Решение задачи о кратчайшем маршруте (стр. 1 из 3)
Решение задачи о кратчайшем маршруте методом Форда
1. Постановка сетевой транспортной задачи.
На практике часто встречается задача определения кратчайшего маршрута по заданной сети из начального пункта до конечного пункта маршрута. Транспортная сеть может быть представлена в виде графа (рис.1), дуги которого - транспортные магистрали, а узлы - пункты отправления и назначения. Графически транспортная сеть изображается в виде совокупности n пунктов P1,P2,...,Pn, причем некоторые упорядоченные пары (Pi,Pj) пунктов назначения соединены дугами заданной длинны r(Pi,Pj)=lij. Некоторые или все дуги могут быть ориентированы, т.е. по ним возможно движение только в одном направлении, указанном стрелками.
На рис.1 построена ориентированная транспортная сеть, содержащая шесть пунктов P1,P2,...,P6, которые связаны между собой восьмью транспортными путями.
Необходимо определить кратчайший маршрут из пункта P1в P6. Определение кратчайшего маршрута состоит в указании последовательности прохождения маршрута через промежуточные пункты и суммарной длинны маршрута.
Например маршрут из пункта P1в пункт P6: P1P2P4P6; L=l12+l24+l46=10.
Постановка задачи приобретает смысл в том случае, если имеется несколько вариантов маршрута из начального пункта в конечный. В этом случае физический смысл функции цели задачи состоит в минимизации общей длинны маршрута, т.е. в определении кратчайшего пути из P1в Pn.
2. Описание метода и алгоритма решения.
Метод Форда бал разработан специально для решения сетевых транспортных задач и основан, по существу, на принципе оптимальности.
Алгоритм метода Форда содержит четыре этапа (схема 1). На первом этапе производится заполнение исходной таблицы расстояний от любого i-го пункта в любой другой j-й пункт назначения. На втором этапе определяются для каждого пункта некоторые параметры liи lj по соответствующим формулам. Далее на третьем этапе определяются кратчайшие расстояния. Наконец, на четвертом этапе определяются кратчайшие маршруты из пункта отправления Р1 в любой другой пункт назначения Рj, j=1,2,...,n.
Рассмотрим подробнее каждый из этих четырех этапов.
2.1 Первый этап: Составление исходной таблицы расстояний.
Данная таблица содержит n+1 строк и такое же количество столбцов; Pi- пункты отправления; Pj - пункты назначения. Во второй строке и втором столбце проставляется значения параметров liиlj, определение значений которых производятся на втором этапе решения задачи. В остальных клетках таблицы проставляются значения расстояний lijиз i-го пункта в j-й пункт. Причем заполняем клетки таблицы, лежащие выше главной диагонали. Если пункт Pi не соединен отрезком пути с пунктом Pj, то соответствующая клетка таблицы не заполняется.
2.2 Второй этап: Определение li и lj.
Определяется значение параметров в соответствии с формулой:
lj=min(li+lij); i=1,2,...,n; j=1,2,...,n, (1)
где l1=0.
Эти значения заполняются во второй строке и во втором столбце.
2.3 Третий этап: Определение длинны кратчайших путей.
Возможны два случая определения длинны кратчайших путей из пунктов Pi в пункты Pj, i=1,2,...,n; j=1,2,...,n.
В первом случае, если выполняются неравенство:
lj - li£ lij; lij¹0; j=1,2,...,n; j=1,2,...,n, (2)
то значения параметров l1,...,ln удовлетворяют условиям оптимальности. Каждое значение lj есть не что иное, как кратчайшее расстояние от пункта Pi до пункта Pj, j=2,3,...,n.
Во втором случае, если для некоторых клеток (i,j) таблицы имеет место неравенство:
lj - li > lij; i=1,...,n; j=1,...,n, (3)
то значения ljиliмогут быть уменьшены.
Если справедливо (3), тогда исправим значение lj0, пересчитав его по формуле:
l¢j0=li0+li0j0. (4)
2.4 Четвертый этап: Нахождение кратчайшего пути.
Определения последовательности пунктов кратчайшего маршрута. С этой целью для каждого столбца определяют величину:
lr1,j = lj - lr1, (5)
где lr1,jберется из таблицы, причем lr1 выбирается так, чтобы выполнилось равенство (5). Таким образом определим r1. Далее продолжим ту же операцию, но будем считать, последней не Pn, а Pr1. Будем продолжать до тех пор, пока rn=1.
Таким образом кратчайший маршрут проходит через Pr1,Pr2,...,Prn, а длинна маршрута Lmin=lr2,r1+lr3,r2+...+lrn-1,rn.
3. Описание программы.
Программа “FORD” написана на языке высокого уровня - Pascal, в интегрированной среде разработки “Turbo Pascal 7.0” фирмы Borland Inc.
