Семантика оператора “case”.
Одной из форм оператора выбора в языке Pascal является оператор сase. Синтаксис этого оператора приведен ниже.
сase <выражение> of
<список констант>:<оператор> {; <список констант>:<оператор>}
end
Например:
сase i mod 3 of
0: m:=0;
1: m:=-1;
2: m:=1;
end
ñase sym of
'=': k:=k+1;
'*', '+', '/', '-': ;
'!': l:=l+1;
':', ';': p:=p+1;
end
3. сase день of
ПН, ВТ, СР, ЧТВ, ПТН: writeln('Рабочий день');
СБ, ВСКР: writeln('Выходной день');
end
Ясно, что в этих примерах переменная i - типа integer, переменная sym - типа char, день - перечислимого типа (ПН, ВТ, СР, ЧТВ, ПТН, СБ, ВСКР).
Действие оператора сase из примера 1 можно было бы описать так:
if i mod 3=0 then m:=0 else
if i mod 3=1 then m:=-1 else
if i mod 3=2 then m:=1;
Перепишем эту последовательность вложенных условных операторов в следующем виде:
if
i mod 3=0 ® m:=0;
i mod 3=1 ® m:=-1;
i mod 3=2 ® m:=1;
end {if}
В этой форме условия трех альтернатив просматриваются последовательно сверху вниз и выполняется первая альтернатива, условие которой выполнено.
Обобщим теперь эту запись на большее число альтернатив следующим образом:
if
B1 ® S1;
B2 ® S2;
. . .
Bk ® Sk
end {if}
В этом обобщении последовательно сверху вниз просматриваются логические выражения Bi и для того i, где первым будет получено значение T, будет выполнен оператор Si. Причем обязательно хоть одно Bi должно принять значение T. Эту обобщенную форму условного оператора обозначим IF. Отсюда получаем.
Определение 11.1. Семантика оператора сase:
wp(ñase, R)=($ i: 1£i£k: Bi) Ù (" i: 1£i£k: Bi Þ wp(Si, R))
Отсюда должно быть видно, что:
Всегда на текущем состоянии выполняется хотя бы одно Bi. Другими словами, предусловие этого оператора должно имплицировать любое Bi.
Если на текущем состоянии выполняется Bi, то соответствующий Si перерабатывает это состояние в такое состояние, где должно выполняться постусловие R.
Рассмотрим пример. Написать предусловие для оператора
Sñase:
ñase a of
1: b:=c+a;
2: b:=a+1;
3: b:=a-c
end
такое, что если этот оператор начинает работать в состоянии, удовлетворяющем этому предусловию, то он обязательно закончит свою работу и после ее выполнения мы получим состояние, удовлетворяющее условию R º b>1.
Другими словами, надо вычислить
wp(Sñase, b>1).
Выпишем в соответствии с определением
wp(Scase , b>1) = ((a=1)Ú(a=2)Ú(a=3)) Ù
((a=1) Þ wp(b:=c+a, b>1)) Ù
((a=2) Þ wp(b:=a+1, b>1)) Ù
((a=3) Þ wp(b:=a-c, b>1))
Преобразуем каждый из предикатов (1)-(3) в соответствии с определением семантики оператора присваивания.
Получим:
(a=1) Þ (c+a>1) º c>0
(a=2) Þ (a+1>1) º 3>1 º T
(a=3) Þ (a-c>1) º c<2
В итоге с использованием правил эквивалентных преобразований из таблицы 5.8 получим
((a=1) Ù (c>0)) Ú (a=2) Ú ((a=3) Ù (c<2))
Семантика оператора цикла.
Здесь нам надо определить, как оператор цикла в языке Pascal меняет состояние вычислительного процесса. Другими словами, если задано постусловие R, то каково должно быть для него предусловие wp, чтобы в результате выполнения оператора получить R.
Операторы цикла в любом языке программирования реализуют операцию композиции повторения (см. лекция 3). В языке Pascal есть три вида оператора цикла:
while B do S;
for i:=E1 to E2 do S; (for i:=E1 downto E2 do S)
repeat S1 ; S2 ; … ; Sk until B;
где B - логическое выражение,
E1, E2 - выражения,
S1 ; S2 ; … ; Sk - операторы.
С циклом вида (1) мы уже встречались в примере 9.1 вычисления n членов гармонического ряда. Фрагмент программы (строки 5-8) показан на рис. 11.1
{Вычисление суммы ряда}
{Инициализация цикла}
s:=0;
i:=1;
{Вычисление суммы первых n членов гармонического ряда}
while i£n do begin s:=s+1;
i:=i+1 end {while}
Рис. 11.1.
На рис. 9.3 были показаны все состояния вычислительного процесса программы Harmonic для n=5. Фактически каждая итерация этого цикла представляет из себя выполнение оператора if_endif на рис. 11.2, а операторы в строках 5,6 устанавливают значения для s и i, необходимые для начала цикла.
if
B1 ® s:=s+1/i; i:=i+1;
. . . . .
B5 ® s:=s+1/i; i:=i+1;
endif ,
где "j: 1£j£n: Bj = i=j.
Рис. 11.2.
Оператор IF, представленный на рис. 11.2, надо выполнять до тех пор, пока для очередного значения i истинен хоть один Bi º i=n. Как только при очередном выполнении IF ни одно из условий не будет выполнено, то более повторять выполнение этого IF не надо.
Обозначим
BB=B1 Ú B2 Ú B3 Ú ... Ú Bk ,
тогда оператор IF на рис. 9.2 надо выполнять до тех пор, пока выполняется BB.
