Основные определения теории надежности (стр. 5 из 9)

Р_С оценивается по двойному неравенству р_Н

р_С р_В.

р_Н выражается как вероятность безотказной работы вспомогательной системы, составленной из последовательно включенных групп подсистем. Каждая группа состоит из параллельно включенных подсистем соответствующего минимального сечения.

р_В выражается как вероятность безотказной работы вспомогательной системы, составленной из параллельно включенных групп подсистем, соответствующим всем минимальным путям системы. Каждая группа состоит из последовательно включенных подсистем соответствующего минимального пути.

Примеры.

Рассмотрим ВС состоящую из устройств памяти y1 и y2, процессоров П7 и П8 и устройств сопряжения С3 – С5. Рисунок в тетради.

Необходимо оценить вероятность безотказной работы системы. Допустим, что условием работоспособности системы является наличие хотя бы одного работающего устройства памяти, хотя бы одного работающего процессора и связи м/ ними через устройство сопряжения. Отказы подсистем являются отказами типа отключения, например отказ y1 не препятствует работе остальной части системы.

Изобразим систему в виде:

графа системы

вспомогательного графа:

Определим минимальные сечения: 12, 78, 145, 236, 348, 567, 1468, 2467, 3456.

Минимальные пути: 137, 168, 247, 258, 13458, 16547, 24368, 25637,

Пусть вероятность отказа 2-ух устройств в памяти q_У соответственно 4-ех устройств сопряжения q_С равны м/ собой, тогда

р_Н = (1-q_У²)^. (1-q_П²)^. (1-q_С^2. q_П)^2. (1-q_С^2. q_У)^2. (1-q_У^. q_С^2. q_П)^2. (1-q_С⁴)

обозначим вероятности безотказной работы устройств памяти через р_У = 1-q_У, устройств сопряжения р_С = 1-q_С, процессоров р_П = 1-q_П, тогда

р_В = 1 - (1- р_У^. р_С^3. р_П)^4. (1- р_У^. р_С^. р_П)⁴.

Вспомогательный граф системы для определения р_В.

Применение сложных структур резервирования. Метод избыточного кодирования с обнаружением и исправлением ошибок

Общая структура системы, в которой надежность обеспечивается данным методом включает: кодирующее устройство на входе и декодирующее на выходе. Если информация об устройстве, надежность которого необходимо

искажается, то при известных искажениях она м.б. восстановлена декодирующим устройством.

Эффективные коды для исправления ошибок разработаны для случая, когда информация не преобразуется

данный метод применим для надежности тех устройств в ВС, которые не преобразуют информацию (устройства передачи и хранения)

- вероятность безотказной работы

Р_КУ, Р_ДУ - вероятности безотказной работы кодированного и декодированного устройства. d – max число ошибок в двоичном кодовом слове, которые м.б. исправлены декодированным устройством. р – вероятность отсутствия ошибок в элементе кодового слова. n – общее число элементов кодового слова.

Мажоритарное резервирование

Простейшая структура устройства преобразования информации с мажоритарным органом:

1,2…n – одинаковые устройства преобразования информации, работающие //-о.

Если из-за отказа работы устройств наблюдается расхождение м/ выходами устройств, то мажоритарный орган М выдает тот вариант информации, который наблюдается на большинстве из выхода преобразователей x/y.

Вероятность безотказной работы системы:

Р_МЖ, Р - вероятность безотказной работы мажоритарного органа и канала обработки информации. n – д.б. нечетным.

Для троированной системы (n=3) м. записать:

Р_М3 = Р_МЖ(3р² – 2р²)

n=5: Р_М53 = Р_МЖ(10р³ – 15р⁴ + 6р⁵)

Приведенная схема не позволяет достичь вероятность безотказной работы системы >, чем Р_МЖ. Данный недостаток устранен в мультиплексной схеме:

Здесь мажоритарные органы также резервируются. Первоначальный канал обработки информации разбивается на последовательные участки (слои).

