Лекции по информатики 2 (стр. 37 из 43)

… … …

<х4> <у4>

максимальный маршрут:

<ml> <m2> <m3> <m4>

длина = <mх>

минимальный маршрут:

<n1> <n2> <n3> <n4>

длина = <mn>

Простейший способ решения этой задачи заключается в организации перебора всех замкнутых маршрутов, проходящих через заданные точки и выбора среди минимального и максимального по длине маршрутов.

Программа Алгоритм

¢мин. и макс. маршруты алг «мин. и макс. маршруты»

clsнач

n = 4 п = 4

dim x(n),y(n),r(n,n) dim x(n),y(n),r(n,n)

? «координаты точек» вывод («координаты точек»)

gosub vvdan 'ввод данных ввод-координат-точек

restore mrshrt 'маршруты загрузка-маршрутов

? «маршруты:» вывод («маршруты:»)

mr = 1*2*3mr =1*2*3

mx = 0 тх = 0

for l = 1 to mrот l = 1 до mr

read k1, k2, k3, k4ввод k1, k2, k3, k4

dl = r(kl,k2) + r(k2,k3) dl =r(kl,k2) +r(k2,k3)

d3 = r(k3,k4) + r(k4,kl) d3 = r(k3,k4) +r(k4,k1)

d = dl + d3 d =d1 + d3

? kl; k2; k3; k4, dвывод (k1; k2; k3; k4, d)

if mx = 0 thenесли тх = 0 то

mx = d: mn = d mx = d: mn = d

ml = kl: m2 = k2 ml = k1: m2 = k2

m3 = k3: m4 = k4 m3 = k3: m4 = k4

nl = kl: n2 = k2 n1 = k1: n2 = k2

n3 = k3: n4 = k4 n3 = k3: n4 = k4

elseif d > mx thenинеc d > mx то

mx = d mx = d

ml = kl: m2 = k2 m1 = k1: m2 = k2

m3 = k3: m4 = k4 m3= k3: m4 = k4

elseif d < mn thenинеc d < mn то

mn = d mn = d

nl = kl: n2 = k2 n1 = k1: n2 = k2

n3 = k3: n4 = k4 n3 = k3: n4 = k4

end ifкесли

next 1кцикл

? «максимальный маршрут:» вывод («максимальный маршрут:»)

? ml; m2; m3; m4вывод (m1; m2; m3; m4)

? «длина =»; mxвывод («длина =»; mx)

? «минимальный маршрут:» вывод («минимальный маршрут:»)

? nl; n2; n3; n4вывод (n1; n2; n3; n4)

? «длина =»; mnвывод («длина =»; mn)

endкон

vvdan: 'ввод данных алг «ввод данных»

restore tchksзагрузка-точек

for k = 1 to nот k = 1 до п

read x(k),y(k)ввод x(k),y(k)

? x(k),y(k)вывод x(k),y(k)

next k кцикл

for k = 1 to nот k = 1 до п

for l = 1 to nот l = 1 до п

dx = x(k) - x(l) dx = x(k) - x(l)

dy = y(k) - y(l) dy = y(k) - y(l)

rs = dx*dx + dy*dy rs = dx*dx + dy*dy

r(k,l) = sqr(rs) r(k,l) = sqr(rs)

next 1 кцикл

next k кцикл

returnкон

mrshrt: 'маршруты:

data 1, 2, 3, 4

data 1, 2, 4, 3

data 1, 3, 2, 4

data 1, 2, 4, 3

data 1, 4, 2, 3

data 1, 4, 3, 2

tchks: 'координаты точек

data 0, 0

data 0, 3

data 4, 0

data 4, 3

Результаты выполнения на ЭВМ приведенной программы:

координаты точек:

0 0

03

4 0

4 3

маршруты: длина:

1234 16

1243 14

1324 18

1243 14

1423 18

1 4 3 2 16

максимальный маршрут:

1324

длина =18

минимальный маршрут:

1 24 3

длина = 14

Четвертую задачу можно отнести к геометрическим задачам, решение которых опирается на некоторые геометрические законы и свойства. Эта задача наиболее сложная среди рассмотренных задач из-за необходимости привлечения определенных математических знаний для организации ее решения.

Задача 4. «Ломаная».

Найти все точки самопересечения разноцветной замкнутой линии, заданной на плоскости координатами своих вершин в порядке обхода ломаной. Данные о ломаной представляются таблицей:

х	у
0	1
1	0
0	1
1	1

Особенность этой задачи - большое число частных случаев, связанных с возможным вырождением или наложением отрезков ломанной линии. Именно эти ситуации и составляют содержание тестов, на которых большинство программ дают неправильные результаты.

