квадрата в его плоскости <…> составляют циклическую группу порядка 4, С4. Граф этой группы представлен на рис. 2.1.4.
Замечания
1) Вершин у графа столько же, сколько элементов в группе.
2) Вершина I выбирается произвольно.
3) В каждой вершине сходятся два отрезка, один соответствует умножению справа на образующую а и направлен от вершины, а другой соответствует умножению справа на элемент а–1, обратный к образующей, и направлен к вершине.
4) Конкретная форма графической сети не имеет значения. Важна лишь конфигурация связей между вершинами. Направленные отрезки, связывающее вершины, не обязаны быть прямолинейными, а граф не обязан иметь форму правильного многоугольника. Вы можете проявить свой вкус, выбирая ту форму, которая вам нравится, если только при этом не искажается математический смысл.
Графом циклической группы Сn порядка n, связанной с вращениями правильного n-угольника в его плоскости, является n-угольник с направленными отрезками в качестве сторон. Например, циклическая группа порядка 6, С6, соответствующая самосовмещениям правильного шести-угольника, вращающегося в своей плоскости, состоит из элементов а, а2, а3, а4, а5 и a6 = I. Шестиугольник, ребрами которого являются отрезки, направленные как на рис. 2.1.5, будет графом этой группы.