Применение симплекс-метода при определении состава смеси при переработке нефти (стр. 4 из 6)
Для этого необходимо определить:
- разрешающий столбец. В строке оценок находим максимальную по модулю переменную, которая будет переводиться из свободных в базисные. Наибольшей является 0,75, следовательно в базис переходит х1.
- разрешающая строка. Определяется путём нахождения наименьшего отношения элемента из bi к разрешающему столбцу. Наименьшим отношением является 0.586(6), строка, соответствующая переменной x5.
Строим новую симплекс-таблицу (см. табл. 7), в которой меняются местами переменных х5 и х1, вместе с коэффициентами целевой функции.
Таблица 7. Вторая симплекс-таблица для бензина первого сорта
| 0 | 11 | 6 | 9 | 0 | 0 | 0 | ||||
| Ci | B | bi | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | X7 | |
| 7 | X1 | 0,586 | 1 | 0,4 | 0,86 | 0,59 | -1,3 | 0 | 0 | 1,465 |
| 0 | X6 | 0,168 | 0 | 0,329 | 0,156 | 0,17 | -0,06 | 1 | 0 | 0,51 |
| 0 | X7 | 0,413 | 0 | 0,59 | 0,133 | 0,4 | -1,3 | 0 | 1 | 0,7 |
 |  | 4,4 | 0 | -8,5 | -2,38 | -5 | 10 | 0 | 0 | |
 |  | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 |
Элементы разрешающей строки определяются путем деления каждого элемента этой строки на главный (-0,8). Главный элемент рассчитывается путем деления единицы на самого себя. Элементы разрешающего столбца рассчитываются путем деления каждого элемента этого столбца на главный.
Все остальные элементы Таблицы 7 определяют по правилу прямоугольника.
Строка для фиктивной функции в расчётах более не участвует. После расчёта целевой функции видно, что остались отрицательные оценки, следовательно план не оптимален. Все элементы столбца bi положительны, следовательно полученный план опорный.
Для получения оптимального решения повторяем описанный выше алгоритм пока все оценки не будут положительными (см. табл. 8).
Таблица 8. Оптимальная симплекс-таблица для бензина первого сорта
| 0 | 0 | 6 | 9 | 0 | 0 | 0 | ||||
| Ci | B | bi | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | X7 | |
| 7 | X1 | 0,382 | 1 | 0 | 0,67 | 0,39 | -1,25 | 1,2 | 0 | |
| 0 | X2 | 0,511 | 0 | 1 | 0,47 | 0,17 | -0,2 | 3,0 | 0 | |
| 11 | X7 | 0,106 | 0 | 0 | -0,15 | 0,09 | -1,2 | 1,81 | 1 | |
| |  | 8,74 | 0 | 0 | 4,03 | -0,62 | -8,2 | 8,5 | 0 |
При производстве первого вида бензина, соотношение сырой нефти к одному галлону бензина составит: x1 = 0,382; x2=0,511; x3=x4=0.
Прибыль при производстве первого сорта бензина составит 8,74 цента за галлон.
2. Вычислительный эксперимент для второго сорта бензина
Целевая функция для второго сорта бензина (k=2):
Содержание фракции А, В, С для II-го сорта бензина:
Фракции С: Не более 30% - 0.3
При испарении теряется 1% - 0.01
Формула баланса:
Ограничения с учетом испарения для II-го сорта бензина:
 |
Дальнейшие вычисления приведены в таблице 9, таблице 10 и таблице 11.
Таблица 9. Исходная симплекс-таблица для бензина второго сорта
| 4 | 8 | 3 | 6 | 0 | 0 | ||||
| Ci | B | bi | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | |
| 0 | X5 | 0,297 | 0,05 | 0,35 | 0,2 | 0,2 | 1 | 0 | 0,142 |
| 0 | X6 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
 |  | 0 | -5 | -9 | -4 | -7 | 0 | 0 |
Таблица 10. Вторая симплекс-таблица для бензина второго сорта
| 4 | 0 | 3 | 6 | 0 | 0 | ||||
| Ci | B | bi | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | |
| 8 | X2 | 0,848 | 0,142 | 1 | 0,571 | 0,571 | 1 | 0 | 1,485 |
| 0 | X6 | 0,151 | 0,857 | 0 | 0,428 | 0,428 | 1 | 1 | 0,352 |
| | | 7,637 | -3,71 | 0 | 1,142 | -1,85 | 9 | 0 |
Таблица 11. Оптимальная симплекс-таблица для бензина второго сорта
| 4 | 0 | 3 | 0 | 0 | 0 | ||||
| Ci | B | bi | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | |
| 8 | X2 | 0,823 | 0 | 1 | 0,5 | 0,5 | 0,83 | 0,16 | |
| 6 | X4 | 0,176 | 1 | 0 | 0,49 | 0,49 | 1,16 | 1,16 | |
| | | 8,293 | 0 | 0 | 3 | -9,93 | 13,33 | 4,33 |
При производстве первого вида бензина, соотношение сырой нефти к одному галлону бензина составит: x1 = 0; x2=0,823; x3=0; x4=0,176.
Прибыль при производстве первого сорта бензина составит 8,29 цента за галлон
Производство первого сорта бензина выгоднее на 0,45 центов.
Для визуализации расчётов будем использовать программу Simplex-Oil. Она реализована в среде разработки Borland C++Builder 2009 на языке программирования c++, и имеет интуитивно понятный интерфейс. Программа не универсальна, и умеет решать только конкретно поставленную задачу. Внешний вид программы можно увидеть на рисунке 1. После нажатия на кнопку «рассчитать» программа производит вычисления, которые можно увидеть на рисунке 2.
Для анализа на чувствительность проведём два эксперимента. Зададим случайным образом значения (см. рисунки 3 и 5) и посмотрим на результаты вычислений (см. рисунки 4 и 6).
Рисунок 1. Внешний вид программы
Рисунок 2. Программа после выполнения расчётов
Рисунок 3. Проведение первого эксперимента
Рисунок 4. Результаты первого эксперимента
Рисунок 5. Проведение второго эксперимента
Рисунок 6. Результаты второго эксперимента
Заключение
В данной работе был изучен симплекс-метод и рассмотрено его применение в задачах на составление смеси: была решена задача оптимального смешивания различных сортов нефти для наиболее выгодного производства бензина.
Симплекс-метод достаточно трудоёмок для ручного счёта, поэтому в данной работе мы показали, как можно произвести расчёты на компьютере, уменьшив тем самым шанс на ошибку.