Исправление ошибки, связанной с неисправностью мажоритарного органа происходит через слой резервированных подсистем.

N– число слоев схемы. Р – вероятность безотказной работы схемы в пределах одного слоя.

Встречаются системы с голосованием и реконфигурацией, где после отказа одного устройства из трех, система переходит на работу с одним устройством из оставшихся двух.

- интенсивность отказа одного канала.

Данная формула справедлива при экспоненциальной модели надежности каналов и при пренебрежении ненадежностью аппаратуры для переключателя.

Расчет надежности ВС-ем и надежность нерезервированных восстанавливаемых систем

При оценки надежности восстанавливаемых ВС большое значение им t восстановления. Надежность таких систем м. оценить рассматривая последовательность отказов-восстановлений. В простейшем случае, когда показатель надежности – параметр потока отказов, временем восстановления пренебрегают. Здесь процесс представляется как последовательность однородных случайных событий отказов – восстановлений.

Им. интерес выявления связей м/ функцией плотности распределения до отказа f(t) и параметром потока отказов w(t).

w(t) выражает среднее количество отказов одного объекта в единицу времени, в условиях восстановления.

f(t) выражает среднее количество отказов в единицу времени в условиях когда восстановление не производится

w(t) м.б. выражена бесконечным рядом:

w(t) = f(t) + f(t)*f₁(t) + f(t)*f₁(t)*f₂(t) + … (1)

* - композиция двух функций плотности, т.е. операцию, заключающуюся в нахождении функции плотности распределения суммы 2-х независимых СВ по заданным функциям плотности распределения последних.

f_i(t) – плотность распределения от i-ого восстановления до следующего отказа.

Т.о. I слагаемое – это плотность распределения времени до I отказа. II – до II отказа и т.д.

Операцию * удобно осуществлять в области изображений функций плотностей по Лапласу, т.к. изображение функции плотности суммы СВ = произведению изображений плотностей слагаемых.

Тогда м. переписать формулу:

w*(S) = f*(S) + f*(S )f₁*(S) + f*(S)f₁*(S)f₂*(S) + … (2)

* - изображение соответствующей функции по Лапласу, как функции от оператора S

Полное восстановление означает, что f₁(t) = f₂(t) = … = f(t).

Аналогичное выражение справедливо и для изображений функции:

w*(S) = f*(S) + f*²(S )f*³(S) + … = f*(S)(1 + f*(S) + f*²(S) + …) (3)

Известно, что |f*(S)|<1. Применив формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии получим:

w*(S) = f*(S)/[1 – f*(S)] (4)

В случае, когда известен w(t) в режиме работы с восстановлением и требуется определить функцию плотности распределения времени до отказа м.б. применена обратная зависимость:

f*(S) = w*(S)/[1 +w*(S)] (5)

Пример: определение параметров потока отказов w(t).

Пусть f(t) = le^-lt. Учитывая (4) f*(S) = l/(l + S)

w*(S) = f*(S)/(1 - f*(S)) = l/(l + S)/[1 - l/(l + S)] = l/S

w(t) = l

В случае, когда потери времени восстановления имеют существенное значение для оценки качества эксплуатации аппаратуры, как показатель надежности используется коэффициент готовности.

Вер – вероятность выполнения условия в скобках.

Отсюда, при допущении, что восстановление полное, т.е. надежностные свойства объекта после восстановления не меняются, м.б. получено операторное выражение:

(6)

Пример: определение коэффициента готовности. Пусть имеется объект, для которого:

j₀(t) = le ^-lt

j_B(t) = me ^-mt

Тогда: j₀*(S) = l/(S + l) j_B*(S) = m/(S + m)

Оригинал

^.e^–(m+l)t(7)

Функция коэффициента готовности:

Если считать, что среднее время восстановления

=1ч, среднее время до отказа = 10³ч. m>>l