Образующие элементы в различных группах (стр. 3 из 7)
Хотя из таблицы умножения группы можно извлечь все то, что мы хотим знать о группе, поскольку в ней указаны все попарные произведения элементов группы, можно предвидеть ряд трудностей, которые возникнут при любой попытке неограниченно расширить область ее применения. Представьте себе, например, что вам нужно проанализировать группу порядка 60 с помощью ее таблицы умножения. <…>
Поэтому, следует рассмотреть еще одно фундаментальное понятие в теории групп, которое позволяет описывать группу способом, не зависящим от ее порядка. Речь идет об образующих элементах группы[7]. Это и есть еще один способ задания группы, т.е. с помощью образующих и определяющих соотношений. С основными понятиями образующих элементов познакомимся в следующем параграфе.
1.2. Образующие элементы группы. Система образующих
1.2.1. Понятие образующего элемента
Пусть а и b — элементы некоторой группы. Тогда, согласно аксиоме об обратных элементах, а–1 и b–1 также являются элементами данной группы наряду с ab–1a, abа–1b и т.д. Любое произведение, которое можно записать, используя в качестве сомножителей элементы а, b, а–1, b–1 в любом порядке и в любом конечном числе, является элементом этой группы, согласно определению бинарной операции. Если все элементы группы можно записать в виде произведений, включающих лишь а и b (и их обратные), то мы назовем а и bобразующими (или образующими элементами) группы[8].
Определение
Элемент, из степеней которого составлена данная группа H, называется образующим элементом этой группы.
Замечание
Следует отметить, что понятию «образующий элемент» предлагают схожее по смыслу понятие «порождающий элемент» (от анг. generative — порождающий). Такое различие часто встречается в разных источниках и литературе по теории групп. И, например, вместо того, чтобы говорить: элемент а порождает группу H(a), часто говорят: элемент a есть образующий элемент группы H(a).
Примеры
1. Простейший случай — это группа с одной образующей, скажем а; все ее элементы могут быть представлены как произведения, содержащие в качестве сомножителей а и а–1. Мы уже сталкивались с группой, порожденной одним элементом: группа вращений треугольника в его плоскости имеет таблицу умножения, представленную на рис. 1.2.1<…>, и так как I = аа–1, то ясно, что каждый из трех элементов группы I, а, а2 является произведением, содержащим в качестве сомножителей лишь а и а–1. [9]
Рис. 1.2.1. Таблица умножения группы вращений треугольника
2. Знакопеременная группа An порождается множеством 3-циклов.
3. Группа поворотов Сn порождается одним поворотом t = 2p/n, а группа диэдра Dn — поворотом tи отражением rотносительно одной из осей.
1.2.2. Система образующих. Конечное число образующих
Однако не всякая группа имеет один образующий элемент. Есть группы, которые порождаются не одним, а с необходимостью несколькими (иногда бесконечным числом) элементами; и понятию одного образующего элемента приходит на смену понятие системы образующих. Очевидно, совокупность всех элементов какой-нибудь группы есть (тривиальная) система образующих этой группы.
Определение 1
Некоторое множество E элементов группы G называется системой образующих этой группы, если всякий элемент группы G есть произведение конечного числа сомножителей, каждый из которых либо есть элемент множества E, либо является обратным некоторому элементу множества E.[10]
Или говорят, что группа G порождается своим подмножеством E или что E— система порождающих (элементов) группы G, если G = {E}.
Примеры
Рассмотрим плоскость с выбранной на ней системой декартовых координат. Обозначим через G множество тех точек Р = (х, у), обе координаты которых х и у — целые числа. Установим следующее правило сложения точек: суммой двух точек Р1 = (x1, y1) и Р2 = (х2, у2) называется точка Р3 = (х3, у3) с координатами х3 = х1 + х2 и y3 = y1 + y2. Можно легко убедится, что это определение сложения превращает множество G в коммутативную группу и что точки (0, 1) и (1; 0) составляют систему образующих этой группы[11].
Замечание
Всякая группа имеет систему образующих.
Теорема
Множество E тогда и только тогда будет системой образующих группы G, если всякий элемент из G может быть записан хотя бы одним способом в виде произведения числа степеней элементов из E.
Определение 2
Если группа G обладает системой образующих, состоящей из конечного числа элементов, то G называется группой с конечным числом образующих.
Примеры
1. Циклическая группа — группа с одной образующей.
2. Группа
всех n-мерных векторов с целочисленными координатами с операцией сложения имеет стандартную систему образующих e= 
, где 
— вектор, у которого единственная ненулевая координата — i-ая, равная 1.3. Система {3,7} — является системой образующих группы
.Замечание 1
Всякая система образующих группы с конечным числом образующих содержит конечное подмножество, являющееся неприводимой системой образующих этой группы.
Так как конечная система образующих всегда может быть сделана неприводимой путем удаления лишних элементов, то нужно лишь доказать, что при наших предположениях всякая бесконечная система образующих содержит конечное подмножество, также являющееся системой образующих для рассматриваемой группы. Пусть G есть группа с образующими а1, а2,…, аn,
G = {а1, а2,…, аn},
и пусть М есть некоторая другая система образующих этой группы. Всякий элемент аi, i = 1, 2….n, записывается в виде произведения степеней конечного числа элементов из М. Выбирая для каждого аi одну из таких записей и собирая те элементы из М, которые входят в эти записи i= 1, 2….n, мы получим конечное подмножество М¢ из М, порожденная которым подгруппа {М¢} содержит все элементы а1, а2, ..., аnи поэтому совпадает с G.
Заметим, что различные неприводимые системы образующих группы с конечным числом образующих могут содержать, вообще говоря, различное число элементов. Например, в циклической группе можно выбрать неприводимые системы образующих, состоящие более чем из одного элемента. Так, систему образующих для аддитивной группы целых чисел составляют, например, числа 2 и 3.
Замечание 2
Всякая бесконечная группа с конечным числом образующих является счетной.
Действительно, если элементы а1, а2,…, аnявляются образующими для группы G, то всякий элемент этой группы может быть записан виде произведения
(вообще говоря, многими различными способами); всякое ikесть одно из чисел 1, 2,…, n, причем возможно, что ik= ilпри k ≠ l. Будем называть длиной этого произведения сумму абсолютных величин показателей:
h = |α1| + |α2| + … + |αs|.
Легко видеть, что существует лишь конечное число произведений степеней образующих элементов а1, а2, …, аn данной длины h. Множество всех произведений степеней этих элементов будет, следовательно, суммой счетного множества, т.е. счетным, а поэтому и группа G будет не более чем счетной[12].
Существуют счетные группы, не имеющие конечных систем образующих. Примером таких групп являются числа
, составляющие систему образующих для аддитивной группы рациональных чисел R.Группы с конечным числом образующих составляют, следовательно, класс групп, промежуточный между конечными и счетными группами.
Примеры
1. Примером группы с двумя образующими служит таблица умножения группы самосовмещений равностороннего треугольника.
2. Знакопеременная группа Аn порождается множеством 3-циклов.
3. Группа поворотов Сn порождается одним поворотом t = 2p/n. А группа диаэдра Dn— поворотом t и отражением r относительно одной из осей.[13]
Два важных примера систем образующих содержатся в приводимых ниже теоремах.
Подстановка, являющаяся циклом длины 2, называется транспозицией[14].
Теорема 1
Группа Snпорождается транспозициями.