Разработка управляющего устройства обеспечивающего качественные показатели системы (стр. 5 из 9)

Для того, чтобы корни были комплексно-сопряженными необходимо, чтобы выполнялись условия:

Из первого неравенства получаем:

Из второго неравенства получаем:

Знак минус перед

говорит о том, что обратная связь по производной от отклонения должна быть положительной, что в свою очередь объясняется тем, что сам объект является асимптотически устойчивым.

Возьмем

Тогда:

Возьмем

Тогда корни характеристического уравнения будут равны:

Структурная схема системы с фазовой траекторией типа “ неустойчивый фокус ”

Фазовые траектории вида неустойчивый фокус.

Далее возникает задача: выбрать такую последовательность изменения структур, чтобы движение было устойчивым. Решим эту задачу методом фазовой плоскости. Разобьем фазовую плоскость

на две области 1 и 2, границами которых является прямая S и ось

. Если состояние системы таково, что изображающая точка находится в области 1, то её движение должно происходить по раскручивающимся спиралям (система должна иметь вторую структуру). В области 2 изображающая точка должна двигаться по кривым гиперболического типа (система должна иметь первую структуру).

Структурная схема системы с переменной структурой с вырожденным устойчивым движением с учетом рассчитанных коэффициентов:

Фазовая траектория системы с вырожденным устойчивым движением:

Переходная характеристика системы с вырожденным устойчивым движением:

Этот подход позволяет построить устойчивую систему и отказаться от требований устойчивости для каждой из имеющихся структур. Однако в рассматриваемом случае движение по линии переключения отсутствует, так как инерционные силы смещают изображающую точку с этой линии, её дальнейшее движение происходит по другой фазовой траектории, но в целом движение остаётся асимптотически устойчивым - фазовая траектория стягивается к началу координат.

3.3 Система с переменной структурой без устойчивого вырожденного движения

Другой способ построения системы с переменной структурой целесообразно использовать в случае, если фазовое пространство для каждой из фиксированных структур не содержит гиперплоскостей с устойчивым вырожденным движением. За счёт ‘сшивания’ в определенной последовательности участков из неустойчивых траекторий удается получить устойчивое движение для любых начальных условий.

В качестве примера рассмотрим случай, когда в нашем распоряжении имеются две линейные структуры с незатухающими колебаниями, то есть, находящиеся на границе устойчивости.

Уравнения движения в этих системах одно и то же:

При разных значениях

фазовые траектории систем будут иметь вид эллипсов с разными полуосями.

Уравнения для рассогласования без учета нелинейного элемента имеет вид:

Для получения фазовой траектории типа эллипс необходимо выполнение двух условий:

В соответствии с полученными ограничениями для первой структуры возьмем

0, а для второй

При

Структурная схема такой системы будет иметь вид:

Фазовые траектории первой и второй структур изображены ниже, где цифрами 1 и 2 обозначены:

1 – фазовая траектория при

2 – фазовая траектория при

Фазовые траектории первой и второй структур изображены ниже, где цифрами 1 и 2 обозначены:

1 – фазовая траектория при

2 – фазовая траектория при

Фазовые траектории при различных значениях ω₀

Переключение с одной структуры на другую будет происходить при пересечении фазовой траекторией координатных осей. Аналитический закон переключения структур запишется следующим образом:

если

Структурная схема системы с переменной структурой без устойчивого вырожденного движения с учетом рассчитанных коэффициентов

Фазовая траектория СПС без устойчивого вырожденного движения:

Переходная характеристика СПС без устойчивого вырожденного движения:

3.4 Системы с переменной структурой со скользящим режимом движения

Наиболее рациональной считается идея синтеза систем с переменной структурой с искусственным вырожденным движением. Сущность этого подхода заключается в следующем. Как и прежде считается, что имеется несколько линейных структур, не обязательно устойчивых, из которых синтезируется система с переменной структурой. В фазовом пространстве искусственно задается некоторая гиперплоскость S, движение в которой обладает желаемыми свойствами, причем траектории, лежащие в этой плоскости, не принадлежат ни одной из линейных структур. Последовательность изменения структур должна быть выбираема такой, чтобы изображающая точка при любых начальных условиях всегда попадала на эту плоскость, а затем двигалась (скользила) по ней. Тогда с момента попадания на эту гиперплоскость в системе будет существовать искусственное вырожденное движение, которое можно наделить рядом полезных свойств, не принадлежащих ни одной из фиксированных структур.

Для рассмотренной ранее СПС с устойчивым вырожденным движением, которое определяется уравнением

, введем на фазовой плоскости линию скольжения

. Все остальные параметры управляющего устройства оставим без изменений.

Структурная схема системы с переменной структурой со скользящим режимом движения

Переход от одной структуры к другой осуществляется в соответствии с законом переключения:

Фазовая траектория СПС со скользящим режимом движения:

Переходная характеристика СПС со скользящим режимом движения:

Сравнивая СПС с линейными системами регулирования, видно, что СПС дают существенно лучшие показатели. Как видно из полученных графиков в СПС без вырожденного устойчивого движения и в СПС с вырожденным устойчивым движением существуют колебания, а в СПС со скользящим режимом колебания отсутствуют. Таким образом, изменяя целенаправленно параметры СПС, можно влиять на качественные показатели системы.