Образующие элементы в различных группах (стр. 2 из 7)

В том случае, когда «групповая операция» а ° b называется сложением и обозначается знаком +, группа Gназывается группой по сложению, или аддитивной группой. В этом случае «нейтральный элемент» е обычно обозначается символом 0 и называется нулем, а элемент, обратный к а, обозначается через — а^–1 и называется противоположнымк а. В том случае, когда групповая операция называется умножением, а ° bобозначается через ab, группа называется группой по умножению, или мультипликативной группой, а нейтральный элемент называется единицейи часто обозначается символом 1.[3]

Комментарии к определению группы

1. Элемент а^–1, обратный элементу a, единственен.

2. В определении группы 2-ю и 3-ю аксиомы можно заменить одной аксиомой существования обратной операции:

3. Вышеприведенные аксиомы не являются строго минимальными. Для существования нейтрального и обратного элементов достаточно наличия левого нейтрального (

) и левого обратного ( ) элементов. При этом они автоматически являются e и а^–1:[4]

.

Свойства группы

1. Элемент а^–1, обратный элементу a, всегда определяется однозначно.

Доказательство

В самом деле, если элементы y и z являются обратными для a, то y*x = e и z*x= e, откуда y*x= z*x и по закону сокращения y = z.

2. Верны законы сокращения:

(левое сокращение);

(правое сокращение).

Доказательство

Докажем первый закон. Используем существование обратного элемента

и свойство ассоциативности операции.

y= z. Что и требовалось доказать. Второй закон (для правого сокращения) доказывается анологично.

3. Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент.

Доказательство

.

Действительно, поскольку

, имеем , откуда по закону сокращения получаем .

4. Для любых x, y уравнение вида x*z = y имеет единственное решение, равное

. Оно называется частным от деления yна x (или отношением элементов yи x) и обозначается y / x.

Доказательство

. Имеем: , и значит можно взять . Однозначность zследует из закона сокращения: .

Этот закон справедлив для неабелевых групп. Здесь то и различаются левое и правое деления.

Примеры групп

Рассмотрим множество всех целых чисел.При сложении двух целых чисел получается снова целое число. Если одно из слагаемых равно (целому) числу 0, то сумма равна другому слагаемому: а + 0 = а; для каждого целого числа а противоположное к нему число – а (сумма которого с данным числом а равна 0) тоже является целым. Операция сложения (в частности, целых) чисел коммутативна (a+ b= b+ а для любых двух чисел а и b) и ассоциативна ((a+ b) + c= a + (b+ с)для любых трех чисел а,b, с).

Далее, если из множества всех целых чисел выделить подмножество чисел, делящихся на данное числоk, то и оно обладает такими же свойствами. Это множество тоже «замкнуто» относительно «операции сложения» — сумма любых двух чисел, делящихся на k, делится на k; это множество содержит 0 (нуль делится на любое число); и, наконец, если а делится на k, то и – а делится на k.

Аналогичными свойствами обладают и множество всех рациональных чисел, множество всех вещественных чисел или всех комплексных чисел— каждое из них замкнуто относительно операции сложения; нуль является одновременно числом рациональным, вещественным и комплексным; для каждого (комплексного) числа а имеется противоположное к нему число – а такое, что а + (– а) = 0, причем — а при вещественном а будет вещественным, а при рациональном а — рациональным. Операция сложения в множестве комплексных чисел (а значит, и подавно, в множестве вещественных и в множестве рациональных чисел) коммутативна и ассоциативна. Все это —примеры «групп по сложению».

Рассмотрим теперь множество всех отличных от нуля вещественных чисели «операцию умножения» в нем. Произведение любых двух таких чисел — снова отличное от нуля вещественное число; произведение любого числа а на (вещественное, отличное от нуля) число 1 равно а, и для каждого (отличного от нуля!) вещественного числа а имеется обратное ему (и тоже отличное от нуля) вещественное число а^–1произведение которого на а равно 1.

Аналогичными свойствами обладает и множество всех отличных от нуля рациональных чисел, множество всех положительных вещественных чисел или всех положительных рациональных чисел, а также множество всех отличных от нуля комплексных чисел или множество комплексных чисел, по модулюравных1. Каждое из них замкнуто относительно операции умножения, все они содержат единицу и у каждого из их элементов имеется обратный элемент, принадлежащий тому же множеству. Умножение комплексных (а значит, и вещественных, и рациональных) чисел коммутативно (ab= bа для всех а и b)и ассоциативно ((ab)c= а(bс)для всех а,b, с).

Это — примеры «групп по умножению». Можно привести и более неожиданный пример: группу по умножению образует, например, пара чисел,1 и – 1. Впрочем, множество, состоящее из одного числа1 (или 0), тоже образует группу по умножению (соответственно по сложению). Комплексные числа 1, i, – 1, – iтакже образуют, очевидно, группу по умножению.

Складывать можно не только числа, но, например, векторылинейного пространства R, причем это сложение подчиняется тем же законам, что и сложение чисел: оно крммутативно и ассоциативно, в Rимеется нулевой элемент 0 такой, что х + 0 = х для любого х ÎR,и для всякого вектора х ÎRимеется противоположный ему вектор – х, такой, что х + (– х) = 0.

Складывать можно матрицы одного и того же строения(т.е. [m´n]-матрицы, где mи п — какие-то заранее заданные целые положительные числа). Это сложение ассоциативно и коммутативно, имеется нулевая матрица, прибавление которой не меняет второго слагаемого — это матрица, состоящая из одних нулей, и для каждой матрицы [a_ik]имеется противоположная к нейматрица [– a_ik] — такая, что [a_ik] + [– a_ik] есть нулевая матрица. Если рассматривать только так называемые целочисленные матрицы(т.е. матрицы с целыми элементами a_ik),то и суммой двух таких матриц будет матрица такого же строения, нулевая матрица является целочисленной, и для каждой целочисленной матрицы, противоположной к ней, будет тоже целочисленная матрица. Все это — тоже примеры групп по сложению.

С другой стороны, и перемножать можно не только числа, но, например, невырожденные квадратные матрицы одного и того же порядка п с вещественными (или только с рациональными или, наоборот, с комплексными) элементами. Произведение двух таких матриц тоже будет невырожденной матрицей (т.к. произведение невырожденных матриц также невырожденное) с вещественными (соответственно с рациональными, комплексными) элементами; единичная матрица является невырожденной, и у каждой невырожденной матрицы имеется обратная (тоже невырожденная и тоже с вещественными или соответственно рациональными, комплексными элементами). Умножение матриц ассоциативно, однако оно не коммутативно. Множество всех невырожденных матриц порядка п с вещественными (рациональными, комплексными) элементами представляет собой пример некоммутативной группы по умножению.[5]

Способы задания групп

Конкретная группа может быть определена следующими способами:

1. Как множество элементов с бинарной операцией, удовлетворяющей трем групповым аксиомам. Это основное определение, из которого можно получить все другие.

2. При помощи графической схемы (сети), составленной из направленных отрезков и обладающей основными свойствами, которыми <…> должен обладать граф группы. <…>

2. При помощи квадратной таблицы символов, которую мы назвали таблицей умножения группы <…>. Такая таблица задает группу, поскольку в ней указаны все произведения элементов группы[6].