Function More(Const А, В : Tlong; Const sdvig : Integer) : Byte;
Var i : Integer;
Begin
If A[0] > B[0] + sdvig Then More := 0
Else
If A[0] < B[0] + sdvig Then More := l
Else Begin
i := A[0];
While (i > sdvig) And
(A[i] = B[i-sdvig]) Do Dec(i);
If i = sdvig Then Begin
More:=0;
{совпадение чисел с учетом сдвига}
For i := 1 To sdvig Do
If A[i] > 0 Then Exit;
More := 2;
{числа равны, "хвост" числа А равен нулю}
End
Else More := Byte(A[i] < B[i-sdvig])
End
End;
Пятая задача. Умножение длинного числа на короткое. Под коротким понимается целое число типа LongInt.
Процедура очень походит на процедуру сложения двух длинных чисел.
Procedure Mul(Const A : TLong; Const К : Longlnt; Var С : TLong);
Var i : Integer;
{результат - значение переменной С}
Begin
FillChar (С, SizeOf(С), 0);
If K = 0 Then Inc(С[0]){умножение на ноль}
Else Begin
For i:= l To A[0] Do
Begin
C[i+l] := (LongInt(A[i]) * K + C[i]) Div Osn;
C[i] := (LongInt(A[i])* K + C[i]) Mod Osn
End;
If C[A[0]+1] > 0 Then C[0]:= A[0] + 1
Else C[0]:= A[0]
{определяем длину результата}
End
End;
Шестая задача. Вычитание двух длинных чисел с учетом сдвига
Если понятие сдвига пока не понятно, то оставьте его в покое, на самом деле вычитание с учетом сдвига потребуется при реализации операции деления. В начале выясните логику работы процедуры при нулевом сдвиге.
Введем ограничение: число, из которого вычитают, больше числа, которое вычитается. Работать с "длинными" отрицательными числами мы не умеем.
Процедура была бы похожа на процедуры сложения и умножения, если бы не одно "но" — заимствование единицы из старшего разряда вместо переноса единицы в старший разряд. Например, в обычной системе счисления мы вычитаем 9 из 11 — идет заимствование 1 из разряда десятков, а если из 10000 вычитаем 9 — процесс заимствования несколько сложнее.
Procedure Sub (Var A : TLong; Const B : TLong; Const sp : Integer);
Var i, j : Integer;
{из А вычитаем В с учетом сдвига sp, результат вычитания в А}
Begin
For i := l To B[0] Do
Begin Dec(A[i+sp], B[i]);
j: = i;{*}
{реализация сложного заимствования}
while (A[j+sp] < 0) and (j <= A[0]) Do
Begin{*}
Inc(A[j+sp], Osn) ;
Dec(A[j+sp+l]); Inc(j); {*}
end; {*}
{Реализация простого заимствования.
Если операторы, отмеченные *, заменить
на нижеприведенные операторы в фигурных скобках, то,
по понятным причинам, логика не будет работать
при всех исходных данных. Можно сознательно сделать
ошибку и предложить найти ее — принцип "обучение через ошибку"}
{If A[i+sp]<0 Then Begin Inc(A[i+sp], Osn);
Dec (A[i+sp+l]);End;}
End;
i := A[0];
While (i > l) And (A[i] = 0) Do Dec(i);
A[0] := i
{корректировка длины результата операции}
End;
Рекомендуется выполнить трассировку работы данной процедуры, например, для следующих исходных данных. Число А равно 100000001000000000000, число В — 2000073859998.
Седьмая задача. Деление двух длинных чисел, т.е. нахождение целой части частного и остатка.
Написать исходную (без уточнений) часть логики не составляет труда. Это:
Procedure Long_Div_Long(Const А, В : TLong; Var Res, Ost : TLong);
Begin
FillChar(Res, SizeOf(Res), 0); Res[0] := 1;
FillChar(Ost, SizeOf(Ost), 0); 0st[0] := 1;
Case More(A, B, 0) Of
0: MakeDel(A, B, Res, Ost);
{А больше В, пока не знаем, как выполнять операцию - "выносим" в процедуру}
1: Ost:=A; {А меньше В}
2: Res[l] := l; {А равно В}
End;
End;
А дальше? Дальше начинаются проблемы. Делить столбиком нас научили в школе. Например,
1000143123567 |73859998
- 73859998 |----------
--------- |13541 (Целая часть частного)
261543143
- 221579994
----------
399631495
- 369299990
---------
303315056
- 295439992
----------
78750647
- 73859998
--------
4890649 (Остаток)
Что мы делали? На каждом этапе в уме подбирали цифру (1, 3, 5 и т.д.), такую, что произведение этой цифры на делитель дает число меньшее, но наиболее близкое к числу... Какому? Это трудно сказать словами, но из примера ясно. Зачем нам это делать в уме, пусть делает компьютер. Однако упростим пример, оставим его для тестирования окончательной логики процедуры, тем более что и числа "длинные". Пусть число А будет меньше В*10, тогда в результате (целой части деления) будет одна цифра. Например, А равно 564, а В — 63 и простая десятичная система счисления. Попробуем подобрать цифру результата, но не методом прямого перебора, а методом деления отрезка пополам. Пусть Down — верхняя граница интервала изменения подбираемой цифры, Up — нижняя граница интервала, Ost равен делимому.
| Down | Up | С = В * ( (Down + Up) Div 2) | Ost = 564 |
| 0 | 10 | 315 = 63 * ( (0 + 10) Div 2) | C < Ost |
| 5 | 10 | 441 = 63 * ( (5 + 10) Div 2) | C < Ost |
| 7 | 10 | 504 = 63 * ( (7 + 10) Div 2) | C < Ost |
| 8 | 10 | 567 = 63 * ( (8 + 10) Div 2) | C > Ost |
| 8 | 9 | 504 = 63 * ( (8 + 9) Div 2) | C < Ost |
Итак, результат — целая часть частного — равен (Up + Down) Div 2, остаток от деления — разность между значениями Ost и С. Нижнюю границу (Down) изменяем, если результат (С) меньше остатка, верхнюю (Up), — если больше.
