Разработка управляющего устройства обеспечивающего качественные показатели системы (стр. 7 из 9)

С учетом рассчитанных параметров фазовые траектории СПС со скользящим режимом движения имеют вид:

1 – α = 50; 2 – α = 100; 3 – α = 200

Переходные характеристики в СПС третьего порядка:

1 – α = 200; 2 – α = 100; 3 – α = 50

Переходные характеристики получены при начальных отклонениях (0 1). Полученные характеристики позволяют сравнить качественные показатели СПС и обычной линейной системы. Как следует из переходных характеристик СПС, переходный процесс имеет монотонный характер, при этом время переходного процесса значительно меньше, чем в линейной системе. Изменяя параметры СПС, можно влиять на качественные показатели системы.

4.2 Учет ограничений управляющего воздействия в СПС

В реальных системах автоматического управления функциональные устройства, как правило, обладают нелинейными характеристиками. Можно утверждать, что практически все устройства автоматических систем являются нелинейными с кусочно-линейной характеристикой типа насыщение. Это обстоятельство объясняется тем, что во всех электрических, электронных, электромагнитных, и т.д. элементах выходной сигнал по мощности не может превышать мощности источника питания. Поэтому уровни напряжения и тока на выходе функциональных устройств не могут превышать аналогичных величин на выходе источника питания автоматической системы. Такие естественные ограничения могут существенно повлиять на качество системы, поэтому при синтезе системы необходимо учитывать наличие таких ограничений.

Рассмотрим, какое влияние на поведение системы окажет введение нелинейности.

Структурная схема системы и одновременно схема для моделирования процессов в системе:

Фазовые траектории СПС третьего порядка со скользящим режимом с нелинейным элементом и без него:

1 – ФТ СПС без нелинейного элемента

2 – ФТ СПС с нелинейным элементом

Переходные характеристики СПС с учетом нелинейного элемента и без него.

1 – ПХ СПС с нелинейным элементом

2 – ПХ СПС без нелинейного элемента

Как видно из приведенных графиков, при введении нелинейного элемента показатели системы ухудшились. Таким образом, при больших рассогласованиях система с переменной структурой при ограничении управляющего воздействия ведет себя как релейная система, а потому будет неустойчивой, когда неустойчива соответствующая релейная система.

Очевидным решением в данной ситуации является построение линии переключения в виде ломаной линии, состоящей из двух участков, S=S₁+S₂. На участке, где |x₁|<x₀ построение линии переключения S₁ ведется по рассмотренным выше правилам для СПС со скользящим режимом. На втором участке, где |x₁|>x₀, построение линии переключения S₂ должно вестись по правилам релейной системы. При этих построениях следует учитывать релейную характеристику с зоной нечувствительности. Вид фазовых траекторий релейной системы должен соответствовать устойчивой релейной системе, при этом движение в релейной системе может быть скользящим или колебательным, сходящимся к началу координат.

s=tf([1],[1 0.8 0.4])

bode(s); margin(s)

Запас устойчивости по амплитуде составляет ≈ 80 [дБ]>20 [дБ]

Запас устойчивости по фазе равен

Таким образом, в результате синтеза СПС со скользящим режимом без учета нелинейного элемента мы получили систему, обладающую характеристиками, соответствующими техническому заданию, а именно – характер переходного процесса монотонный, запас устойчивости “в малом” амплитуде больше 20 [дБ], по фазе больше 60°.

5. Синтез нелинейной СПС при больших отклонениях от равновесного состояния

Спроектированная система устойчива “в малом”, но неустойчива в «большом», поэтому синтезируем релейную систему соответствующую данной при отклонениях превышающих линейную зону нелинейного звена с насыщением. Звено с насыщением в этом случае будем рассматривать как реле с зоной нечувствительности – трехпозиционное реле.

5.1 Синтез релейной системы

Структурная схема релейной системы управления с обратной связью имеет вид:

Система состоит из линейной части с передаточной функцией W(p)=R(p)/Q(p), релейного элемента(трехпозиционное реле) и пропорционально-дифференциального регулятора. Как будет показано ниже, структура и параметры регулятора существенным образом влияют свойства релейной системы, в том числе и на устойчивость, что необходимо при построении нелинейных систем с переменной структурой.

Чтобы получить трехпозиционное реле без гистерезиса, собираем схему из суммы двух релейных звеньев(двухпозиционное реле с гистерезисом) и настраиваем релейные элементы (Relay) следующим образом:

Relay:

Switch on point: 0.8;

Switch off point: 0.8;

Output when on: 0.8;

Output when off: 0.

Relay1:

Switch on point: -0.8;

Switch off point: -0.8;

Output when on: 0;

Output when off: -0.8.

Определим с помощью моделирования параметры пропорционально-дифференциального регулятора, которые обеспечат существование автоколебательного режима. Например, при

и в релейной системе получим автоколебания.

Автоколебания в релейной системе управления:

Эти автоколебания имеют следующие характеристики:

f=1/T => w=2πf

частота колебаний w ≈ 0,1185 рад/с;

амплитуда колебаний А ≈ 15 ед.

Определим амплитуду и частоту автоколебаний методом гармонической линеаризации и гармонического баланса.

Как следует из этого метода, для определения существования автоколебательного режима необходимо любым методом найти решения уравнения

,

где

– передаточная функция или коэффициент гармонической линеаризации нелинейного элемента, – амплитудно-фазовая характеристика линейной части системы.

Для нахождения решений данного уравнения чаще всего применяют аналитические или графоаналитические методы. Воспользуемся графоаналитическим методом нахождения решений уравнения гармонического баланса. Для этого построим два графика на комплексной плоскости:

и

и найдем точку их пересечения, координаты которой дадут амплитуду и частоту автоколебаний.

Коэффициент гармонической линеаризации для трехпозиционного реле имеет вид:

,

где Δ – параметр, определяющий зону нечувствительности реле; А – амплитуда возможных колебаний.

Программа построения графиков для нахождения решения уравнения в среде Matlab имеет вид:

w=[0:0.0001:1];

k1=0.9;

k2=5;

c=25*k1^2.+25*k2^2.*w.^2;

re=(100*k1.*w.^2-k2.*(w.^2-625*w.^4))./c;

im=(-100*k2.*w.^3-k1.*(w.^1-625*w.^3))./c;

plot(re, im);

hold on;

D=0.8;

A=[0:0.01:100];

re=4./(pi.*A).*(sqrt(1-(D./A).^2));

im=0;

plot(re, im);

Выполнив эту последовательность команд, получим два графика на комплексной плоскости:

1 – график

; 2 – график

Таким образом, получаем, что два графика на комплексной плоскости

и имеют пересечения при в точках с координатами (0;0) и (0.07;0).

Частоту автоколебаний определим, приравняв мнимую часть выражения для

к нулю:

Амплитуду автоколебаний определим следующим образом:

В результате синтеза для рассматриваемого случая уравнение линии переключения получится в виде: S₂ = 0.9x₁ + 5x₂ + d.

5.2 Исследование свойств спроектированной нелинейной СПС

На первом этапе нами была синтезирована СПС без учета нелинейности с линией скольжения S₁. Затем для синтеза СПС с нелинейным элементом мы синтезировали релейную систему для больших отклонений с линией переключения S₂ = 0.9x₁ + 5x₂ + d,где значение d определяется координатами точки пересечения линий S₁ и S₂. Значение d определяет характер процесса в СПС на завершающей стадии движения.

Структурная схема для моделирования имеет вид: