Образующие элементы в различных группах (стр. 4 из 7)
Доказательство
Отметим, что каждая транспозиция обратна сама себе. Поэтому утверждение теоремы означает, что любая подстановка разлагается в произведение транспозиций.
Умножение подстановки
.слева на транспозицию (ij) вызывает перестановку iи jв нижней строке. Такая операция также называется транспозицией. Очевидно, что путем последовательных транспозиций любую перестановку (k1, k2, …, kп)можно привести к тривиальной: сначала, если k1 ¹ 1, меняем местами k1 и 1, ставя тем самым 1 на первое место, затем ставим 2 на второе место и т.д. Таким образом, существуют такие транспозиции t1, t2,…, tnчто
tn…t2t1s= id,
и, значит,
s = t1t2…tn.
Теорема 2
Группа QLn(K) порождается элементарными матрицами[15].
Доказательство
Отметим, что матрица, обратная к элементарной, также элементарна. Поэтому утверждение теоремы означает, что любая невырожденная матрица разлагается в произведение элементарных матриц.
Умножение матрицы А ÎGLn(K) слева на элементарную матрицу вызывает соответствующее элементарное преобразование ее строк. Мы знаем, что с помощью элементарных преобразований строк любую невырожденную матрицу можно привести к единичной матрице. Таким образом, существуют такие элементарные матрицы U1,U2,..., Us,что
Us…U2 U1A= Е,
и, значит,
A = U1–1U2–1…US–1.[16]
Антиподом порождающих множеств является подгруппа Фраттини. Чтобы прийти к этому понятию, назовем подгруппу Н группы G максимальной подгруппой со свойством s, если Н обладает свойством s и не содержится ни в какой большей подгруппе с этим свойством. Если s — свойство быть меньше всей группы, то максимальные подгруппы со свойством s называются просто максимальными. Конечно, в группе может и не быть максимальных подгрупп <…>. По определению подгруппа Фраттини Ф(G) группы G — это пересечение всех ее максимальных подгрупп, если они существуют, и сама G — в противном случае.
Элемент х группы G назовем непорождающим элементом группы, если его можно удалить из любого порождающего множества группы G, в которое он входит.
Теорема
Множество S всех непорождающих элементов группы G совпадает с подгруппой Фраттини Ф(G).
Доказательство
а) SÍФ(G). Действительно, если G не содержит максимальных подгрупп, то утверждение тривиально. Пусть теперь хÎS, Н — максимальная подгруппа из G*. Если хÏН, то (х, Н) = G, (Н) ÏG. Это противоречит включению хÎS. Значит, х ÎН, х ÎФ(G).
б) Ф(G) ÍS. Пусть, напротив, существует элемент хÎФ(G), который вместе с некоторым множеством М порождает G, но (М) ¹G. По лемме Цорна существуют подгруппы Н, максимальные среди подгрупп, содержащих М и не содержащих х. Ясно, что все эти подгруппы просто максимальны. Но тогда они содержат Ф (G), а вместе с ней х, вопреки построению. Теорема доказана[17].
Примеры
1. В группе
подгруппа (р) максимальна при любом простом р, поэтому Ф( ) = 0. Легко сообразить, что в группе 
любой элемент является непорождающим, поэтому Ф( ) = .2. Так как группа Ср∞ совпадает с объединением подгрупп Срn, n=1, 2,…, то каждый ее элемент является непорождающим. Поэтому Ф(Ср∞) = Ср∞.
3. Можно проверить, что подгруппа Hi группы Sn, состоящая из всех подстановок, оставляющих символ i неподвижным, максимальна в Sn. Так как пересечение H1Ç…ÇHnравно 1, то Ф(Sn) = 1.
1.3.1. Подгруппа, порожденная данным элементом данной группы. Определение циклической группы
Пусть а — произвольный элемент группы G. Умножим его на себя, т.е. возьмем элемент а∙а. Этот элемент обозначим через а2. Точно так же обозначим а∙а∙а через а3 и вообще положим а∙а∙…∙а = аn.
Рассмотрим далее, элемент а–1 и обозначим последовательно
а–1∙ а–1 через а–2
а–1∙ а–1∙ а–1 через а–3
а–1∙ а–1∙…∙ а–1 через а–n.
Обозначения эти оправданы тем, что, действительно,
аn∙а–n = 1.
Для доказательства последнего утверждения заметим прежде всего, что в случае п = 1 оно очевидно (следует из самого определения а–1). Предположим, что оно верно для п–1 и докажем в этом предположении его справедливость для п. Имеем
аn∙а–n = (аn∙ аn–1) (а–(n–1)∙а–1) = а∙{аn–1∙а–(n–1)}∙а–1.
Но в силу нашего предположения фигурная скобка равна единице, значит,
аn∙а–n = а∙1∙ а–1 = 1.
что и требовалось доказать.
Мы определили выражение аn для любого положительного и для любого отрицательного значения п. Положим, наконец, что, по определению, а0 = 1.
Пусть теперь р и q — два целых числа. Из наших определений следует, что для любых целых р и q имеем
ар∙аq = ар+q.
Мы получаем следующий результат.
Множество Н(а) тех элементов группы G, которые могут быть представлены в виде ап при целом п с той групповой операцией, которая задана в группе G, образует группу Н(а).
В самом деле: 1) произведение двух элементов, принадлежащих Н(а), есть опять элемент Н(а); 2) единица принадлежит Н(а); 3) к каждому элементу аm из Н(а) найдется элемент а–m, который также принадлежит Н(а).
Итак, Н(а) есть подгруппа G. Эта подгруппа называется циклической подгруппой группы G, порожденной элементом а.[18]
Определение
Если любой элемент группы выражается в виде степени единственной образующей, то группа называется циклической.
Примеры
1. Примером циклической группы может служить группа вращений правильного многоугольника. Пусть дан правильный n-угольник A1A2...An,и пусть О — его центр. Рассмотрим всевозможные повороты плоскости вокруг точки О, при которых этот n-угольник совмещается сам с собой. Таких поворотов, очевидно, п:
a0 —поворот на Ð 0 (тождественное преобразование),
a1— поворот на
a2— поворот на
…………………
an–1— поворот на
.По определению, умножениеповоротов — это их последовательное выполнение одного за другим:
ak ◦ ai= ak+I,
при этом естественно считать, что ak+n= ak для любого k, в частности, ап= а0. Это умножение, очевидно, ассоциативна (и коммутативно). Поворот а0является единичным элементов группы и ak–1 = ап — k. для всех k= 0, 1, ...., n– 1.
Если положить а1= а,мы будем иметь а2= а2, а3 = a3, an–1 = аn–1 и, наконец, ап= ап = а0. Можно сказать, что эта группа образована степенями одного из своих элементов(или что она «порождается»одним из своих элементов), а именно, элемента а = а1. Группа вращений правильного n-угольника является циклической группой порядкап;обозначается эта группа символом Сп.
2. Циклической группой порядка 3 является группа вращений треугольника. Выписав степени образующей а:
а, а2, а3, а4, а5, а6, а7,… .
Так как а3 = I, то эту последовательность можно переписать так:
а, а2, I, а, а2, I, а,… .