Программа предназначена для нахождения кратчайшего пути в сетевом графе по методу Форда. Программа легка в использовании, что достигается за счет использования дружественного интерфейса и иерархического меню. Вначале программы производится ввод данных, затем нахождение кратчайшего маршрута и вычисление его длинны, далее выводится результат. Вывод результатов возможен как в файл, так и на экран.
В программе предусмотрена возможность повторного решения задачи с другими исходными данными.
4. Описание подпрограмм и процедур.
Подпрограммы и функции.
| ТИП | НАЗВАНИЕ | НАЗНАЧЕНИЕ |
| Functiontype : real | min; | Вычисляет минимальное значение вектора k[i]; |
| Procedure | set_graph_mode; | Устанавливает графический режим; |
| Procedure | install_firewall; | Инициализирует огонь; |
| Procedure | fire; | Процедура рисования огня; |
| Procedure | ok; | Выводит сообщение о корректности операции; |
| Procedure | notok; | Выводит сообщение о некорректности операции; |
| Procedure | check_input_data; | Проверяет корректность ввода данных; |
| Procedure | keybord_input; | Ввод исходных данных с клавиатуры; |
| Procedure | ramka; | Выводит рамку по краям экрана; |
| Procedure | save; | Сохранение результатов в файл; |
| Procedure | about_program; | Выводит информацию о программе; |
| Procedure | about_method; | Выводит информацию о методе Форда; |
| Procedure | output_graph; | Рисует вершины графа; |
| Procedure | draw_ways; | Рисует дуги графа; |
| Procedure | draw_short_way; | Рисует кратчайший маршрут; |
| Procedure | count_point_coord; | Вычисляет экранные координаты вершин графа; |
| Procedure | set_font; | Инициализирует шрифт пользователя; |
| Procedure | calculate; | Основное математическое ядро программы; |
| Procedure | draw_menu; | Открытие меню; |
| Procedure | redraw_menu; | Закрытие меню; |
| Procedure | main_menu; | Основной механизм меню; |
| Procedure | pixel; | Ставит точку; |
| Procedure | stars; | Инициализирует массив со звездами; |
| Procedure | welcomescreen; | Заставка; |
4.2 Таблица идентификаторов.
| ИМЯ | тИП | НАЗНАЧЕНИЕ |
| Константы | ||
| menu | array of string | Описывает меню программы |
| menuof | array of byte | Описывает меню программы |
| menugo | array of byte | Описывает меню программы |
| name1 | string | Имя файла входных данных |
| name2 | string | Имя файла выходных данных |
| xxx | word | Размер огня по х |
| yyy | word | Размер огня по у |
| xx1 | word | Координата х огня |
| yy1 | word | Координата у огня |
| messize | byte | Размер заглавия |
| title | array of string | Заглавие |
| Переменные | ||
| mas | array of real | Основная матрица вычислений |
| coord_point | array of real | Координаты вершин графа |
| i | integer | Переменная для организации цикла |
| j | integer | Переменная для организации цикла |
| t | integer | Используется при расчете пути |
| m | integer | Счетчик кол-ва вершин в крат. Пути |
| n | integer | Кол-во вершин в графе |
| z | integer | Код ошибки |
| x1 | integer | Исп. в процедуре вывода на экран |
| y1 | integer | Исп. в процедуре вывода на экран |
| x2 | integer | Исп. в процедуре вывода на экран |
| y2 | integer | Исп. в процедуре вывода на экран |
| kk | integer | Промежуточное значение |
| iii | integer | Промежуточное значение |
| x | integer | Координата х конца отрезка |
| y | integer | Координата у конца отрезка |
| lenth | integer | Кол-во вершин в кратчайшем маршруте |
| chrus | integer | Номер шрифта пользователя |
| z1 | integer | Номер графического драйверв |
| z2 | integer | Номер графического режима |
| k | array of real | Используется для нахождения минимума |
| result | array of integer | Номера вершин, которые входят в кратчайший маршрут |
| error_code | array of byte | Коды ошибок при вводе данных |
| fire1 | array of byte | Хранит цвета огня |
| fire2 | array of byte | Матрица промежуточных данных |
| aa | real | Используется при вычислении координат вершин графа |
| pi1 | real | Используется при вычислении координат вершин графа |
| s | real | Хранит промежуточное значение |
| l | boolean | Исп. при определении кратчайшего маршрута |
| inputdata | boolean | TRUE, если данные вводились |
| calculatedata | boolean | TRUE, если данные били обработаны |
| mov | boolean | Используется в процедуре меню |
| o | string | Используется при вводе с клавиатуры |
| temp | byte | Хранит временное значение |
| cursor | byte | Координаты курсора меню |
| lastcursor | byte | Последние координаты курсора меню |
| menulevel | byte | Уровень меню |
| nline | byte | Кол-во строк в текушем уровне меню |
| pressed | char | Используется при вводе с клавиатуры |
| f1 | text | Файловая переменная |
| f2 | text | Файловая переменная |
5. Примеры решения контрольных задач.