Усложним пример. Пусть А равно 27856, а В — 354. Основанием системы счисления является не 10, а 10000.
| Down | Up | С | Ost = 27856 |
| 0 | 10000 | 1770000 | C > Ost |
| 0 | 5000 | 885000 | C > Ost |
| 0 | 2500 | 442500 | C > Ost |
| 0 | 1250 | 221250 | C > Ost |
| 0 | 625 | 110448 | C > Ost |
| 0 | 312 | 55224 | C > Ost |
| 0 | 156 | 27612 | C < Ost |
| 78 | 156 | 41418 | C > Ost |
| 78 | 117 | 34338 | C > Ost |
| 78 | 97 | 30798 | C > Ost |
| 78 | 87 | 29028 | C > Ost |
| 78 | 82 | 28320 | C > Ost |
| 78 | 80 | 27966 | C > Ost |
| 78 | 79 | 27612 | C < Ost |
Целая часть частного равна 78, остаток от деления — 27856 минус 27612, т.е. 244.
Пора приводить процедуру. Используемые "кирпичики": функция сравнения чисел (More) с учетом сдвига и функция умножения длинного числа на короткое (Mul) описаны выше.
Function FindBin(Var Ost : Tlong; Const В : TLong; Const sp : Integer) : Longint;
Var Down, Up : Word; C : TLong;
Begin
Down := 0;Up := 0sn;
{основание системы счисления}
While Up - l > Down Do
Begin
{Есть возможность преподавателю сделать
сознательную ошибку. Изменить условие
цикла на Up>Down. Результат - зацикливание программы.}
Mul(В, (Up + Down) Div 2, С);
Case More(Ost, C, sp) Of
0: Down := (Down + Up) Div 2;
1: Up := (Up + Down) Div 2;
2: Begin Up := (Up + Down) Div 2; Down := Up End;
End;
End;
Mul(B, (Up + Down) Div 2, C);
If More (Ost, C, 0) = 0 Then Sub(Ost, C, sp)
{находим остаток от деления}
Else begin Sub (C, Ost, sp); Ost := C end;
FindBin := (Up + Down) Div 2;
{целая часть частного}
End;
Осталось разобраться со сдвигом, значением переменной sp в нашем изложении. Опять вернемся к обычной системе счисления и попытаемся разделить, например, 635 на 15. Что мы делаем? Вначале делим 63 на 15 и формируем, подбираем в уме первую цифру результата. Подбирать с помощью компьютера мы научились. Подобрали — это цифра 4, и это старшая цифра результата. Изменим остаток. Если вначале он был 635, то сейчас стал 35. Вычитать с учетом сдвига мы умеем. Опять подбираем цифру. Вторую цифру результата. Это цифра 2 и остаток 5. Итак, результат (целая часть) 42, остаток от деления 5. А что изменится, если основанием будет не 10, а 10000? Логика совпадает, только в уме считать несколько труднее, но ведь у нас же есть молоток под названием компьютер — пусть он вбивает гвозди.
Procedure MakeDel(Const А, В : TLong; Var Res, Ost : TLong);
Var sp : Integer;
Begin
Ost := A; {первоначальное значение остатка}
sp := А[0] - В[0];
If More(А, В, sp) = l Then Dec(sp);
{B * Osn > A, в результате одна цифра}
Res[0] := sp + l;
While sp >= 0 Do
Begin
{находим очередную цифру результата}
Res[sp + 1] := FindBin(Ost, B, sp);
Dec(sp)
End
End;
Методические рекомендации. Представленный материал излагается на четырех занятиях по известной схеме: 10-15-минутное изложение идей, а затем работа учащихся под руководством преподавателя.
1-е занятие. Ввод, вывод и сложение длинных чисел (задачи 1, 2, 3).
2-е занятие. Функции сравнения (задача 4).
3-е занятие. Умножение и вычитание длинных чисел (задачи 5, 6).
4-е занятие. Деление длинных чисел (задача 7). Безусловно, эта схема не догма. В зависимости от уровня подготовки учащихся на самостоятельное выполнение может быть вынесена значительная часть материала. Замечу только, что в силу сложившейся традиции в ряде случаев допускаются при изложении сознательные ошибки. В результате работы каждый учащийся должен иметь собственный модуль для работы с "длинными" числами.
Темы для исследований
1. Решение задач: поиск наибольшего общего делителя двух "длинных" чисел; поиск наименьшего общего кратного двух "длинных" чисел; извлечение квадратного корня из "длинного" числа и т.д.
2. "Длинные" числа могут быть отрицательными. Как изменятся описанные выше операции для этого случая?
3. Для хранения "длинных" чисел используется не массив, а стек, реализованный с помощью списка. Модифицировать модуль работы с "длинными" числами.
Список литературы
С.М. Окулов/ "Длинная" арифметика/