Теперь рассмотрим циклы вида (2). Для этого вернемся к примеру 10.1, программа для которого представлена на рис. 10.1. Интересующий нас в данный момент фрагмент дан на рис. 11.3.
begin fctrl:=1;
for i:=2 to n do fctrl:=fctrl*i
end {if n=0}
Рис. 11.3
Здесь был использован цикл вида (2). Все состояния вычислительного процесса, соответствующие этому циклу, были пока
заны на рис. 10.2. Там же, в колонке, где указан номер итерации, указано и условие, при выполнении которого надо выполнять тело цикла на данной итерации.
Рассмотрим оператор IF на рис. 11.4.
i:=2 ; if
B1 ® fctrl:=fctrl*i; i:=i+1;
B2 ® fctrl:=fctrl*i; i:=i+1;
. . . . .
B5 ® fctrl:=fctrl*i; i:=i+1
endif
где "k: 1£ k £5 Bk º i=k.
Рис. 11.4
Если его выполнять до тех пор, пока выполняется BB, то мы получим конструкцию, эквивалентную той, что показана на рис. 11.3 с той оговоркой, что значение параметра цикла i после выхода из цикла на рис. 11.3 считается не определенным. Для того, чтобы убедиться в эквивалентности этих конструкций, достаточно построить вычислительный процесс, соответствующий циклическому выполнению IF с рис. 11.4 и сравнить его с вычислительным процессом на рис.10.2.
Таким образом, мы видим, что циклы вида (2) тоже сводятся к последовательному выполнению операторов типа IF, пока выполняется условие BB.
Рассмотрим теперь циклы вида (3):
repeat S until B.
На интуитивном уровне действие операторов цикла этого вида можно описать так: после каждого выполнения оператора S надо проверять условие B. Если оно не выполняется, то надо выполнить S еще раз, если выполняется, то цикл заканчивается. Другими словами, оператор цикла вида (3) можно выразить оператор цикла вида (1) следующим образом:
repeat S until B;
º
S; while ØB do S.
Однако, как мы уже установили, оператор цикла вида (1) выражается через повторные выполнения оператора IF в соответствующей форме. Здесь уместно вспомнить, что при построении операции композиции повторения мы использовали операцию композиции выбора также.
Мы приходим к выводу, что все наши три вида операторов цикла сводятся к повторному выполнению соответствующего оператора IF. Назовем эту конструкцию, лежащую в основе всех этих операторов цикла, циклом вида DO. Ее вид представлен на рис. 11.5.
DO
if
B1 ® S1;
B2 ® S2;
. . .
Bn ® Sn
endif
ENDO
Рис 11.5. Цикл вида DO.
Еще раз напомним, как он работает. Последовательно просматриваются сверху вниз условия Bi, и для первого выполненного условия выполняется надлежащий оператор Si. После этого опять cверху вниз, начиная с первого, просматриваются условия Bi. Выполнение оператора if заканчивается, когда при очередном просмотре ни одно Bi не будет выполняться.
Итак, для определения семантики трех видов оператора цикла нам достаточно определить семантику оператора DO! Теперь, придя к пониманию того, что в основе всех циклов лежит конструкция DO, попытаемся выписать ее семантику, то есть определить вид предиката
wp(DO, R)
Для любого цикла нам важно обеспечить выполнение двух условий:
Оператор цикла обязательно заканчивается.
Работа этого оператора заканчивается в состоянии, удовлетворяющим постусловию R.
Обозначим C0(R) предикат следующего вида:
C0(R)=ØBBÙR,
где BB - конъюнкция условий в операторе DO, а R - постусловие.
Очевидно, что C0(R) выражает условия 1,2 для оператора цикла, т.е. что цикл заканчивается (это описывает условие ØBB) и заканчивается в состоянии R (это описывает второй конъюнкт R).
Обозначим
C1(R)= C0(R) Ú wp(IF, C0(R)),
где wp(IF, C0(R)) - предусловие для оператора IF в операторе DO такое, что за одну итерацию цикла DO оператор IF переработает это состояние в состояние, удовлетворяющее условию C0(R), т.е. что цикл заканчивается и заканчивается в состоянии R.
Таким образом, условие C1(R) описывает состояние, на котором цикл DO закончится не более чем за одну итерацию в состоянии, удовлетворяющем R. Теперь обобщим предикат C1(R) для случая не одной итерации цикла, а k итераций,
Ck(R)= C0(R) Ú wp(IF, Ck-1(R)), где k>0 .
Этот предикат выражает условие, что либо на текущем состоянии цикл заканчивается (член C0(R)), либо за одну итерацию цикла мы получим состояние, начиная с которого цикл закончится не более чем за k-1 итерацию (член wp(IF, Ck-1(R))).
Таким образом, нижеприведенный предикат:
$ k: k³0: Ck(R) (11.1)
выражает условия 1,2 для циклов. Однако, он мало что нам дает для понимания внутреннего устройства цикла, семантики итераций.
Как мы уже сказали, важно гарантировать, что цикл закончится и непременно в состоянии, удовлетворяющем постусловию. Обеспечивает эту гарантию особое утверждение (предикат), сохраняющий истинность на любом состоянии, порождаемом в цикле. Этот предикат называется инвариантом цикла или просто инвариантом. Другими словами, цикл DO устроен таким образом, что состояния, которые мы получаем в конце каждой итерации, носят не произвольный характер, а подчиняются некоторому единому условию, которое называется инвариантом цикла.
Вернемся к нашим примерам 9.1 и 10.1. В примере 9.1 нетрудно заметить, что условие