Приведем проверочные тесты:

Tecт₁. (Основной случай)

0	0
0	1
1	0
1	1

Правильные результаты:

точки пересечения

0.5 0.5

Тест₂. (Основной случай)

0	0
0	1
1	1
1	0

Правильные результаты:

точки пересечения:

отсутствуют

Тест₃. (Наложение вершины)

0	0
0	1
0.5	0
1	1
1	0

Правильные результаты:

точки пересечения

0.5 0

Тест₄. (Наложение ребра)

0	0
0	1
0.2	0
0.8	0
1	1
1	0

Правильные результаты:

отрезок пересечения:

[0.2, 0] - [0.8, 0]

Для систематического конструирования алгоритмов и программы необходима разработка сценария диалога и описание метода решения поставленной геометрической задачи.

Сценарий

точек: <n>

координаты точек:

<k>: <x> <у>

……..

точки пересечения:

отрезок: <k> - <k+l>*

отрезок: <1> - <1+1>

точка: <х> <у>

………

отсутствуют

Метод решения данной задачи может быть основан на вычислении точек пересечения отрезков (х₁, у₁) - (x₂, у₂) и (х₃, y₃) - (х₄, y₄) как точек пересечения линий, проходящих через заданные отрезки, с помощью системы уравнений:

(y₂ – y₁)×( x– x₁) - (x₂ – x₁)×(y – у₁) = 0;

(у₄ – у₃)×(x – x₃) - (x₄ – x₃)×(у – y₃) = 0.

Решение этих уравнений может быть проведено вычислением определителей D, D_x, D_y приведенной системы уравнений:

(у₂ – у₁)×х- (х₂ – х₁)×у = (у₂ – y₁)×х₁ - (x₂ – x₁)×y₁;

(у₄ – y₃)×х - (х₄ – х₃)×у= (у₄ – у₃)×х₃- (x₄ – x₃)×y₃,

для которой будет справедлив следующий набор расчетных формул:

х = D_x/D;

у = D_y/D;

D = (у₂ - у₁)×(х₄ - x₃) - (x₂ - x₁)×(y₄ - y₃);

D_x = [(y₂ - y_l)×x_l - (х₂ – x₁)×y₁] - (x₄ – х₃) - (x₂ – x₁)×[(y₄ – y₃)×x₃ - (х₄ – х₃)×y₃];

D_y = (у₂ - у₁)×[(у₄ – у₃)×х₃ - (x₄ - x₃)×у₃] - [(у₂ – y₁)×x₁ - (х₂ – x₁)×y₁]×(y₄ – y₃).

Факт пересечения пар отрезков может быть установлен из этих же уравнений подстановкой в правые части координат точек альтернативного отрезка и сравнением значений этих выражений. А именно отрезок [(х₃, у₃) - (х₄, у₄)] пересекает линию, проходящую через отрезок [(x₁,y₁) - (х₂, у₂)], если эти выражения имеют разные знаки:

(у₂ - у₁)×(х₃ – x₁) - (х₂ – х₁)×(y₃ – у₁) ´ (у₂ - у₁)×(х₄ – x₁) - (х₂ – x₁)×(y₄ – y₁)£ 0.

Соответственно, отрезок [(х₁, у₁) - (х₂, у₂)] пересекает линию, проходящую через отрезок [(х₃, у₃) - (х₄, у₄)], если аналогичные выражения имеют разные знаки:

(у₄ – у₃)×(х₁ – х₃) - (х₄ – х₃)×(у₁ – у₃)´(у₄ – у₃)×(х₂ – х₃) - (х₄ – х₃)×(у₂ – у₃) £ 0.

И наконец, самый тонкий момент - это частные случаи, когда отрезки ломаной оказываются на одной прямой линии. В этом случае отрезки либо вообще не пересекаются, либо имеют общую часть, которую можно определить из взаимного расположения отрезков на прямой.

В последнем случае общая часть отрезков находится из взаиморасположения отрезков [(х₁, у₁) - (х₂, у₂)] и [(х₃, у₃) - (х₄, у₄)] на прямой. В данной ситуации взаиморасположение вершин отрезков можно выяснить, вычислив взаиморасположение между ними на прямой относительно отрезка [(х₁, у₁) - (х₂, у₂)] по следующим формулам:

d₁= 0;

d₂= (х₂ – х₁)×(х₂ – х₁) + (у₂ – у₁)×(у₂ - 1);